Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 73
Текст из файла (страница 73)
В частности, при оценке одного параметра получаемая оценка оказывается асимптотически (при очень большом объеме выборки) эффективной. Перечислям теперь исходные условия, выполнение которых предполагается в дальнейшем, н затем в справочном виде приведем конечные формулы для дисперсия оценок (108) при обработке непрерывной реализации т) (Г). 1. В реализациях в) (Г), подлежащих обработке, отношение сигнал/шум настолько велико, что неоднозначность оценки практически исключена.
2. Рассматривается оценка лишь одного какого-либо известного параметра Лв полезного сигнала з (Г, Л,, Лв, ...). Априорная плотность вероятности этого параметра Лг принимается равномерной в некотором интервале значений. Остальные параметры сигнала считаются или все известными (так называемый полностью известный сигнал, за исключением оцениваемого параметра) или же радиосигнал з(й Л,, Лю ...) имеет случайную начальную фазу, равномерно распределенную з интервале ( — а, и) (сигнал со случайной начальной фазой). В дальнейшем рассматрввается в основном случай полностью известного сигнала. Однако ряд полученных результатов остается справедливым и для радиосигналов со случайной начальной фазой.
Параметры Л; (амплитуда, длительность импульса), от которых зависят энергия сигнала, называются энергетическими( остальные параметры (частота, время появления, фаза и др,) — неэнергетическими. 3. В дальнейшем рассматриваются три частных вида гауссовского стационарного шума з (Г): белый шум с корреляционной функцией )7о (Гв — Гв) = А/об (Гв — !г)72 экспоненциально.коррелированный шум узкополосный шум с корреляционной функцией )7в (Гв — Г) = ов ехр ( — а ! 1, — Г, !) ~соз го, (Гв — 1) + — з(п ю, ! à — 1, 1~ (16.16) Яг Прн указанных трех условиях оценки неэнергетнческих параметров сигнала, а также его амплитуды оказываются несмещенными. хгисперсия оценки неэнергетического параметра Л полностью известного сигнала з (Г, Л) определяется формулой (108! Г~Р з(Л)1 — в ох=) (16.17) дЛв где Ло — истинное значение оцениваемого параметра; т з(Л!.=1з(Г, Л ) в(1, !) д(.
(16.18) Для гауссовских стационарных шумов с корреляционными функциями (16.14) †(16.!6) функция и (Г, Л) соответственно равна 2 по (Г Л) — з (-' Л) (!6.19) Уо п,(г, ),)= — ~з(Ц Л) —— а Г 1 двз(1 Л)! 2пв ~ ' ав д(в (16.21) 1 о! (г, л) = ~ы«о з (г, х) + 2 (го1 — 2!х') х 4аю1 ог Рз(! )») «14 з(О )») ) К ' + ' ~, ого юг+аз. Йг о— Нетрудно убедиться, что функция правдоподобия случайной величины ), определяется выражением С.(),)=р(чычо!),)= ' р~ — 'Ч "' (нг ')" 1. 2по! о, ! 2П! 2)>г Дисперсия оценки «амплитуды» а полностью извествого сигнала вида з (Г, а) = а зо (!), где зо (Г) — нормализованный сигнал, равна гт '1 — ! ог ! зо(йо (Оиг о Здесь функция и' (Г) определяется прежними формулами (16.19) — (16.21) с заменой в правых частях з (б )«) на зо (1), 2.
ПРИМЕРЫ 16.1. Случайная величина Х принимает два значения 1 и 0 с вероятностями Р(х =- 1) = )», Р (х = О) = ! — ).. Пусть в результате и испытаний исход х = 1 осуществился й раз, а исход х †-- О осуществился и — и раз. Требуется получить оценку вероятности ), по результатам опыта. Решение. В данном примере функция правдоподобия определяется биномиальным распределением 7. ().) = )а (1 — л) -а. Уравнение правдоподобия принимает вид — '1П7.
(Л)= —" — — ' =О. да )г 1 — >» Отсюда получаем решение л = )г/т. Следовательно, оценкой вероятности Р(х = 1) = Л является относительная частота и!гп исхода х =!. Для паха>яде!чпя минимальной дисперсии оценки воспользуемся формулам:! (16.5) и (!6.7). Так как др/дл = ! при х =- 1 и др)д) =-. — 1 прп х = О, , а) р(х>Х))г 6Х ! Х+1 Х Х(1 Х)' Поэтому Р-„,„=). (! — Л) )т. 16.2.
Некоторая нормально распределенная случайная величина ) измеряется независимо двумя неравноточными приборами, которые осуществляют измерения без систематических ошибок, но с разными дисперсиями Р, и Ргг Нужно указать результирующую погрешность измерения случайной величины )..
Решение. Обозначим показания первого и второго приборов соответственно чеРез ти и т),. Можем записать тц = л + $„Чг = = з, + $г, где Б! и йг — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями Р, и Ргг 466 Уравнение правдоподобия принимает вид д 1п 7 ()) (ч г) + (ч )«) 0 д)« Отсюда находим Е»! т), + т)гп По известным правилам получаем дисперсию такой оценки Р!"„= Р«Рг>(Рг + Рг). 16.3.
Вычислить дисперсию оценки амплитуды а прямоуголь- ного радиоимпульса з (1, а) = а соз (о>1 т Ч>о), О < )о < 1 ( )о -)- ги < Т, ыТ )) 1, (16.23) принимаемого на фоне гауссовского стационарного шума с корре- ляционной функцией (16.15). Решение. Рассматриваемый радиоимпульс равен нулю на кон- цах интервала наблюдения (О, Т) Для него функция и'(1), входя- щая в форлгулу (!6.22), определяется выражениели (16.20) и равна и' (1) =- — )зо (г, ) ) — — ' 1 = — ( 1 + — ) соз (гог+ «р„).
а ! 1 «)гзо(Г,)»)1 а ! агт 2ог ~ аг Йг ~ 2пг(! аг) Подставив эту функцию и' (!) в формулу (16.22) и выполнив инте- грирование, при условии о>Т )) 1 получим ,~61)~1 ( ( 1 аг где Л1, = а/4 — эффективная ширина спектра шума; гч — шири- на основного «лепестка» спектра радиоимпульса, 16.4. Определить дисперсию оценки разности т = г, — с, вре- менных положений двух неперекрывающихся радиоимпульсов зг (! — т,) = аг) (! — тг) соз (о>1+ гр,), зг (1 т ) иг! (1 т ) соз (го! + р ) принятых на фоне белого шума > (!) в интервале времени (О, Т), причем о>Т )) 1.
Функция 1 (! — т!) описывает огибающие радио- импульсов. Решение. Если обозначить через 5, и 5, соответственно случайные ошибки определения с, и т„то дисперсия опенки разности б = бс — б, определяется соотношением Р,=М(бс)=М (б!)+М(бо) — 2М(б,бс) =Р„+΄— — 2 УРо, Ро, гсм где Р„и Є— дисперсии раздельных оценок т„и т,; гсс — нормированная корреляционная функция совместной оценки т, и т,.
Так как импульсы не перекрываются, то гсс =- 0 и (16. 24) О, =Р„+О„. Слагаемые в правой части (16.24) находим по основной формуле (16.17), причем для белого шума в (16.18) нужно подставлять функцию о (!, т,), определенную соотношением (16.19). Следовательно, можем написать г — ! Рос= — — ( вс(! — Т,о) — в;(! — тс)Ж «! =1, 2. (16.25) с«/о с о с со Можно показать (1081, что этот результат приводится к виду ! Р,,= (2Ес///о) Рс г Ес = ( вс' (/ — т;) с(/ о (16.26) (16.27) где — энергия радиоимпульса з; (! — т;), г 1 — ! «« ))о = ) ! р (/со) (с с(со ) со!( р (/ос) )с с/ос — «« «« г(/ос)= ~ У(/)е/"'с(/ (16.28) (16.29) 1,4 (2Е/Асс) !' В,б 2 — комплексный спектр огибающей /(!).
Вычислении по формуле (16.28) для огибающей гауссовой формы / (!) = ехр ( — 2,8!с/тс), где с„— длительность импульса на уровне 0,5 от максимального значения, приводят к следующему результату: бо = 2,8/т„'. Применительно к гауссовым радиоимпульсам формула (16.24) при а, = а, = а принимает вид 3.
ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 16.1. Имеется последовательность с)/ независимых испытаний, в каждом из которых интересующий нас исход наступает с постоянной, но неизвестной вероятностью р. Пусть и — наблюдаемое число положительных исходов. Каково наиболее правдоподобное значение р? Ответ: р = п//У. 16.2. Оценить параметр ).
в законе распределения Пуассона р (х, 5) = — е — х, пользуясь выборкой, которая для случайной х! величины Х дала значения х,, х„..., х„. ! т« Ответ: ).= — о;~ хс, Р;= —. с=! 16.3. Показания п„и„..., пн каждого из й/ счетчиков распределены по закону Пуассона. Известно, что средние значения М (и, ) = = )./с, с ==- 1, 2, „ Ас, где )! — неизвестная интенсивность; !,— отдельные временные интервалы счета.
Найти оценку интенсивности ).. и ! и Ответ: )!= ~чз„и,. ( ч„ /! с ! «! 16.4. Случайная величина $ имеет нормальную плотность вероятности р(9)= ехр [— с известным математическим ожиданием т и неизвестной дисперсией О. В результате наблюдений получены п независимых значений 5с, 5о, ..., о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
