kkvant (1083120), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Водя сокращенные обозначенияE1 = H11 ,E2 = H22 ,∗A = H12 = H21,(18.10)Запишем уравнения (18.9) для амплитуд вероятности в видеidC1 (t)= E1 C1 (t) + A C2 (t),dtidC2 (t)= E2 C2 (t) + A∗ C1 (t).dt(18.11)Сначала предположим, что амплитуда перехода A равна нулю. Тогда уравнения (18.11) легко решаются:C1 (t) = C1 (t = 0) e−iE1 t/,C2 (t) = C2 (t = 0) e−iE2 t/.(18.12)245Это просто амплитуды стационарных состояний с энергиями E1 и E2 . Вероятности w1 = |C1 (t)|2 и w2 = |C2 (t)|2 не зависят от времени и совпадают с их начальными значениями. Если одна из амплитуд в начальный момент времени была равнанулю, то у системы нет никакого шанса когда-нибудь попасть в это состояние. Приэтом вероятность обнаружить систему в другом состоянии будет все время равнаединице.Уравнения (18.11) это линейные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентами, поэтому их нетрудно решить и при ненулевой амплитуде перехода A.
Как известно из математики, решения таких уравнений всегда можно искатьв виде экспонент. ПоложимC1 (t) = c1 e−iωt ,C2 (t) = c2 e−iωt ,(18.13)где c1 и c2 — постоянные, а ω — пока неизвестная частота. Подставляя эти выражения в (18.11), вычисляя производные, а затем сокращая на общий множительexp(−iωt), приходим к системе однородных уравнений( ω − E1 )c1 − Ac2 = 0,(18.14)−A∗ c1 + ( ω − E2 )c2 = 0.Ненулевые решения для c1 и c2 существуют лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю, т. е.
ω − E1−A = 0. −A∗ ω − E2 Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение для ω, которое имеетдва решения (элементарные выкладки оставляем читателю):ω1 = ω0 + Ω,ω2 = ω0 − Ω,(18.15)где введены обозначения1ω0 =(E + E2 ),2 11Ω=1(E − E2 )2 + |A|2 .4 1(18.16)Таким образом, каждая из амплитуд C1 (t) и C2 (t) есть сумма экспонентвида (18.13) с частотами (18.15):C1 (t) = a1 e−i(ω0 +Ω)t + b1 e−i(ω0 −Ω)t ,C2 (t) = a2 e−i(ω0 +Ω)t + b2 e−i(ω0 −Ω)t .(18.17)Эти формулы дают решение задачи о динамике любой квантовой системы с двумябазисными состояниями, гамильтониан которой не зависит от времени. Решениесодержит четыре комплексных постоянных: a1 , b1 , a2 , b2 .
Для их определения нужны дополнительных условия. Прежде всего, имеем два начальных условия(0)C1 (t = 0) = C1 ,(0)C2 (t = 0) = C2 ,(18.18)246(0)(0)где C1 и C2 — заданные амплитуды; они описывают квантовое состояние системы в момент времени t = 0.
Заметим, правда, что эти условия не являютсянезависимыми, так как (0) 2 (0) 2+C(18.19)C 2 = 1. 1 Кроме того, в любой момент времени должно выполняться условие нормировки (18.8). Это дает еще два условия на коэффициенты в формулах (18.17) (см.упражнение 18.3.). Наконец, нужно потребовать, чтобы в каждый момент времени удовлетворялись уравнения (18.11). Мы не будем приводить громоздких общихформул для коэффициентов a1 , b1 , a2 , b2 , поскольку их проще найти для каждогоконкретного случая.
Вместо этого рассмотрим один частный, но поучительныйпример.Предположим, что в начальный момент времени t = 0 система находиласьв одном из базисных состояний, скажем, — в состоянии |1. Это означает, чтоw1 (0) = 1, а w2 (0) = 0. Как будут изменяться со временем вероятности w1 (t) и(0)(0)w2 (t) ? Поскольку в данном случае C1 = 1, а C2 = 0, из формул (18.17) и (18.18)находим, чтоa1 + b1 = 1,a2 + b2 = 0.С учетом второго равенства выражение (18.17) для амплитуды C2 (t) принимаетвидeiΩt − e−iΩtC2 (t) = 2i b2 e−iω0 t= 2i b2 e−iω0 t sin Ωt.2iОтсюда для вероятности w2 (t) = |C2 (t)|2 обнаружить систему в момент времени tв базисном состоянии |2 получаемw2 (t) = 4|b2 |2 sin2 Ωt = 2|b2 |2 (1 − cos 2Ωt) .(18.20)Вероятность w1 (t) дается, очевидно, формулой w1 (t) = 1 − w2 (t).Зависимость w2 (t) от t показана наРис.
18.1. Вероятность обнаружить систему в состоянии |2 периодически изменяется со временем с частотой 2Ω, гдеΩ зависит от разности (E1 − E2 ) среднихзначений энергии в базисных состоянияхи амплитуды перехода A [см. (18.16)].Может показаться,что w2 (t)[см. (18.20)] не обращается тождественно в нуль при A = 0, хотя в этом случае,как мы уже выяснили, состояние |1является стационарным и, следовательно, если вероятность w1 равна единицев начальный момент времени, то онаРис.
18.1.должна оставаться такой же во вседругие моменты, а вероятность w2 должна быть равна нулю. Нетрудно доказать,однако, что при A = 0 коэффициент b2 в формуле (18.20) обращается в нуль, такчто никаких парадоксов не возникает.247Зависимость вероятности w2 (t) от времени, изображенная на Рис. 18.1., довольно интересна.
Получается, что вероятность периодически “перекачивается” из состояния |1 в состояние |2. Говорят, что система постоянно совершает “квантовыепереходы” между базисными состояниями.Уже неоднократно отмечалось, что выбор базисных состояний для описаниядинамики системы (т. е. выбор представления ) в значительной степени произволен. В частности, для рассматриваемой здесь модели годятся любые два состояния, удовлетворяющие соотношениям (18.6). В общем виде переход от одногопредставления к другому был сформулирован в разделах 16.1. и 16.2. Поучительно посмотреть, как “работает” эта схема на примере системы с двумя базиснымисостояниями.
В качестве иллюстрации рассмотрим переход к энергетическомупредставлению.Прежде всего, построим векторы стационарных состояний. С этой целью решим задачу на собственные состояния и собственные значения гамильтониана.Обозначая вектор стационарного состояния |ϕ, запишем стационарное уравнениеШредингераĤ |ϕ = E |ϕ.(18.21)По предположению, |1 и |2 — базисные векторы состояния, поэтому любое решение уравнения (18.21) можно записать в виде суперпозиции|ϕ = α1 |1 + α2 |2(18.22)с некоторыми комплексными коэффициентами α1 и α2 . Подставив это разложениев (18.21), вычислим скалярные произведения обеих частей уравнения с базиснымивекторами |1 и |2.
С учетом равенств (18.6) получаем систему уравнений длякоэффициентов α1 и α2 :(H11 − E) α1 + H12 α2 = 0,H21 α1 + (H22 − E) α2 = 0,(18.23)где Hij — матричные элементы гамильтониана по базисным состояниям |1 и |2.∗Напомним, что H21 = H12.Ненулевые решения системы однородных уравнений (18.23) существуют тольков том случае, когда определитель системы равен нулю, т.
е. H11 − EH12 = 0.(18.24) HH22 − E 21Раскрывая определитель, находим уровни энергии E, которые занумеруем латинскими цифрами I и II:11EI = (H11 + H22 ) +(H − H22 )2 + |H12 |2 ,24 11(18.25)11EII = (H11 + H22 ) −(H − H22 )2 + |H12 |224 11Вспоминая обозначения (18.10) и (18.16), легко проверить, чтоEI = (ω0 + Ω) ,EII = (ω0 − Ω) ,(18.26)248т. е. частоты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности пропорциональны значениям энергии стационарных состояний.Построим теперь векторы |I и |II стационарных состояний, каждый из которых имеет вид (18.22).
Сначала в уравнениях (18.23) положим E = EI и выразим,например, α2 через α1 из второго уравнения1 : α2 = α1 H21 /(EI − H22 ). После этогополучаемH21|2 .(18.27)|I = α1 |1 +EI − H22Коэффициент α1 находится из условия нормировки I|I = 1. Простые вычисленияс учетом того, что состояния |1 и |2 ортогональны, дают|H12 |21+(EI − H22 )2α1 =−1/2.(18.28)Вектор состояния |II строится аналогичным способом. Полагаем в уравнениях (18.23) E = EII , а затем выражаем α1 через α2 с помощью первого уравнения.После этого приходим к выражениюH12|1 .(18.29)|II = α2 |2 +EII − H11Требуя, чтобы этот вектор был нормирован на единицу, получаемα2 =|H12 |21+(EII − H11 )2−1/2.(18.30)Легко проверить (см. упражнение 18.4.), что векторы (18.27) и (18.29) ортогональны друг к другу. Впрочем, результат очевиден заранее, так как эти векторысоответствуют различным значениям энергии системы.Состояния |I и |II можно использовать в качестве базисных вместо исходных состояний |1 и |2.
Тогда произвольный вектор состояния системы в моментвремени t будет иметь вид суперпозиции|Ψ(t) = CI (t) |I + CII (t) |II.(18.31)Уравнения для амплитуд CI (t) и CII (t) находятся из (18.3). Напомним, что |I и|II — собственные состояния гамильтониана, поэтомуI|Ĥ|I = EI ,II|Ĥ|II = EII ,а недиагональные матричные элементы I|Ĥ|II и II|Ĥ|I равны нулю. Такимобразом, уравнения (18.3) принимают очень простой видidCI (t)= EI CI (t),dtidCII (t)= EII CII (t)dtМожно, конечно, воспользоваться и первым уравнением.
Результат будет тем же(проверьте!).1249и легко решаются:CI (t) = CI (t = 0) e−iEI t/ ≡ CI (t = 0) e−i(ω0 +Ω)t ,CII (t) = CII (t = 0) e−iEII t/ ≡ CII (t = 0) e−i(ω0 −Ω)t .(18.32)Вероятности обнаружить систему в базисных стационарных состояниях |I, |IIдаются формулами wI = |CI (t)|2 , wII = |CII (t)|2 и не зависят от времени.В математическом отношении оба представления (18.7) и (18.31) для векторасостояния полностью эквивалентны. В этом легко убедиться, если подставить, например, выражения для |I и |II через исходные базисные векторы |1 и |2 вформулу (18.31).
Возникает, однако, вопрос: есть ли различие между представлениями (18.7) и (18.31) с физической точки зрения? Покажем, что такое различиеимеется и оно непосредственно связано с ролью измерения в квантовой механике.Как известно, измерения производятся с помощью приборов. В квантовой механике прибором принято называть любой макроскопический объект, взаимодействующий с рассматриваемой квантовой системой (в этом и состоит “измерение”).В зависимости от ситуации, прибор выполняет две функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
