Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ответ: а) Р(0, /) = 0,905, б) т, = 200 ч, и?? = 4.10' ч? 9 24. Показать, что поток заявок, у которого интервалы между заявками взаимно независимы и распределены по одному и тому же показательному закону р? И) = Ле — "', является пуассоновс- ким. 9.25. Доказать, что для нестационарного пуассоновского потока заявок функция распределения и плотность вероятности случайной величины Т (интервал времени между соседними заявками) имеют внд ?д -';? Е?Ш, ~ ?-~ — *р[ — [ 1В?М], ? +~ ~,ю.л?-1ю.~-й ь[ — [ л(чн], где /„— параметр распределения (момент появления первой из двух соседних заявок).
9.26. Мгновенная плотность нестационарного пуассоновского входного потока заявок представляет собой линейную функцию времени: Л (/) = а + Вй Определить плотность вероятности случайной величины Т— промежутка времени между соседними заявками. Ответ [31: р,(й (,) = (а + Ь(/ -)- !)[ехр( — а/ — Ь/,( — В('/2), 9.27. Нестационарный пуассоновский поток вызовов на теле- фонную станцию имеет мгновенную плотность вида Л (/) = = Л (1 — соз 2а/). Найти среднюю плотность потока вызовов за промежуток време- ни от („до /„-[- б Ответ [59[: Л(/, /„)=Л [! — " сова(/-!-/„)1.
а(? — ?л) 9.28. На вход обслуживающей системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью Л и интервалами между заявками Т„Т„„,, Тм Т«„, ..., которые янляются независимыми слу- чайными величинами. «+? Показать, что плотность вероятности интервала Т = ~ Т; опре?=? деляется выражением Л«+' Р?(/) = /«е — ", Г) О. Г («+1) 9.29. Доказать, что при показательном законе распределения времени обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
гтг 9.30. В результате анализа системы массового обслуживания ?становлено, что функцию распределения Р,(/) времени обслуживания Т,в можно описать выражением Р,(() =-1 — 1/(1+ ()"-, где ( — время, мин. Определить: а) вероятность Р, того, что время обслуживания заявки не превзойдет 5 л???н; б) среднее время обслуживания одной заявки; в) вероятность Р, того, что зз зто время обслуживание очередной заявки будет закончено.
Ответ: а) Р, = 0,972, б) т? — — 1 мин, в) Р, = 0,75. 9.31. Группа из п самолетов производит поиск малоразмерного объекта. Каждый самолет действует независимо от других. Поиск прекращается, как только объект обнаружен одним из самолетов. Пусть закон распределеления времени поиска каждым самолетомв показательный, причем среднее время поиска для каждого самолета соответственно равно 1/и„1/р„..., 1/р„. Показать, что: 1) функция распределения времени поиска всеми и самолетами имеет вид Р?(/) = 1 — ехр ! — (р, + р, + ... + )?„)/1; 2) математйческое ожидание и дисперсия времени поиска при )л? = [? = ... =- р„=- )? соответственно равны т? в= 1/и)?, и? в = 1/(п)л) . 9.32.
Частица, попавшая в счетчик Гейгера — Мюллера, вызывает разряд, длящийся время т (т — постоянно). Попавшие за зто время в счетчик новые частицы не регистрируются им. Считая, что распре. деление числа частиц, попавших в счетчик, подчиняется закону Пуассона, найти вероятность того, что счетчик за время (~ 0 сосчитает все попавшие в него частицы Л«+' ?? — «т)«.л 1 Ответ [62[: Р(/)=е-л' 1-1- 'У « — о (+)! где Л вЂ” среднее число частиц, попавших в счетчик за единицу вре. мени. 9.33. В автопарк, рассчитанный на и мест, прибывает простейший поток машин с интенсивностью Л до тех пор, пока имеются свободные места. Найти дифференциальные уравне??ия для вероятностей Р, (/) того, что ровно /? мест заняты. Ответ [5[: — Р, (?) = — (Л+в)л) Р«(() +ЛРд ?(/) + ?и +(6+1)рР« ы(/), 1 (/?(п — 1; — Р„(/)= — п)?Р„(/) +ЛР„?(/).
9.34. Сколько оборонительных комплексов п должна иметь оборонительная система, чтобы вероятяость ее прорыва противником не превышала 0,02, если на данном направлении действует простейший поток целей противника с плотностью Л = 4, время обстрела г73 одной цели одним оборонительным комплексом распределено по показательному закону с параметром Р = 2, а вероятность поражения цели при одном выстреле (залпе) равна единице. Ответ: л = 6.
9.35. На станции л телефонов-автоматов, обслуживающих в среднем л( человек. Вероятности одновременного разговора )г человек распределены по закону Пуассона Р(л т)= ' ' е хт. глтР ы Найти среднее число абонентов, стоящих в очередях к автоматам. Ответ: т= лу (lг — л) — е- '=Р(л, т) ~ — + (Лт)" Л 1 Лт ы ~л+! 2 (Лт)з (Дà — л) (Лт) (л+ 1)(л -1-2) (л+ !) (а+ 2)...ЛГ ~ где Р(л, т) = — е — '.
(Лт)л л! 9.36. Узел связи обслуживает 1000 абонентов, каждый из которых в среднем занимает линию связи в течение 6 мин за час. Какое число каналов л надо иметь, чтобы исключить длительные ожидания (вероятность того, что максимальное число одновременно поступивших вызовов превысит число каналов, не должна превышать 0,3%). Олмет: л = 128.
9.37. Для охраны района выделено 1О кораблей, ремонт которых обеспечивают два дока. Каждый док может одновременно принять для ремонта один корабль. В док карабль ставится тогда, когда ог( не может нести охрану и нуждается в ремонте. Вероятность того, что корабль за время 1 потребует ремонта Р(1) = 1 — ехр ( — 0,021), где 1 — время, мес. Предполагая, что в среднем на ремонт одного корабля затрачивается два месяца, а время ремонта подчиняется показательному закону, определить: а) среднее число кораблей, находящихся в ремонте; б) вероятность того, что для охраны района будет иметься не менее 8 исправных кораблей. Ответ [63): а) ть = 0,395; б) Р(й ) 8) =- 0,99. 9.38.
В систему с одним обслуживающим аппаратом поступает простейший поток заявок с плотностью Л=9,8 заявкк в минуту. Число обслуженных заявок подчиняется закону Пуассона, причем среднее число обслуженных заявок в минуту равно !О. Определить: а) математическое ожидание длины очереди; б) вероятности того, что в очереди находится О, 1, 2 заявки; в) вероятность того, что вновь поступившей заявке совсем не придется ждать; г) среднее время ожидания. Ответ: а) т, =- 49, б) Р, = 0,02, Р, = 0,0196, Р, = 0,0192, в) Р, = 0,02, г) т~,ж = 4,9 мин. 274 Раздел Ш ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 1О.
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ При рассмотрении преобразований случайных сигналов линейными снс. темами можно пользоваться аппаратом дифференциальных уравяений, нм пульсиымв характеристиками н комплексными частотными характеристика. ми систем. В общем случае, когда интересуются как нестационарным, так в стационарным режимамя работы системы в начальвые условия в системе ие нулевые, целесообразно использовать аппарат двфференциальных уравнении.
Йри ну левых начальных условиях удобнее пользоваться импульсными характеристнкамн. С комплекснымв частотнымв характеристиками обычно опери. руют в том случае, когда интересуются лишь стационарным состоянием ли. нейной системы. Типовые задачи, связанные с преобразованием случайных луг пассов ли. нейными сястемами,можно разбить на две группы: !. Задачи, требующие определения математических ожиданий, корреляционных функций и спектральных плотностей продессов на выходе линейных систем. 2. Задачи, требующие определеняя функций распределения выходного случайного процесса.
Очевидно, что нз решения задач второй группы может быть получено решение задач первой группы. Однако, за исключением того важного, хоть н частного случая, когда воздействующий на лянейную систему процесс $(0 является гауссовским, не существует метода, который позволял бы находить непосредственно плотности распределения вероятностей для процесса Ч (О на выходе системы.
В общем случае задачи второй группы приходится решать путем вычисления корреляционных функций выходного процесса Ч (1) с последующим определением характеристических функций и соответствУющих нм плотностей РаспРеделениЯ веРоатностей Рч(чы Ч,, ..., Ч„; 1,, 1,, ..., 1„1. Ниже првводятся формулы, по которым, находятся корреляционные (вли моментные) функции процесса на выходе лийейной системы прн известных корреляционных функцяях процесса на входе. Рассмотрим систему, описываемую линейным дифференциальным уравненяем с настоянными илн зависящямн от времени козффицнентами: Вл а а„(1) — Ч (О +...
+ аг (1) — Ч (1) + ае И) Ч 00 ей л В1 Вм - Ь (1! — „Ь(1)+ ... + Ь, И) — „Е(1)+ба(ОЕ(0.! (10.11 27З (10.2) опера- (10.3) выходе (10. 4) Е! с т (с) = 5(р, с) т»И), Е<пИ! Ез) = 5(Р !») Е- (Р Ез) Е<!<Е» Е»). (!0.7) (10.8) (1О. !)б) 277 276 Здесь $(!) — пронесс на входе системы, характеризуемый математическим ожиданием тдИ) = М [$03) н коРРелацнонной фУнкцией <71<!„с,) = М [[".<ав — т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
