Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

В радиотехнических приложениях рассмотрение выбросов часто связывают с анализом действия полезных регулярных импульсных сигналов и(/) совместно с помехамв я(2) на электронные реле и другие пороговые уст. ройства. В том случае, когда детерминированный полезный сигнал складывается с «гладкнмпв помехами малой интенсивности, помеха вызывают случайное дрожание моментов срабатывания и моментов окончания работы реле. Пусть в отсутствие помех реле срабатывает от полезного импульса и (/) в некоторый момент временийг н затем через промед(уток времени т, т. е. в момент 1, 2«+ т, скачком возвращается в первоначальное состояние (рнс.

13.3). При наличии слабых помех $(2) этв моменты времени будут смещены на малые и случайные величины Ьг и йз, т. е. ![ = 1«+ бы 1,' =/а + йз. В линейном приближении в(/)/ц/), 8 з(/ )/ц/.), (13.31) (13.32) ай оз/зз(1«), оза оз/з'(/,) . 395 в(и(/) где з(21) й ~ «1 — крутизна полезного импульса на уровне срабатывания С. если стационарный шум я (2) имеет нулевое математическое ожидание и корреляционную функцяю /7 (т) о'г(т), то дисперсии момента срабатывания реле и момента окончания работм соответственно равны Из равенства т' = 1' — 1,' .= т+ (пз — й,) по известным правилам находим дисперси»о длительности импульса на выходе реле пз Г з(6) з-" ((л) ) о'= — [1 — 2 — «(т)+ ~ (й) 1 з(( ) ' зз((з) ) (13.33) 2.

ЛРИМЕРЫ !3.!. Вычислить вероятность наличия в интервале (С (+ т) нечетного числа нулей гауссовского стационарного процесса $(!) с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией У(т) =- о'«(т). Под нулями понимаются точки на оси времени, в которых $ (1) = О. Решение. Очевидно, что при выполнении неравенства $(() х »( $(! + т) - 0 число нулей траектории процесса $ (г) в интервале (С (+ т) нечетное (рис. 13.4). Обозначим вероятность нечетного числа нулей в интервале (г, ! + т) через р„(т).

Очевидно, что рв(т) = Р(9(1) $(1+ т) ( О) = Р ($(!) ) О, $(Е + т) < О) + РД (!) < О, $(! + т) ) О), Нетрудно убедиться, что для стационарого гауссовского процесса с нулевым математическим ожиданием оба слагаемых в правой части этого равенства равны друг другу и рн(т) =- 2Р Ц(!) ' ь О, $(! + т) < О! = 2 ~ ~ РзК $е) с($чз($~ Π— О где рз($, $,) — двумерная плотность вероятности значений случайного процесса, разделенных промежутком времени т. Подставив сюда выражение двумерной нормальной плотности вероятности (5.23) и выполнив интегрирование, получим рн(т) = и ' агссоз «(т), 0 ( агссоз «(т) ( и или соз (пр„(т)1 = «(т). (13. 34) !3.2. Определить число положительных выбросов на уровне С =- Зо во временном интервале Т = 100мкс гауссовского стационарного процесса $ (1), имеющего математическое ожидание (л» = О) и спектральную плотность 5(о») = — Уо(ехр [ — ' 1+ехр [— если ! = о»е»2п = 60 МГц и эффективная ширина спектра «л(, = = 2 МГц.

Решение. Обозначим среднее число интересующих нас выбросов через У+(С, Т). Так как процесс $(() стационарен, то У+(С, Т) = = ТУ»+(С). Для рассматриваемого примера среднее число положительных выбросов в единицу времени определяется формулой (13.11) при т= 0 У+ (С, Т) = — Т )« — «о ехр [ — — ( — ) 1. Пользуясь формулой (6.15) можем написать ОО «(т) ~ Я (о») е(ое,(о» 2пп' О где ОО 1 л , 7«а оз = ~ Я (о») п»со = «»(о ~,« 2п — дисперсия процесса $(1). Следовательно, ОО «о =«" (О) = — — ) о»'3 ('»)с(о» 1 2 поз Ю Подставив сюда выражение спектральной плотности и выполнив интегрирование, получим «о = — (о»о 1- 2а).

Поэтому У+(С, Т)=-(оТ 1 1+ — е — 4 з !ОТ(1+ — )е-4 з. ый ( ыо / По определению эффективной ширины спектра ОО Л(з=- — ~ 5(о»)«~»=- 1 2Л50 о — з.( О( — — '" ""'1О =~/ —" 4п3О о находил» а = пЛД. С учетом этого соотношения получаем окончательную расчетную формулу У+ (С Т) ~ )о Т [1 + (."' ) 1 е — 4.4 60 10з.!00,10-о [1 — ' ( ~1~ 67 4»,60)1 399 Рис. 13.4. Нечетное число нулей в интервале (б 1+т) 13.3. Определить относительный уровень С«о, при котором огибающая А (1) квазигармонического процесса $(1)» имеющего постоянную и отличную от нуля спектральную плотность только 397 и дифференцируемого флуктуационного шума с малой дисперсией оо = Л/оЛ/,. Определить возможную наименьшую нестабильность момента срабатывания реле пь„обусловленную шумом.

Решение. Первая из формул (!3.22) показывает, что при заданной дисперсии шума и' наименьшая нестабильность момента срабатывания будет при пороге срабатывания реле, соответствующем максимальной крутизне импульса. ИЗ раВЕНСтна ии(/) = 0 НаХОдИМ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ !, = т„/)Г 5,6, при котором гауссовский импульс имеет максимальную крутизну: з (!о) = и' (!) [ -и = Ао )' 5 6 е —" — =-1,435 — ' ти ти Подставив это значение в первую формулу (13.32), находим наименьшую нестабильность момента срабатывания реле аь, = ти)/ Л'~Л~з/1*435 Ао. 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 13.1. Найти вероятность р,(т) того, что гауссовский стационарный процесс $(!) с нулевым математическим ожиданием н коррляционной функцией !с(т) = и'„(т) имеет в интервале (й 1+ т) четное число нулей.

Ответ: р (т) = Р($(!) $(/+ т)) 0) = 1 — л 'агссоз г (т), О ( агссоз г(т) ( л. 13.2. Получить приближенное выражение для вероятности наличия в малом временном интервале (й /+ т) одного нуля гауссов; ского стационарного дифференцируемого случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией /г(т) = ног(т). Ответ: р,(т) =- ит, т = [~ — -го/л. У к а з а н и е. В малом временном интервале практически возможно наличие лишь одного нуля днфференцируемого процесса $(!), т. е. в формуле (13.34) можно положить р„(т) р,(т).

Поскольку при малых т выполняется неравенство р,(т) (( ), то учитывая лишь первые два члена разложения косинуса в степенной ряд, имеем 1 — (о/,) л'р[(т) ~ г(т). Разлагая затем в степенной ряд четную нормированную корреляционную функцию г(т) ~ ж 1 + (1/2) гот', получаем ответ. ТЗ.З. Вычислить значение параметра т в ответе к задаче 13,2, когда гауссовский стационарный процесс $(!) имеет спектральную плотность 5о при [в[(Ла, 3(ы) = 0 при [ го [) Лв. Ответ: т = Лса/л)г 3. 400 13.4.

Получить выражение для вероятности наличия одного нуля в малом временном интервале (й !+ т) для процесса т)(/) = = з(!) + $(1), где случайный сигнал з (!) имеет вид з(Г) ти1(!) соз ы Г + ти (Г)з!и ыо/ Случайные процессы $(!), $,(г) и $4(!) являются гауссовскими, стационарными, независимыми с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями Я (т), Я,(т) и Яо(т), причем Ят(т) = 1со(т). Огпвеги: р,(т) — ~ ' ' 1 т. гав! )! (0) — й" (0) — /!" (0))~/з л 1 йд(0)+/! (О) У к а з а н и е.

Случайный процесс Ч (!) является гауссовским, стационарным, имеет нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию !сч(т) = Я„(т) соз гоот + /с(т). 13.5. Решить задачу 13.4, когда $, и $, являются не случайными процессами, а независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковой дисперсией оо. Рассмотреть частный случай $(1) = О. Ответ: р (т)= т г! м о й" (0) ~'/з л [ оо-1-/! (0) 13.8. Получить выражение условной вероятности р (т) наличия нечетного числа нулей внутри интервала (/, / + т) для гауссовского стационарного дифференцируемого случайного процесса $(1) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией )т (т) = оог(т).

Предполагается, что в начале интервала имеется нуль, т. е. $(!) = О. Ответ: соз лр„(т) = — г (т)/)гг — г", < [1 — го(т)[. У к а з а н и е. Очевидно, что р„(т) = РД(г) $(! + т) ( (0[5 (/) = — 0). Условнан плотность вероятности р [$ (1), $ (!+ + т) < $(!) = О! является нормальной с нулевым математическим ожиданием и нормированной корреляционной функцией г (т)— М (з И) з (г+ т) ! з (г)) ['м(й'(г+ )[й())м(й*(г)!3(!)) Поэтому применима формула (13.34), только теперь в нее вместо г(т) ну)кно подставить г(т). Вычислив г(т), получим ответ. 13.7. Найти среднее число положительных выбросов в единицу времени на уровне С ( А,„ для гармонического колебания з(!) = А сов (гоо! + ~р), начальная фаза которого случайна и распределена равномерно в интервале ( — л, л).

Ответ: й/~'(С) = /о —— гоо/2л, С( А У к а з а н и е. Так как производная по времени от процесса з(/) = — е,А з!п (ео/+ т?) = ~ео А» — вг(/), то совместная плотность вероятности определяется формулой рг[з(/) з(/))=рт(з)р(в!в) = [б(в — ео1'А»»в з')+ 2л )/Ат — У + б (в +во ~'Ав — вг)1чьрт (з) р (в ), где В (х) — дельта-функция. В данном случае условие независимости (13.8) не выполняется н поэтому следует применять формулу (13.6).

Характеристики

Список файлов книги