Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 60
Текст из файла (страница 60)
!3.8, Найти на интервале Т дисперсию числа нулей о» (Т) гармонического колебания з(!) = А з!и (2л/о/+ тр), у которого случайная начальная фаза распределена равномерно в интервале ( — л,'и). Ответ [83): ао(Т) = (2«/«Т [2/««Т[) (1 2~«Т + [2~«Т)) где [2/«Т) — целая часть числа 2[оТ. 13.9, Получить в явном виде выражение Ут+ (С) для гауссовских стационарных процессов с нулевыми математическими ожиданиями, одинаковыми дисперсиями и тремя нормированными корреляцион- ными функциями г, (т) = (1+ а ! т !) е — !' >, г, (т) = е — "те о!и (Лвт/2) гг(т) = Лвт/2 Сравнить полученные результаты при одном и том же значении уровня С и одинаковой эффективной ширине спектров Л)».
Ответ У!',!(С)= — Л/,ехр[ — — ( — ) ] =0,63662Л/,ехр[ — ( — Ц У!+,г(С)= =„Л1 ехр[ ( ) 1= =0,38894Л/,ехр[ — ( — ) 1, ! У[;г(С) = =Л/,ехр[ — ( — ) ~ =0,28867Л/,х 1/!2 " 2 то/1 хехр[ — — ( — ) 1, УТ,, (СЬ У7,, (С)~У!г (С). 13.10. Даны два гауссовских стационарных узкополосных процесса с корреляционными функциями »[г(т) =а'е-""!(созе,т + — "ейпе,[т[), во а /?,(т) =аге-"!т!(созе« г — — з!пео[т[).
во Какой из двух процессов является дифференцируемым? Вычислить для него среднее число положительных выбросов У7(С). Ответ: первый процесс дифференцируем, второй — нет; У!' (С) =/о [1+ — ( — ') 1 ехр ( — — ), Л/о — и. 13.!1. Найти среднее значение полного числа пересечений У,(С) уровня С для суммы т)(/) = $,(/) + $»(/), где $т(!) н $»(!) — два гауссовских независимых стационарных дифференцируемых процесса, имеющих нулевые математические ожидания и корреляционные функции )?т(т) = агтгт(т), яг(т) = сф'г(т).
Ответ: Вг г! ('т) гто = вт«т 13.!2. Решить задачу 13.11 для случая, когда Ч(/) = эт(/) — $г(!). Ответ: о[ г[ +от г,"о 'тт/г С л |т от«+в»» ) [, 2(о[ +о') 13.! 3. В задаче !3.11 найти число «положительных» нулей У+(О) процесса т[(!), когда /?т(т) = а,'р,(т) соз е,т, /?г(т) = о,'р,(т) соз е,т, р,(0) = р,(0) = 1. Ответ: у+((!) ! ! о[(в[ — Р[«)+от(в[ — Рто) 1'/' ° В'Рт(т) ~ 2л 1 от»+от з Вт' т о 13.14. Найти на интервале (!„ /, + Т) среднее число превышений уровня С суммой гауссовского стационарного процесса $(!) и прямой а(!) = а, + а,/, где а, и а„— постоянные коэффициенты. Процесс $ (!) имеет нулевое математическое ожидание и дважды дифференцируемую корреляционную функцию /?,(т) = = агг(т). Ответ: .„о,ч ~ )/ ='...(-;.),~.( [ф(С вЂ” ао — од/) ф(С вЂ” ао — от!/о+Т))~ Ответ: О,3ТЛ/э. и сравнить ответы.
Ответ: "0,22ТЦ. иЫ) Сте/ пинвдиой УПУ Ввтвитвр вгивиютеат А/е/ саввитратввв Рвив Л/!, а (С) /о (1+ (1/24) (Л///о)') ехр ( — Са/2оя), Л/ = Лш/2п, Л/Г,1(С)) Л/ю',т(С) ) Л/,+ а (С). 13,23. Получить формулу для среднего числа положительных выбросов в единицу времени на уровне С гауссовского стационарного процесса с корреляционной функцией К(т) = пор(т)соз(вот +7(т)1, р(0) = 1. Л/о(С) ~о [~! ! то) ро| /т ( ~ ) ' пт() ~ 13.24. Определить среднее число выбросов Л/+(С, Т) огибающей А(!) квазнгармоннческого шума, спектральная плотность которого постоянна в интервале частот) / — /о ) ~ Л~/2 и равна нулю вне итого интервала.
Рассмотреть случай, когда Т = 1000 мкс, Л/ = 1 Мгц и С=За. Олиет: Л/+(С,Т)=ТЛ/1'(С)=ТЛ/1 — "( ~1 р( — ~ ) С>О 6 то/ ! 2оэ/ Л/+(Зп, !О а) 24 с-т, 13.25. На вход системы, представленной на рис. 13.6, воздействует белый шум п(!), односторонняя спектральная плотность которого В„(/) = Л~о, / ) О. Определить число срабатываний «безынерционного» злектронного реле от шумовых выбросов при порогах срабатывания Ст = 2о и С, = За за время Т = 1000 мкс, если квадрат частотной характеристики усилителя промежуточной частоты (УПЧ) имеет внд Л'(/)=Л;ехр~ — 2,8~ И Л/ << /о Л/ /3 где /о — резонансная частота; Л/ — полоса пропускания УПЧ на уровне 0,5. Вычисления выполнить для Л/ = 2 МГц. Олиет: Л/+ (С, Т) = Т/У,+ (С) = ТЛ/э — ехр ~ — —,~„Л/а = Л/ ' о ! 2о'/ Л/+(2о, 1О-') ж 540 с-', /у+(Зп, 1О-') см 66 с-'. Рис, !3.6 Простейшая схема амплитудного радиоприемника с электронным реле У к а з а н и е.
На выходе линейного детектора огибающей воспроизводится огибающая А (/) квазнгармонического шума в (!), воздействующего на вход детектора. 13.28. Пусть на схему рнс. 13.6 воздействует сумма гармонического сигнала и(1) = А соз(шо! + оро) и квазигармоннческого шума $ (1) с функцией корреляции /сй(т) = оаехр ( — пЛ/ата)созшот.
Найти среднее число срабатываний реле за фиксированное время Т при пороге срабатывания, реле С = Зо, если отношение сигнал/шум а=А /а=2. Ответ: /У+(С, Т) =ТЛ/ЦС) =ТЛ/, — ехР ~ — '(а'+ —,Я1-/о~а — ) = Указание, На выходе линеиного д ктора огиба цен : воспроизводится огибающая У(/) суммы сигнала и шума. 13.27. Решить задачу 13.26 для случая, когда корреляционная функция шума $(!) имеет вид /тй(т) = оа '" сов шо т, пЬ/т в":(с,о ть!)/ — — мо[ (о о, )]~'( ) 13.28. Вычислить средние числа максимумов в единицу времени Л/, гауссовских стационарных процессов с нормированными корреляционными функциями га(т) = е-™, га(т) = з!ппЛ/т/пЛ!ч. Сравнить полученные результаты при одинаковой аффективной ширине спектров. Ответ: Л/ив сова - — 'Ф'% = — ' Л/э =1,382Л/в.
Л/т,а аа = — Р' — Л/=0,387Л/а(Л/цэ мах. !./ з 2 Б 1 / я 0,302 эг' бо 2а/а ~7 б Ь/э - / З 1,292 ~/ =- — >тэ, Л/=Л/, Л/ г б д/ эа" э считая Л! хь, 1о = гоо/2я. Ответ: Ответ: "/1 гаах го ( Л/э Д Отвепг 13.29. Лля процессов, указанных в задаче 13.28, вычислить средний временной интервал между максимумом (миннмумом) н соседним минимумом (максимумом). Ответ: 13.30. Найти среднее число максимумов в единицу' времени Л/хэ;„ гауссовского стационарного процесса с нормированной корреляционной функцией г(т) = р(т)созгоот, р(0) = 1. Ответ: э/ г / ! 0Ро/оэо+РО /оээ У /о оээ Ро/мэ 2л 13.31, Решить задачу 13.30 при нормированной корреляционной функции .
г(т)= сове т, э!п эхА/г О э 13.32. Решить задачу 13.30 при нормированной корреляционной функции г (т) = ехр ( — пЛ/1т') соз гоот, Л!э (< /о = гоо/2п. Ответ: 13.33. Выразить через эффективную ширину спектра Л/, ср нее время между двумя соседними положительными выбросамн на уровне С для гауссовских стационарных процессов с нулевыми математическими ожиданиями и нормированными корреляционными функциями г,(т) = (1 + а!т1) е — "!'1, г,(т) = е — "'о, г(т) = 3!пяЛ/т/ггЛ/т. Сопоставить полученные ответы с результатами решения задачи 13.9.. Ответ: т,(С)= — [1 — Ф( — )~ехр —,, а/э т,(С) [1 — Ф ( — )~ ехР—. 13.34.
Для гауссовских процессов, указанных в задаче 13.33, найти средний интервал времени между соседними нулями. Олгвет: гх(0) и О, 3927 тэ(0! /г и 1 О, 0207 ! — )/3 1,732 — т,(0) =. — = 2 Л/ Л/ 13.33. Определить средний интервал между положительными Ф- выбросами на уровне С гауссовского стационарного процесса с нулевым математическим ожиданием и нормированной корреляционной функцией ж г(т) = р(т)созо! т, оооо )) — ро, р(0) = —. 1. т(С) — (1+ Р' )[1 — Ф( — )~ехр( —,).
13.36. Пользуясь ответом к задаче 13.35, определить средний интервал между соседними нулями процессов с корреляционными функциями э1п пА/э г гэ(т) = ехр( — пЛД тэ) соз гоэт га(т) = соз гоот. на/эх —,(О)= — [1- — ( ) ~,,(0) [! ( ) ~. 1) о,,= 1,435А э и 1,435 1р 2 Аэ 0,885ати 1 435Аэ' и(а/ Ав те ег 410 13.37. Определить средний интервал между соседними положительными и отрицательными выбросами огибающей А(1) на некотором уровне С = 0 для гауссовских стационарных процессов с нормированными корреляционными функциями, указанными в задаче 13.36. Огпвет: 1/ 3 в,рср= — ' — '( р( — ) — 11, эпср= — '1 — ' х а/э х [ехр~ —,) — 1].
13.38. Найти наибольшую точность определения положения тэ центра видеоимпульса гауссовской формы (рис. 13.7) и(/)=Ааехр[ — 2,8( ) ], где т„— известная длительность импульса на уровне 0,5, в слу- 'чаях, когда: 1) для определения то используется пороговое уст- ройство, реагирующее только на фронт импульса; 2) момент тэ определяется пороговым устройством, реагирующим как на'фронт, так и на срез импульса. Указанный импульс принимается на фоне аддитивного флукту- ацнонного шума малой интенсивности с корреляционной функцией К(т) = па ЕХр ~ — — сээГээ тэ) р Л/э О ти У к а з а н и е. Рассматриваемый гауссовский видеоимпульс имеет максимальную крутизну фронта и среза и' „(1мэ) = Рис.
13.7. Видеоимпуаьс гауссовской формы = ~ Аэ)г 5,6 е-о а/т„в точках /ьэ — — т, -Е ти/)Р'5,6, отстоЯщих друг от друга на т = т„/кг1,4. Пороговые устройства должны иметь порог срабатывания С = А,е-о а. Центр импульса во втором случае определяется равенством т, = (/,+ 1,)/2. 13,39. Определить временную нестабильность положения какого- либо нуля суммы гармонического колебания в(1)=Аирсоз(соэ(+Чро) и плавно изменяющегося флуктуационного шума с нулевым математическим ожиданием и малой дисперсией оа (( А„'.
Ответ: оо = о/соэА 13.40. Найти плотность вероятности временного интервала т между соседними нулями суммы гармонического колебания в (1)= = А сов(рва(+ ррэ) и гауссовского стационарного шума (малой интенсивности) с нулевым математическим ожиданием и дифференцируемой корреляционной функцией /с (т) = оэг (т). Ответ: аорэ иэ аэ (орэ т/и — 1)э 1 А„, 2 1Г л 1/1+г (и/арэ) ( 4 1!+ г(п/эрэ)1 1 а У к а з а н'и е. Как следует из (13.31), в линейном приближении плотность вероятности интервала времени между соседними нулями будет нормальной. При этом среднее значение интервала, очевидно, равно и/ор„а для вычисления дисперсии нужно воспользоваться формулой (13.33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
