Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Раздел ~Т~ ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙ Ч И ВОСТ И !4. ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕИИЯ В общем виде задачу оптимальной фильтрации сигналов из шумов можно сформулировать следующим образом. Пусть колебание х(Е), принятое иа некотором интервале времени, является функцией от сигнала з[Е, Л(Е)1 и шума л(Е): х (Е) = г(з Н Л (Е)1, л (Е)). Сигнал з[Е, Л(Е)1 в общем случае может зависеть не от одного, а от нескольких параметров Ле (Е), причем лкбо сам сигнал а[1, Л(Е)1, либо его параметр Л (Е) являются случайными процессами. Вид функции Р(з, л), т. е. способ комбинирования сигнала и шума, и некоторые статистические характеристики сигнала к шума предполагаются априорно известными. Используя эти априорные данные, необходимо определить устройство '(рис. !4.!), решающее оптимальным образом, какая реализация самого сигнала з[Е, Л(Е)1 или его параметра Л(Е) содержится в принятом колебании (!4.!). Иэ-за наличия шума л(Е) и случайного характера сигнала з[Е, Л(Е)1 оценка реализации сигнала з[Е, Л(е)1 или его параметра Л (Е) ие будет совпадать с истинной реализацией, т.
е. будут иметь место ошибки фильтрации. для количественной характеристики качества фкльтрации можно использовать различные критерии [42[. Наиболее часто в задачах фильтрации используются критерий минимума среднего квадрата ошибки, критерий максимального отношения сигиалЕшум и крктерий максимума апостериориой вероятности. В зависимости от дополнительных предположений о характере сигнала н шума сформулированная задача решается методамн линейной или нелинейной фнльтрацик. В дальнейшем мы ограничимся рассмотреииеми лишь задач линейной фильтрации.
Кроме того, будем предполагать, что сигнал и шум взаимодействуют аддитивио, т. е. х(Е) = 5[Е, Л(Е)1 + л(Е). (14.!а) Оптимальная линейная фильтрация по критерию мкнимума среднего квадрата ошибки [84 — 891. Предположим, что входящие в (!4.!а) сигнал з[Е, Л(Е)1= з(Е) и шум л(Е) представляют собой-стационарные нормальные гауссовские случайные процессы с известными коварнациоииымк функциями: Кз(т) = М(з(Е), з(Е+ т)), Кп(т) = (л(Е) л(Е+ т)), Кзп(г) = М(з(Е)п(Е+ т)).
с минимальной средней квадратической ошибкой выделяет ие параметр Л(Е), а сам полезный сигнал з(Е). Таким образом, [искомая оптимальная система должна минимизировать величину е = М([з(Е) — з(Е+ Л)1 ). (!4.2) В (!4.2) для общности введен временной сдвиг Л. При Л > 0 оцеиказ(Е) на выходе системы должна предсказывать (прогнозировать) значение входного сигнала з(Е) иа время Л, при Л = 0 сформулированная задача сводится к выделению (сглаживанию) сигнала з(Е) из колебаикя х(Е). Строгое математическое решение сформулированной задачи для случая полубесконечиого интервала наблюдения ( — со, Е) было дано Л.
Н. Кол. могоровйм [841 и Н. Винером [851, Ими, в частности, было показано, что оптимальное по критерию минимума среднего квадрата ошибки устройство в данном случае относится к классу линейных фильтров с постояииымн параметрами. Основные результаты теории Колмогорова — Винера заключаются в следующем. Предположим, что на вход физически реализуемой линейной системы (Рис.
14.2) с импульсной характеристикой й(Е), ! ~О, й(Е) = О, Е(0, (!4.3) воздействует стационарный случайный процесс х(Е). При этом стационарный случайный процесс у(Е) = з(Е) иа ее выходе будет определяться соотношением у(Е)=з(Е) = 10 й(т) хИ вЂ” т)0(т. (!4.4) а Подставляя (!4.4) в (!4.2), получаем следующее выражение для среднего квадрата ошибки фильтрации: 0=0([[ 0(00 -,0,—.0.0>1).
которое после несложных преобразований приводится к виду й(з 00 0 00 чм. ее= К, (0) — 2) й(т)К,„(т + Л)бт + ) ) й(тг)й(тз)К„(тз — тг)0(тг0(тз, (14.5) а е (!4.8) Здесь Кз„(т) = М(з(Е)х(Е+ т)) — взаимная коварнацнояиая функция процессов з(Е) и х(Е); К„(т) = М(х(Е)х(Е+ т)) (!4.7) — ковариациоииая функция случайного процесса х(Е). ЕУ-Г(~[авиа],л(Е)] "[ Требуется опРеделить скстему, которая из принимаемой смеси х(Е) = з(Е) + л(Е) (14.!6) Рис !4,! Оптимальный фильтр . Рис. !4.2.
Линейный фильтр 412 413 (14.1! а) (14.9) (!4.13а) (14.15) авх(в) п»а 7!ОЦь)= егл . 5 (в) (14. 16) Здесь гЦв) г»Цв) = ! гЦв) !в = Ях(в), 00 5 (в) ] К (т) е !хтв)т, 00 Зв(в) !па пг«Цв)= е (!4.!6а) (!4.!2) (!4.!3) где ОО Зв(в) )г Кв(т) е !пч в)т.
(14.!4) Чтобы определить импульсиую характеристику ЬОЦ) оптимальиого фильтра, мииимизирующего средиий квадрат ошибки (14.5), воспользуемся известиым методом вариациоииого исчислеиия. Пусть А(0 - А»Ц) + Рй(!). (! 4.8) где р — параметр, ие зависящий от 1; и(!) — проиэвольиая фуикция. При этом условие минимума средиего квадрата ошибки записывается в следующем виде: После подстаковки (!4.8) в (!4.5) условие (14.9) прииимает вид Ф 1' 00 ] п(т) ~ ]в Ав(«)Кх(т — «)в!« — К,х(т + А) в)т 0 . а о Поскольку это соотиошеиие должио выполияться при произвальиой фуикции д(г), то отсюда следует, что импульсная характеристика лв(!) оптимального фильтра должна удовлетворять иитегральиому уравиеиию Фредгольма яер- вого рода 00 ] А,(«)Кх(т — «)в(«К,х(т+А), т > О.
(14.10) о Это интегральиое уравиеиие является осиовиым уравиеиием теории лииейиой фильтрации и называется уравиеиием Вииера — Хопфа [86]. Таким образом, задача иахождеиия оптимальиого сглаживающего (А 0) или ~рогиозпрующего (А и 0) физически реализуемого фильтра сводится к решеиию иитегральиого уравкепия (14.!О). Решеиие этого уравиеиия в общем случае встречает известные трудности, обусловлеииые, главиым образом, требоваиием физической реализуемости оптимального фильтра. Одиако в частиом, ио весьма важиом с практической точки зреиия случае дробнорациональиой спектральиой плотиости Ях(в) входиого процесса хЦ) иэ (14.10) можно получить следующее выражение для комплексной частоткой характеристики ЛОЦв) оптимального фильтра, мииимизирующего средиий квадрат ошибки: 00 ОО Яв()в)=, е пт ), е!и !т+а! дй. (!4.!П 2пр Цв),) р» цО) е ОО Звх(в) )г Квх(ч) е ! в)т.
Ф При этом мнкнмальиый средкий квадрат ошибки фильтрации Ф ! аэ„!я — ) [Зв(в) — [»в«Цв)!в Ях(в)] дв, Для частиого случая сглаживаиия аддитивиой смеси взаимно независимых стациоиариых случайиого процесса вЦ) и белого шума пЦ) с нулевым математическим ожидаиием гля = 0 и корреляциоииой функцией Кп(т) = Р' !2)6(т) формула (!4.11) упрощаетси [89] и приводится к виду: А!е ЛОЦв) ! [29 ( ) [ вг] Иидекс «+в у выражеиня в квадратиых скобках озиачает, что если это выажеиие разложить иа простые дроби, то в разложеиии далжиы быть оставр е ле иы только те из иих, которые соответствуют полюсам, располо верх ве хией полуплоскости. Все простые дроби функции Р(в) 0( ) + е! 3 в й! 2, ая часть соо тветствующие полюсам в иижией полуплоскости, а также цел г(в) должиы быть отброшены. Мииимальный средний квадрат ошибк д ибки ля р ассматриваемого случая может быть вычислен по формуле [89] Практические вычислеиия по формуле (14.11) оказываются довольиа г омоэдкими.
Зпачительиое упрощение получается, если ие иакладывать иа оптимальиый фильтр требования физической реализуемости (!4.3), т. е. иром олагать в (!4.4) п последующих формулах иижиий предел равным — са. При этом вместо ураеиеиия (14.!0) получаем интегральное уравнение вида 00 Ав («) Кх( г — «)1« = — К,„(г -[-А), 0 решеиие которого приводит к следующему выражению для комплексной частотной характеристики физически нереализуемого оптимального фильтра: Мииимальиый средиий квадрат ошибки и в этом случае вычисляется по фопм л (14.13). Для частного случая статистически независимых сигнала в1!) муле « и шума п(0 формула (14.!6) приводится к виду Хотя соотиошеиия (14.16) и (! 4.16а) соответствуют физически иереалиэуемым оптимальным фильтрам, оип весьма полезны, так как любой физически реализуемый фильтр ие может дать меньшей средней квадратической ошибки, чем фильтры, определяемые (14.!6) и (14.!ба).
Объясияется это тем, что иаложеиие иа фильтр условия физической реализуемости (14.3) сужает возможиости выбора оптпмальиой характеристики фильтра в по этой причине может привести лишь к ухудшеиию коиечиого результата. Оптимальная лииейиая фильтрация по критерию максимума отиошеиия си«пал!шум [27, 42, 82, 89 — 9!]. Предположим, что иа вход липейиого фильтра с комплексной частотной характеристикой лз Цв) поступает аддитивпаи к(!) вЦ) + пЦ), (14.!7) где и(/) — стационарный случайный процесс со спектральной пло постыл Я„(а); з(!) — статистически независимый от п(!) полезный сигнал, форма которого (амплитудный спектр Я(!а)) заранее известна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
