kkvant (1083120), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Во-первых, он может служить для приготовления квантового состояния, после чего квантовое состояние изменяется со временем согласно уравнению Шредингера. Фактическиначальные значения амплитуд вероятности, о которых мы упоминали выше, несутинформацию о том, как было приготовлено квантовое состояние в результате взаимодействия системы с прибором. Вторая важная функция прибора — определениеквантового состояния рассматриваемой системы в некоторый момент времени1 .Читателю уже известно, что если квантовое состояние есть суперпозициянескольких ортогональных “базисных” состояний, то результат измерения не будетоднозначным.
При многократном повторении однотипных измерений приборбудет регистрировать систему в различных базисных состояниях с некоторымивероятностями. Предсказание значений этих вероятностей и есть основная задачаквантовой механики.Заметим, однако, что для практической реализации процедуры измерения вероятностей прибор должен быть способен отличить одно базисное состояние отдругого.
Иначе говоря, любой прибор “настроен” на представление квантового состояния системы как суперпозиции некоторого набора базисных состояний. С этойточки зрения использование различных представлений вполне оправдано: каждоеиз них предназначено для определенного типа измерений.Вернемся теперь к задаче о системе с двумя базисными состояниями. Записьвектора состояния в виде (18.7) удобно тогда, когда прибор различает базисныесостояния |1 и |2.
С другой стороны, если при измерении можно различить стационарные состояния |I и |II, то для вектора состояния естественно использоватьпредставление (18.31). Как было показано в разделе 16.1. и как мы убедились напримере системы с двумя базисными состояниями, имеются точные правила перехода от одного представления к другому. Существование таких правил совершеннонеобходимо. Иначе было бы невозможно связать и сопоставить результаты измерений различного типа над одной и той же системой.Обычно информация о квантовом состоянии содержится в физических величинах,которые измеряются приборами.125018.3.Примеры систем с двумя базисными состояниямиХотя модель с двумя базисными состояниями является предельно упрощенной,она, тем не менее, неплохо описывает некоторые “настоящие” физические объекты.Рассмотрим атомы, основными термами которых являются термы с J = 1/2.Например, у атомов водорода (H), атомов щелочных металлов (Li, Na, K, Rb, Cs),меди (Cu), серебра (Ag), золота (Au) и т.д.
основным является терм 2 S1/2 . Вэтом состоянии отсутствует орбитальный момент атома (L = 0), так что полныймомент определяется спином электронов. Спиновое квантовое число, как легкосообразить, равно S = 1/2. Основным термом атомов бора (B), алюминия (Al) инекоторых других является терм 2 P1/2 . В этом случае L = 1, а S = 1/2.Предположим, что атом, основному состоянию которого соответствует J = 1/2, причем дополнительная магнитнаянаходится в постоянном магнитном поле B,энергия электронов в поле мала по сравнению с разностью между соседними уровнями энергии атома в отсутствии поля.
В разделе 13.7. мы выяснили, что гамильтониан взаимодействия атома со слабым магнитным полем можно записать ввиде = g e Jˆ · B.(18.33)Ŵмаг = −µˆ · B2mЗдесь µˆ — оператор магнитного момента атома, g-множитель Ланде (13.88). Длятермов 2 S1/2 и 2 P1/2 имеем, соответственно, g = 2 и g = 2/3. Если J = 1/2, то проекция оператора полного момента на любую ось квантования z может приниматьлишь два значения: Jz = /2 (MJ = 1/2) и Jz = −/2 (MJ = −1/2).Динамика атома в магнитном поле описывается гамильтонианомĤ = Ĥ (0) + Ŵмаг ,(18.34)где Ĥ (0) — гамильтониан в отсутствие поля.
Собственными состояниями Ĥ (0) являются состояния |LSJMJ , а собственными значениями — энергии стационарных(0)состояний ELSJ . Напомним, что оператор (18.33) имеет отличные матричные элементы лишь для состояний |LSJMJ с одинаковыми квантовыми числами L, S иJ. Поэтому задача о поведении атома в слабом магнитном поле сводится к моделис двумя базисными состояниями, в качестве которых можно выбрать состояния сразличными значениями проекции Jz на ось квантования момента:|1 = |LSJ, MJ = 1/2,|2 = |LSJ, MJ = −1/2.(18.35) то формула (18.33)Если направить ось квантования z вдоль магнитного поля B,примет вид [см.
также (13.90)]Ŵмаг = geB ˆJ .2m z(18.36)В этом случае матричные элементы гамильтониана (18.34) для базисных состояний (18.35) легко вычисляются:(0)H11 = ELSJ +1g µB B,2(0)H22 = ELSJ −1g µB B,2H12 = H21 = 0.(18.37)251Поскольку недиагональные матричные элементы равны нулю, то состояния (18.35)являются стационарными1 , причем H11 и H22 — соответствующие значения энергииатома.
Впрочем, все это мы уже видели в разделе 13.7. [см. формулу (13.91)].Если магнитное поле направлено, скажем, вдоль оси x, тоeB ˆŴмаг = gJ .(18.38)2m xТеперь базисные состояния (18.35) уже не будут стационарными, так как недиагональные матричные элементы H12 и H21 будут отличны от нуля. Конечно, мыможем перейти к другим базисным состояниям, которые соответствуют заданнымзначениям проекции Jx и являются суперпозициями состояний (18.35). Эти новыебазисные состояния уже будут стационарными. В принципе, схема, изложеннаяв предыдущем разделе, позволяет описать динамику магнитного момента атомапри произвольном выборе оси квантования момента и произвольном направлении но здесь мы не будем углубляться в эту задачу.магнитного поля B,Приведем еще один пример того, как динамика довольно сложной физическойсистемы может быть сведена к модели с двумя базисными состояниями.
Он относится к теории так называемых мазеров — квантовых усилителей электромагнитного излучения, которые в настоящее время широко применяются в различныхтехнических устройствах. Мы кратко рассмотрим аммиачный мазер, принципдействия которого основан на особенностях строения молекулы аммиака NH3 .При равновесном расположении ядер молекулааммиакаимеетформупирамиды; в ее основаниилежат три атома водорода,а в вершине находится атомазота. Как и у любой молекулы, у молекулы аммиакаимеется много базисныхсостояний, различающихсязначениямиквантовыхчисел электронных возРис.
18.2.буждений,колебаний ивращений. Однако, дажеесли все эти квантовые числа фиксированы, остаются еще две возможности: атомазота может быть расположен либо по одну сторону плоскости атомов водорода,либо по другую (см. Рис. 18.2.). Назовем эти два состояния молекулы |1 и |2и будем использовать их в качестве базисных состояний. Конечно, это всеголишь приближение; оно означает, что переход атома азота из одного положения вдругое не сопровождается возбуждением электронов, колебаний или вращений.Из соображений симметрии ясно, что диагональные матричные элементы гамильтониана H11 и H22 (т.
е. средние значения энергии молекулы аммиака в состояниях |1 и |2) одинаковы. Что можно сказать о недиагональных матричныхэлементах H12 и H21 ? Как мы видели в предыдущем разделе, эти матричныеэлементы определяют вероятность переходов между базисными состояниями. Вданном случае это вероятность перехода атома азота между двумя положениямиотносительно плоскости атомов водорода (см. Рис. 18.2.). С классической точкизрения такие переходы невозможны, так как атому азота нужно “протиснуться”1То есть они совпадают с состояниями |I и |II из предыдущего раздела.252между атомами водорода, а для этого нужна немалая энергия.
Однако в квантовой механике, как мы знаем, существует туннельный эффект, благодаря которомуатом азота может пройти через потенциальный барьер без затраты энергии. Вероятность этого перехода очень мала из-за большой массы атома азота, но она неравна нулю и поэтому ее нужно учесть. Итак, мы приходим к модели с двумябазисными состояниями молекулы аммиака, в которойH11 = H22 ≡ E (0) ,∗H12 = H21≡ A.(18.39)Вычислить амплитуду перехода A очень трудно, поэтому будем считать ее параметром, значение которого можно найти из эксперимента.Теперь мы могли бы применить схему из предыдущего раздела и найти, например, как будут меняться со временем вероятности обнаружить атом азота в двухразличных положениях относительно плоскости атомов водорода.
Можно такженайти уровни энергии в данной модели и определить стационарные состояния |Iи |II; в каждом из них атом азота совершает переходы между базисными состояниями |1 и |2. Нас будет интересовать, однако, еще одна особенность молекулыаммиака, которая и используется в аммиачном лазере.Дело в том, что электронное облако в молекуле аммиака слегка смещено в сторону атома азота, поэтому молекула обладает дипольным моментом, направленным от атома азота к плоскости атомов водорода.
Если приложить внешнее электрическое поле E перпендикулярно к плоскости атомов водорода (см. Рис. 18.2.),то энергия молекулы в состояниях |1 и |2 будет иметь различные значения, таккак дипольный момент по-разному направлен относительно поля.Обозначим величину среднегодипольного момента молекулы черезd. Тогда вместо (18.39) для матричных элементов гамильтониана нужновзять выраженияH11 = E (0) + E d,∗= A.H12 = H21Рис. 18.3.H22 = E (0) − E d,(18.40)Теперь из общей формулы (18.25)легко находятся уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле:EI = E (0) + E 2 d2 + |A|2 ,(18.41)EII = E (0) − E 2 d2 + |A|2 .Можно найти и соответствующие векторы стационарных состояний |I, |II; этомы оставим читателю (см.
упражнение 18.5.).Зависимость уровней энергии EI и EII от напряженности электрического поляE изображена на Рис. 18.3. На этой зависимости и основан принцип усиленияэлектромагнитных волн в аммиачном мазере.Схема работы мазера заключается в следующем. Аммиачный газ в виде тонкойструи пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле, причем модуль электрического поля E резко меняется поперек пучка.253Молекулы аммиака, находящиеся в состоянии |I, отклонятся в сторону уменьшения E, так как их энергия растет с ростом поля1 , а молекулы, находящиеся всостоянии |II, отклонятся в сторону увеличения E, так как их энергия убывает с ростом поля.
Таким способом удается разделить молекулы аммиака на двапучка. Для работы мазера используется пучок молекул в состоянии |I, которыйпропускается через резонатор переменного электромагнитного поля. Важным обстоятельством является то, что уровень энергии EI = E (0) + |A| лежит выше, чемуровень EII = E (0) − |A|, поэтому молекулы, попавшие в резонатор, находятся ввозбужденном состоянии. Частота колебаний электромагнитного поля в резонаторе ω подбирается так, чтобы как можно точнее выполнялось условие “резонанса” ω = 2|A|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
