Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Задачи этой группы решаются рассмотренными в предыдущих главах методами анализа воздействия случайных процессов на линейные и нелинейные звенья радиотехнических устройств. Для решения задач второй группы необходимо использовать аппарат теории статистических решений [1, 27, 94 — 98]. Предположим, что на вход приемного устройства поступает смесь сигнала и шума х(1) = Яз(1), 5(1)1, (!5.1) где з(1) — полезный сигнал; 5(1) — помеха. Функция Р [э, Ц, т. е.
хараитер взаимодействия сигнала и помехи, а также статистические характеристики шума 5(1) и сигнала з(1) предполагаются известнымн. Применительно к случаю различения т сигналов, принимаемых на фоне помех, входящий в (!5.1) сигнал з(1) можно представить в виде суммы и з(Г) .— — э(1, Л) = ~~~ Лни (1, 11!!, (з1!1, ..., 1д'!], (15.2) г= 1 где Л! — параметр, определяющий, какой из сигналов зз(1) = з;(1, (г! 11г1, ..., 1О!) присутствует на входе приемника в данный момент времени; о " д 1111 — параметр сигнала з;(1), ч = !, 2, ..., й. Параметр Л; представляет собой случайную величину, принимающую на интервале наблюдения (О, Т) значения Лг = Лг, = О либо Л; = Лм = 1, причем если Л; = Лгл 1, то все остальные входящие в (15.2) параметры Л! с индексам ]+ л равны нулю; Л = Л = О.
Приемник, осуществляющий различение е сигналов, дол— зов жен определить, какой из коэффициентов Л! равен единице, т. е. какай из сигналов з;(1] присутствует в принятом колебании х(1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь случая различения двух сигналов зд(1) и з,(1), принимаемых на фоне помех. При этом сигнал (!5.2) может быть представлен в виде з(1) = з(1, Л) = Лэл(С, 1[", Ц", ..., Щ")+ (1 — Л) з,(1, 1[", 1о'1, ° °, Ц"). (15.3) Здесь Л вЂ” параметр, случайный образом принимающий два значения; Л = = Л, 1, что соответствует наличию в принятой реализации х(1) сигнала э,(1), или л = )., О, когда в реализации х(г) присутствуег сигнал зз(1), Представление сигнала з(1) в форме (15.3) характерно для различных систем (15.6) (15.7) где г[х(1)[ Л] = Иш р,(х,,х,, ..., х„ 1 Л) и з а — так называемый функционал плотности распределения вероятностей.
Здесь б = (дш — (д — временной интервал между соседними выборками хд = х((ю Л) и хд+л = х((д+д, Л). Рассматриваемый как функция от параметра Л, он называется функционалом правдоподобия и обозначается через Р(Л). Следует отметить, что конечный предел, определяемый соотношением (15.7), не существует. Можно показать [96], что в правую часть равенства (15.7) входит множитель Д Д(Ь), не зависящий от выборки хл, хо, ..., хп, но зависящий от б так, что при б-л О й-+ оо.
Однако в результате того, что неопределенный множитель д не зависит от хл, х,, ..., хп, имеется возможность вычислить конечный предел отношения (!5.5): !1ш рп(хл, хо, ..., х, [Лл) Р[х(1)]Лд] (15. 8) п о Рп (хл, хо, хп)Ло) Р[х(Е)]Ло! з а Наиболее просто функции правдоподобия Рп(х„х,, „хп [Л) .= 1.
(Л) вычисляются в том случае, когда х(1) представляет собой аддитивную смесь сигнала з(1, Л), зависящую только от одного случайного параметра Л, и шума 5(1): х(1) = з(1, Л) + $(1). (15.9) В этом случае!961 р (х, хо, ..., хп[Л) = Л(Л) =рпй[х,— э,(Л), хо — зз(Л),, хп — эо())1 (15.!О) где РпйЯ„ $„ ..., вп) — и-мерная плотность распределения вероятностей шума $ (1); хд = х (1д); эд (Л) = з (1ю Л).
Переходя в (!5.10) к пределу при б = !дел — 1д О, получаем Р [х (1)]Л] = Р (Л) = Р$1х О — э (1, Л)]. йередачи двоичной информации, широко используемых в связи, телеметрии, телеуправлении и т. п. Применительно к случаю обнаружения сигнал з(1) представляется в виде з(1) = з(! Л) = Лэл(! !л 1з .. (д) (15.4) Значение параметра Л = Лл — — 1 соответствует наличию на входе приемника смеси сигнала и шума, Л = Ло =- О означает, что на входе приемника имеется только шум. Приемник, предназначенный для обнаружения сигналов, определяет, какое значение на данном интервале наблюдения (О, Т) имеет параллетр Л, т.
е. представляет ли принимаемое колебание х(1) только шум или смесь сигнала и шума. В соответствии с теорией статистических решений принятие гипотезы Л = Лл или Л = Ло должно основываться на результатах анализа отношения правдоподобия.
При дискретной обработке реализации это отношение имеет вид Л[х(Г)] =Рп(х„х,, ..., хп(Лл)/Рп(х„х„..., хп]Ло), (15.5) где Р (хл хз. "* хп[Лл) и Рп (хл, хо, .", хп[Ло) — л-мерные плотности распределения вероятностей выборок хд = х(гд) процесса х(1) соответственно при гипотезах Л= Лл и Л= Л. Рассматриваемая как функция параметра Л, условная плотность распределения вероятностей рп(хл, хо; ..., хп [Л) обозначается через Л(Л) и называется функцией правдоподобия.
В случае непрерывной обработки реализации х(1) отношение правдоподобия Л[х(1)1 = Р[х И) ]Л,]/Р[х(1) [ Л,], г[х(1) [Л]=Р(Л) = ] ... ~ РЛ[л(1) — з(1, Л, 12, 1я,. °, 1ь)[Х Хрэ(1„1,, ..., 1ь)41,Л1,... Мь. (!5.!1а) Здесь рх(1,, 1„..., 1ь) — совместная плотность распределения вероятностей несущественайх параметров 1,, 1, ..., 1ь. Если 5(1) представляет собой гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием тй(1) = О и корреляционной функцией Яй(12, 1,)- '= М[[ье(12) — тй(12)Н$(гя) — шй(гз)Ц, то его л-мерная плотность распределения вероятностей определяется формулой ! 5 )=- о о .и„-]г(2п) —.Д'с (15.12) в 1 п Здесь оз = оз (1 ) = М [яэ(1 )7 — т' (1 ) — дисперсия случайной величины $м = $(гм) Гы . Ггв Гвг Гвэ †определите л-го порядка, составленный из нормированных взаимных корреляционных функций г = г (1, 1 ) = Рй (1„, 1 )!о о; Д„„ — алгебраическое дополнение элемента г ойределителя Д.
Переходя в (!5.!2) к пределу пт при Л = 1з+, — 1а О,получаем следующее выражение для функционала плотности распределения вероятностей гауссовского случайного процесса 5(1): ! Р [Щ]4 йехР— — З! З! Ц)Д~(12)В(1„12)2)12Л12, (!5.!3) 2 о о 2 где В(1,, 1,) определяется интегральным уравнением Т ] Йй(12, т)В('г, 12) 2(т= 6(1з — 1Д. (!5.14) о Иногда удобно преобразовать (!5.!3), введи функцию т р(1) =- [5(1,)В(1, 1,) 1,. (!5.14э) о При этом получим г 22222~И - *2 [ — — ] 22'2222~~1. о (! 5.! За) 4чб В более общем случае полезный сигнал может зависеть не только от параметра Л, называемого существенным, но и от ряда несущественных случайных параметров 1,, 1, ..., 1э.
При этих условиях и функционал плотности рас- пРеделениЯ веРоатностей Ях(1) — з(1, Л, 1„12, ..., 1ь)] оказываетса зависящим от несущественных сучайных паралгетров и для определения функционала правдоподобия г[х (1) ! Л] требуется его усреднение по несущественным параметрам: где функция 2р (1), как это следует из (15.14) и (!5.14а), удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма первого рода: т [ Р (1, т)2р(т)г[т=Ц1), 0 <1 <Т. ( ! 5.! 46) о Предположим, что 5(1) представляет собой гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием тй(1) = О и корреляционной функцией Р1(1 гэ) = МД(12) Б(12)] = (Л2эг2)6(12 — гд (!г !г) Подставляя (!5.!5) в (!5.14б), находим, что 2Р(1) = (2! Уо)ь(1) в соответствии с чем для функционала плотности распределения вероятностей белого шума получаем следующее выражение: ! гй[5(1)] = кехр — — ) 52(1) Ш (15.16) в Аналогично находится функционал плотности распределения вероятностей для гауссовского процесса 5(1) с нулевым математическим ожиданием тй(1) = О и корреляционной функцией )1 (12 1)=а' е (15.17) В этом случае [96] т т а Г2.
2 ЯП'3 = '*2[ —, )2'Р2~~.2)('[ 2 )й .2 22'2Ч.22'2~22). о о (15.18) Для гауссовского процесса $(1) с нулевым математическим ожиданием ш (1)= =-О и корреляционной функцией )7 (12, 1 ) = — озе " г* г' ! ~ сов юг(1,— 1)+ — гбп юг[1 — 12[ 1 (!5.!9) Эз, имеем [96] т 2222222 " 2 ( —,, ] 22Р22Ю 2- 2] 220>2'2-2 в т -2 2]2'22 ~2 2[22222~22-2 222'2~22-2'2О22- 224202.22'2222)). о о (!5.26) где об=шаг+аз, ае=2а.
Если в результате дискретной обработки принятой реализации х(1) окажется, что отношение правдоподобия (15.5) превышает некоторую величину С, т. е. Л [х(1)] — " ' — > С, (15.21) р„(хд, л,,..., хп!Ло) Л(Ло) принимается решение Л = Л,. В противном случае принимается решенно Л=Л,.
447 нлн е ф', 2. ПРИМЕРЫ (15. 29а) Р(Л,)ЕР (Л,» Р (Л,)ЕР (Л,). Принятие решения означает разбяение всей области Г возможных зна- чений х„хо, ..., х„иа две подобласти Г, и Го. При попадании принятой вы- борки х,, х„..., х„в область Гг принимается решение Л = — Л,, а пря попада- ния х,, х„..., х„в область Го принимается решение Л = Л,. Так как Р (х,, «о "" «о1Лг)» Ро(хы х„..., х„(Л ) определены по всей области Г, всегда имеется вероятность того, что при Л = Л выборка х,, х,, ..., х„попадает в подобласть Г,, млн наоборот, прн Л = Лт выборка х,, х,, ..., х„попадает в подобласть Г,. Таким образом, при приеме реализации х(!) всегда имеется вероятность принять ошибочное решение Л = Лы тогда как в действительности Л Ло, н наоборот. Эти условные вероятности называются соответственно вероятностямн ложной тревогя Рр и ложного отбоя Рр и определяются 1 о соотношениями Р =Р(Л !Ло)= ) ро(хх,хо, ...,«а(Ла)4«,дхо ...
дхо, (15.22) г, Рр — — Р(йо1Ло)= ! Рл(х„х„..., хл(Л,) Дхтдхо .. бха (15 23) 'Го Вероятностя прнннтня правильных решений Л = Л или Л =- Ло называются мощностью решения н обозначаются соответственно через Ро и Ро . Ро — -Р(Л, !Л,) = ! Р„(х,, хоо ..., хо! Л,)бх,о(хо... 3«о, (15.24) Г, Ро,=Р(Ло! Ло) = ) Ро («ы «о, хв(Ло) бх, бхо ... о(ха. (15.25) г, Следует отметить, что условные вероятности Рр и Р не полностью характеризуют ошибки решения. Относительная частота появления этих ошибок зависит от значений априорных вероятностей р(Л,) я р(Л ), т. е. ат того, насколько часто априори на входе решающего устройства появляется сигнал, соответствующий Л = Л, илн Л = Л . Поэтому в риде случаев ошябки решения характеризуются полнымн вероятностями ошибок первого Р, н второго Р, рода; Р, = Р (Л,) Рр — р (Л,) Р (Ло ! ),), (15.26) Р =р(Л ) Р =-р(Л ) Р(Л,1Ло).
(!5.27) Значения вероятностей ошибок зависят от правнла принятия решения (15.21) я определяются значением постоянной С. Естественно выбрать та- кую постоянную, при которой правило (15.21) оказывалось бы в определен- ном смысле оптимальным. В задачах связи, телеметрии и телеуправления в ка- честве критеряя оптимальности обычно используют критерий идеального на- блюдателя (критерий Котельникова — Зигерта), совпадающий с байесовым критерием минимального среднего ряска при простой функции потерь, когда ошибочному решению приписывается вес, равный единице, а правильному— вес, равный нулю. Согласно этому критерию оптимальным считается соот- ношение (!5.21), минимизирующее суммарную вероятность ошибок первого и второго рода Р=Р(Л,) Р(Л,!Л,)+Р(Л.)Р(Л,1~ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
