Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 58
Текст из файла (страница 58)
+ а"- . о ! ! а и — 1 11 21 (л — 1)! Фильтр нижних частот пропускает без искажений только низкочастотные составляющие процесса на выходе перемножителя. Определить плотность распределения вероятностей р,(т)) процесса а) (1) на выходе коррелятора. Ответ [82[: рх(а)) = — ехр [— >!ч! 4о~ [ 2оа [1 — рй (т)[ График плотности распределения вероятностей рь(а)) приведен 'на рис. 12.47. !2.55.
На вход коррелятора, состоящего из линии задержки (ЛЗ) с временем задержки 1,„= т, перемножителя и фильтра нижних частот (ФНЧ) (рис. 12.48), поступает стационарный случайный процесс $(1) с нулевым математическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией Кй(т) = о)ра(т) соз оаат. где Рнс.
13.!. Реалнзацня р стационарного случай. ного процесса Ряс, 12.49. Двухканальный корреля. тор с интегратором Ряс. 12.48. Коррелятор и -4 -3 д 2 4 8 8 78 4««'вд Рнс 12.47. Плотность распределения вероятностей на выходе двухканального коррелятора 12.26. На один из входов двухканального коррелятора (рис. 12.49) поступает колебание хд(1) = вд(!) + а,(1), а на другой хз(!) = зз(!) + аз(!) Здесь з,(!)= — д соз(юз!+фд). О(!(Т, Е=1, 2, )«'й — прямоугольный радиоимпульс длительностью Т; лд(!) и ат(!)— независимые стационарные гауссовские белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями йя,(т) = В~,(т) = (Адз/2)б(т), М(лд(!) и,'(! + г)) = О. В качестве входных фильтров (Ф) коррелятора используются колебательные контуры с импульсными характеристиками йд(!) = 2аде мд' соз шоу, !.л О.
Определить математическое ожидание тч(!) процесса т)(!) на выходе коррелятора в момент времени ! = Т. Ответ: т„(Т) = ' ' соз(ф,— дрд) Р(а„аз), ад=а,Т, аз=азТ, Е,=А| Т12, Е, =АЗ Т)2, Е(ад, а,) =1 — — (1 — е-")+ — (1 — е — «)+ -в пд пз '+ 1 (1 — Е-дз, +.,! ) яд+аз !3. ВЪ|БРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ !. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Рассмотрим какую-либо реалнзацню непрерывного (днфференцвруемого) случайного процесса а(1) длнтельностью Т (рнс. 13.1). Такая реалнзацня на конечном интервале Т имеет конечное число максимумов н мнннмумов с разлнчнымя значеннямн Н, прячем в момент времени 1„, реалнзацня имеет абсолютный (нанбольшнй) макснмум Нв«. ««ь Реалнзацня $(1) может несколько раз пересекать фвкснрованяый уровень С снизу вверх (с положвтельной производной), причем в момент времени т впервые происходит такое пересеченне (т.
е. первый раз сннзу достнгается гранвца С). Когда случайный процесс $(О пересекает уровень С сннзу вверх, будем говорнть, что вмеет место положнтельный выброс. Если же уровень С пересекается сверху вняв, то можно говорить об отрнцательном выбросе. Тогда можно сказать, что реалвзацня $(1) длнтельностью Т вмеет я положительных (отрнцательных) выбросов на уровне С, причем указанные на рнсунке велнчнны т н 8 можно назвать соответственно длнтельностямн положнтельных н отрнцательных выбросов.
Часто велнчнну 8 называют длительностью интервалов между выбросами. Велнчнны т, 6 н Н в пределах одной реалнзацнн могут прнннмать несколько значеннй (в заввснмостн от уровня С н интервала Т) н вместе с велнчннамн я, т«н Нз«нзменяются случайным образом от однон реалнзацнн к др гой.
Д рн статнстнческом опнсаннн зтнх,случайных велнчнн можно интересоваться нх средними значеннямн, днсперснямн. плотностями вероятноств и другимихарактернстиками. В данной главе приведены окончательные формулы в основном для средвих значений, так как вычисление других характеристик, как правило, связано с выполнением численного интегрирования, что выходит за пределы целевого назначения данной книги.
Другие характеристики рассматриваются тогда, когда они могут быть найдены без сложных математических вычислений. 1. Среднее число пересечений днфференцнруемым случайным процессом я(Е) непрерывной кривой и(Е) снизу вверх (рис. 13.2) на интервале (Ео, Ео+ + Т) вычисляется по формуле Е,+г ЛЕ+(Т)= — ) АЕ [ О(Е)рэ[и(Е), а(Е)+$(Е))аф.
о (13. Ц здесь р,[5(е), я(е)) — совместная плотвость вероятности для процесса я(е) и его производной з (е) = ге$ (е)/еее в один и тот же момент времени. Аналогично число пересечений процессом Э(Е) сверху вниз кривой а(Е) равно е,+т о ЛЕ (Т)= [ АЕ ) 4(Е) р [а(Е), а(Е)+Э(Е))йй. ОО (13. 2) Пусть на интервале (Е„Е + Т) заданы две непрерывные кривые и(Е) и Ь (Е), удовлетворяющие неравенству а (Е) ( Ь (Е). Среднее число раз, когда процесс выйдет из границ а (Е) ( $ (Е) с Ь(Е) на интервале (Ео, Ео+ Т), определяется формулой е,+т ЛЕио (Т) = )' еЕЕ ) Ц (Е) (Рэ [Ь (Е), Ь (Е) + Ц (Е)) +до [а (Е), а (Е) — й (Е)!) йй.
(13.3) Е, о Е,+Т ЛЕ+(С, Т)= [ Е[ 5(Е)р,[С, 5(Е))аз, е'„' 'о Ы-1- г о л'-(с, т)= — *[ зе [ Й(е)р,[с,;(е))бй. — в (13. 4) (13.5) Применительно к стационарным в узком смысле процессам $(Е) внутренние интегралы в формулах (13.4) и (13,5) не зависят от времени и целесообразно ввести среднее число пересечений в единицу времени. Для среднего числа пересечений в единицу времени стационарным случайным процессом Рис 13.2. Пересечения случайного процесса й(Е) и детерминированной функции и(Е) 392 В том частном случае, когда рассматриваются пересечения процесса $(Е) с горизонтальной прямой, т. е. и(Е) = С= сонэ!, формулы (13.ц и: (13,2) принимают соответственно вид й(Е) фиксированного уровня С снизу взора и сверху вниз из (!3.4) н (13.5) получаем простые формулы ле, (с) = де+ (с, ц = [ 5 р, (с, й 4, [(!з.б) 'о о ле;(с)=л'-(с, ц= — )" ~р,(с, ц 4.
(!з,у) Для ряда стационарных процессов (например, гауссовских) значения процесса $(Е) к его производной $(Е) в совпадающие моменты времени оказываются статистически независимыми, т. е. Лгэо(С) =А!; (С) = — 1/:г,", ехр 1( — — ~ ) 1, г", = — ~ .(13,1 ц Для огибающей У(Е) суммы гармонического колебания з(Е) Аю Х Хсоз (юоЕ+ фо) и гаУссовского квазигаРмоиического (Узкополосного) слУ- чайного процесса $(Е), имеющего нулевое математическое ожидание и корреляц ион ную фун кцню Лй(т) = оэр (г) соз юот, (13.12) получаем ЬЕ+ (С) =ЛЕТ (С) =~ Ь ) Яехр[ — 1 ЕА +С*)3 Е, С А С') иэ (т) ! т=о (1з.!з) Здесь Ео(х) — функция Бесселя нулевого порядка от миямого аргумента. При Аю = О формула (13.13) определяет число выбросов огибающей А(Е) одного квазигармонического процесса $(Е): ~ ( )= э (С) ~ 2л ) ~ о)е"Р~ — 2 ( ) ~, Сьй. [(13.14) 2.
Среднее число максимумов дифференцируемого процесса й(Е) на интервале (Ео, Ео + Т) определяется формулой е.+т о Люах(Т)= — [, ЗЕ ) $(Е)Рэ[0, $(Е)[Нф, (13. 15) где рэ [й(Е), й(Е)) — совместная плотность вероятности для первой и второй производных процесса $ (Е) в один и тот же момент времени. 393 р,(С, В) =- д,(С) д(5).
(13.8) При выполнении этого условия формулы (13.6) и (13.7) еще более упрощаются: м о Лг+ (С)=рд(С) [ $р ($) ~Щ, ЛЕь (С) = — р,(С) [ ~ РЯ)4 (13.9) о ОО Применительно к гауссовскому стационарному дифференцируемому процессу 5 (Е) с математическим ожиданием щ п корреляпиопной функцией Е!4(т) = оэг(т) (13.10) формулы (13.9) принимают вяд 1 . /г,~а> б«г(т) ~ Нз юа* — «1«! 2 4/г г" ' в(т« (13.20) Са'в — — сз/а / У'1 — чз в ви и-у, [Ф[ — )в.«в — ' ' «в )1 ч/ ч (! 3.21) где Ф(х) — интеграл вероятности, Сз-С/вг, ч- (1-г, /гв")'".
(13.22) 3. Средняя длительность выброса стационарного эргодического процес- са в (1) над фиксированным уровнем С вычисляется по формуле вв 1 т (С) — р, ($) в(4. Ух+(С) ',, (13.23) с Средней интервал между выбросами иа уровне С с 1 Е(С) Н;(С ) РФ". Применительно к гауссовскому стационарному процессу с математиче- ским ожиданием щ и корреляционной функцией (13.10) формулы (!3.23) и (13.24) принимают вид 2и С вЂ” ю т(С) — „[1 — Ф(У)) ет /, У вЂ” ', (13.26) а 0(С) ., Ф(у) ет /з, (! 3. 28) )/ — в (13.24) Для среднего чпсла минимумов процесса справедлива формула «в+2 в Н „(Т)= [ 42['3(/)р,[О, 'й(2)[Ц.
(13.16) Среднее число максимумов на интервале (/в, /в + Т), превышающих фиксированный уровень С, равно «в+т „з Ушах(Н > С, С) — [ в(/ [ <$ [ $(1) рз[$(2), О, $(2)) в($, (13.17) С -ив где дз [я (2), й (2), в (1)) — совместная плотность вероятности самого процесса и его первых двух производных в одни и тот же момент времени. Применительно к стационарным процессам можно интересоваться сред« ним числом максимумов в единицу времени. Прн этом нз формул (13.15) н (13.17) имеем е У, „=У ., (1) - — ~ 'Ь.
(О, 'В) 4, (13.18) вв Е У«щах(Ь >С) Ушах(Н>С, 1) — ) в/3 [ фдз[$0.6в($ (13 19) с Формулы (13.18) я (13.19) для гауссовского стационарного процесса $(1) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией (13.10) првннмают соответственно внд Рпс. 13.3. Смещение момен- тов срабатывания реле нз- за шума 27 уг уг вх «2 Для огибающей А(/) квазнгармонического процесса з(2), имеющего корреляционную функцию (!3.12), сраведливы следующие соотношения: Г2 . С (С)- — У' „, у= — >О, 7 У Рв' ' -ИГЖ[-(-' )-1 (13. 27) (13.28) Средняя длительность интервала между минимумом иследующнм за ним соседним максимумом теь а также менсду максимумом и последующим соседним минимумом Оввв находятся по формулам тт ) р($) в(йв 6т ~ р(й) «ф (13 29) 1 Г 1 Нгпап л' Нг юах о — вв Для гауссовского стационарного процесса (13,30) ,=в- в — "Щ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
