Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(15.23) Можно показать 1961, что это условяе выполняется при С = Р(Ло)/р(Л,), в соответствии с чем оптимальное по критерию идеального наблюдателя правилоо принятая решения Л Л, принимает вид ь(Лх)Еь(Ло) ~ Р(Ло)/Р(Лг). (15.29) В случае непрерывной обработки реализации х(Е) правило (15.29) прообразуется к виду В задачах радиолокации широко используется другой критерий оптимальности, называемый критерием Неймана — Пирсона. Согласно этому критерию оптимальным считается правило (15,21), макснмязирующее вероятность правильного решения Ро (мощность решения) при заданной вероят- $ ности ложной тревоги Р, Можно показать 195], что это условие выполняется прн С = И, где И определяется по заданной вероятности ложной тревоги Рр .
Таким образом, оптямальное по критерию Неймана — Пирсона Е правило принятия решения Л Л, имеет вид Л(Л,)ЕС.(Л,) ~ И (15.30) Р(ЛФР(Ло) ~ И. (!5.30а) Таким образом, решение сформулированных в начале параграфа задач второй группы сводится к отысканию оптимального устройства, осуществляющего обработку принимаемой смеси х(Е) в соответствии с правнламн (15.29) или (15.30), и вычислению соответствующих вероятностей ошибочных решений. В двух рассмотренных критериях предполагалось, что решение принимается за фиксированный интервал времени длительностью Т.
Однако в отдельных случаях принимаемая реализация х(Г) может оказаться настолько благоприятной, что надежное обнаружение нля различение сигналов можно произвести значительно быстрее, чем и случае приема менее благоприятной реализации. Поэтому, если заранее не фиксировать длительность Т наблюдения, можно получить в среднем значительную экономяю во времени обработки прнмимаемых реализаций «(!).
Такое наблюдение, прн котором длительность обработки х(!) заранее не фиксируется, а определяется самим ходом эксперимента, называется последовательным наблюденяем (последовательным анализом) 199, !00). Прм последовательном наблюдения производится непрерывный анализ отношения правдоподобия и сравнение его с двумя порогамн И, я И, к И,. Есля отношение правдоподобна меньше И„пряннмается гипотеза Л Л. Если же отношение правдоподобия й(х(1)) ~ И,, принимается гипотеза Л Л,.
В том случае, когда отношение правдоподобия находятся между нижним И, н верхним Ит уровнямн, считается, что полученная в результате обработки реализации х(!) статистика недостаточна для принятия решения н испытание продолжается. 15.1.
На вход радиоприемиого устройства поступает колебание х(Е) = Лл,(Е, Е)", Е~", ..., Е"') + (1 — Л)я,(Е, Е!!о), Е~", ..., Е"')+ 1(Е), (13.31) где $(Е) — стационарный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Ий(т) = (И(о/2)б(ч); з!(Е, Е!'), Е!!>, ..., Еп)) = ~(Е, Е(о11, ..., Еаи!) соз (оиЕ + +Чг!(Е Е(а+!, " ЕИ1)1 Е = 1, 2, (15.33) — детерминированные узкополосные радиосигналы. Здесь ш! — несущие частоты, Е!(Е) и Чг;(Е) — функции, отображающие законы амплитудной и угловой модуляции, Еигг! — априорно известные параметры сигналов з!(Е, Е!з11, Е(о!1, ..., Е( ') = з;(Е).
15 зо и. ахах ч49 (! 5.34) 1 (15.35) Й;(1) = зт(Т вЂ” 1), (15.39) (15.36) и сравнить ее с порогом 2 1 Р(50 (15.31) Здесь (1 5. 38) 4ЗО 451 ПРедполагаетсЯ, что шиРина спектРов сигналов зт(1, 1(т', 1ат, „., 1)т') и з,(1, !(*', 1!в', ..., 1„'м) много меныпе пх несущих ча стот и, кроме того, !озт — ота! = Ато с(; ото а сами сигналы з;(1, 1<'1, 11атт, ..., 1' ') полностью определены на интервалах времени длительностью Т и равны нулю вне этого интервала. Параметр Л представляет собой случайную величину, принимающую на фиксированном интервале (йТ, (й+ 1)Т), й = О, 1, 2, ..., значение Л = = Л, = 1, что соответствует наличию в принятом колебании х(1) сигнала зт(й 1!", 1ат', ..., 1ы') = зт(1) или Л = Л„= О, когда в колебании х (1) присутствует сигнал з, (1, 1)*', 1,"',, Я') =— = за(1).
Априорные вероятности р(в,) = р(Л,) и р(з,) = р(Ло) присутствия сигналов (15,33) в колебании (!5.3!) считаются известными. Определить структуру приемного устройства, осуществляющего оптимальную по критерию идеального наблюдателя обработку реализации х(1) и вычислить соответствующую ей минимальную суммарную вероятность ошибочного приема детерминированных сигналов зт(й 11", 1~", .
1"') = — в,(1) н зз(1, 11 ', 1а"', ..., !вт ) = зе(1). Решение. Как следует из (15.11) и (!5.16), в случае приема .(т1 детерминированных сигналов з;(й фт, Р,'1, ..., 1 ') = з, (1) на фоне белого шума й(1) функционалы правдоподобия Р (Л,) и Е(Л,) определяются соотношениями Подставляя (!5.34) и (!5.35) в (!5.29а) и логарифмируя получен ное выражение, находим, что оптимальный приемник для различе ния двух детерминированных сигналов з;(1) (1 = 1, 2) на фоне бе лого шума должен сформировать величину т т У = ) х(1)зт(1)Й вЂ” ) х(1)зз(1)й о о т т Е = ) зр((т((1, Е = ) з!(1)с(1 о д — энергия сигналов в,(1) и ва(1). Рис. 1о.1.
Онтныалвные устройства для различения двух детерминированных сигналов Решение Л = 1 принимается притУ Н, в противном случае принимается решение Л =- О. В соответствии с (15.36) и (! 5.31) искомое оптимальное приемное устройство должно состоять из двух перемножителей, интеграторов и порогового устройства с порогом Н (рис. 15.1, а). Перемножители и интеграторы можно заменить согласованными фильтрами (СФ) [82, 90! с импульсными характеристиками при этом схема оптимального приемника преобразуется к виду, изображенному на рнс. !5.1, б.
Предположим, что колебание (!5.31) на входе приемного устройства имеет вид х(1) ==- з,(1)+ с(1), а сформированная приемником величина (l ( Н. В этом случае будет иметь место ошибка (принимается решение Л =- О, когда в действительности Л = 1), вероятность которой и Рт =Р(зт)Р(за1зт) = Р(зт) ~ рт((т! Л= !)Жl. (1540) Здесь рт((/(Л =- 1) — условная плотность распределения вероятностей случайной величины (т' при наличии на входе приемника сигнала з,(1).
Из (15.36) следует, что (1 является гауссовской случайной величиной с плотностью распределения вероятностей Рт( !Л) =, ехр ~ —, ~, (!5,4!) 1 1 (Гт — тх)а ) 1~ 2н ох ) 2оо где В,= ~ яг(1) яг(1)г/. (15. 42) где ф()= ' г!е г'ч[х ~' 2и .! математическое ожидание тл и дисперсия [7л = чтя которой зависит от параметра Л. Подставляя, в частности, в (15.36) сумму х(1) = яч(1) + $(1), после несложных вычислений находим тл ! = Е, — В„плч ! = (й!о/2) (Ег + Ег — 2В,), Таким образом, вероятность принятия ошибочного решения Л = 0 Р ( ) [1 ф( Еч+Ег — 2Вв Мо!п[Р(зв)/Р(згНД (! 43) 2 У (Ег+Ев — 2Вв) ~Ко/2 — интеграл вероятности. Пусть (/) Н, х(1) = яг(1) + Ц1).
В этом случае также имеет место ошибка (принимается решение Л = 1, когда в действительности Л = 0), вероятность которой вв Р, = р(яг)Р(я, [яг) = р(яг) ') рг((/[ Л = 0)з[(/. (15.44) В данном случае тл а = В, — Ем о~ — а = (Ег + Ег 2Вв')вг/и/2 (15.45) и формула (15.44) принимает вид ) (1 ф С ег+ ег — 2Вв+в/о !и [Р (зв)/Р (згН )~ (15 46) Подставляя (15.43) и (!5.46) в (15.28), находим следующее выраже- ние для суммарной вероятности ошибки при оптимальном приеме детерминированных сигналов: Ег+Ев — 2Вв — Ио 1и [р (з,)/р (з,)! 2 — (Еч+Ев — 2Вв) Еч+ Еч — 2Вв+ //о !п \р (зч)/р (зй! +Р(вг) ! — ф 2.
~о (Е +Е 2 . (15.47) При р (я,) = р (яг) = 1/2 формула (15.47) значительно упрощается: Р = 1 — Ф([' ч/г (! + 8 — 2р„)/4), (15.48) где ч/г = 2Ег/[ч'о 8 = Ег/Ег р„ = В,/Ег. (15 49) Для большинства применяемых в системах радиотелеграфии сигналов характерным является равенство их энергий Е! = Е. При этом условии из формул (15.48) получим [27[ Р=1 — Ф (1'ч/(1 — р,)/2), (15.50) где В 1 Р Я (1)вг (1)в(1 Е Е,) (!5.51) а — коэффициент взаимной корреляции сигналов я, (1) и я, (1). Из (15,50) следует, что определение потенциальной помехоустойчивости для случая оптимального приема детерминированных сигналов сводится к вычислению коэффициента их взаимной корреляции.
Учитывая монотонно возрастающий характер функции Ф (х), приходим к выводу, что при одинаковых отношениях сигнал/шум ч/ = 2Е/й/ наиболее помехоустойчивыми являются сигналы яч(1), для которых коэффициент р, минимален. Значения Р = 1(в/, р,), вычисленные по формуле (!5.50), представлены на рис. 15.2. 15.2. На вход радиоприемиого устройства поступает колебание х(1)=Ля(1, 1,, [г, ..., 1 )+$(1), (1552) где $ (1) — стационарный нормальный белый шум с нулевым математическим ожиданием тв = 0 и корреляционной функцией (15.32); я (1, 1„ 1„ ..., 1 ) = ( (1, 1„ ..., 1,) соя [аго1 + Ч' (1, 1„+„ ..., 1 )[, (15.53) — детерминированный узкополосный радиосигнал. Здесь агав несущая частота, / (1) и Ч' (1) — функции, отображающие законы амплитудной и угловой модуляции, 1л — априорно известные параметры сигнала я (1, 1„1„..., 1 ) = в (1). Предполагается, что ширина спектра сигнала я (1, 1,, 1,, ..., 1 ) много меньше его несущей частоты, а сам сигнал полностью определен на интервале длительностью Т и равен нулю вне этого интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
