kkvant (1083120), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Гамильтониан квантового гармонического осциллятора имеет видĤ =p̂x2mω 2 x̂2+,2m2(16.73)Мы обозначили главное квантовое число буквой n0 , чтобы не спутать его со всемсложным индексом n.1225где m — масса осциллятора1 , ω — частота колебаний осциллятора. Операторыкоординаты x̂ и импульса p̂x удовлетворяют коммутационному соотношению(16.74)[x̂, p̂x ] = i .В волновой механике Шредингера (т. е. в координатном представлении) задачана собственные функции и собственные значения гамильтониана осциллятора точно решается (см. раздел 6.3.). В результате находится спектр энергии осциллятора1En = ω n +,n = 0, 1, 2, . . .(16.75)2и координатные волновые функции соответствующих стационарных состояний1/2 x122√ψn (x) =,(16.76),x0 =e−x /2x0 Hnnx0mω2 n! π x0где Hn (ξ) — полиномы Эрмита (6.40). Явный вид этих полиномов нам не понадобится, но в дальнейшем важную роль будут играть соотношенияξ Hn (ξ) = nHn−1 (ξ) +1H (ξ),2 n+1dHn (ξ)= 2nHn−1 (ξ),dξ(16.77)(16.78)проверку которых оставляем читателю (см.
упражнение 16.8.).Функции (16.76) образуют полный ортонормированный набор функций на бесконечном интервале −∞ < x < +∞, поэтому в координатном представлении произвольная волновая функция осциллятора Ψ(x, t) может быть записана в виде рядаΨ(x, t) =∞Cn (t) ψn (x),(16.79)n=0где набор комплексных коэффициентов Cn (t) (амплитуд вероятности) описываетквантовое состояние осциллятора.В принципе, любую задачу, относящуюся к квантовому осциллятору, можнорешать в координатном представлении, используя волновые функции, зависящиеот x и t. Но, к сожалению, при вычислении средних значений и других величинвсе время приходится обращаться к явному выражению (16.76) для собственныхфункций гамильтониана. Этого можно избежать, если описывать квантовые состояния осциллятора несколько иначе.Воспользуемся общей схемой Дирака и будем рассматривать стационарные состояния |n как базисные.
Тогда произвольный вектор состояния осцилляторазапишется в виде (16.72). Пока, конечно, мы не получили никаких преимуществ:разложение (16.72) полностью эквивалентно формуле (16.79), поскольку Ψ(x, t) =Значение массы осциллятора зависит от свойств системы, к которой применяется этамодель. В частности, для двухатомной молекулы m — приведенная масса ядер.1226x|Ψ(t) и ψn (x) = x|n. Идея, реализацию которой мы дальше рассмотрим, состоит в том, чтобы вместо операторов x̂ и p̂x ввести новые основные операторы,действующие непосредственно на базисные векторы состояния |n и обладающиепростыми свойствами.В качестве первого шага рассмотрим действие операторов x̂ и p̂x на волновыефункции стационарных состояний осциллятора (16.76). Начнем с оператора координаты.
Используя свойство (16.77) полиномов Эрмита, легко проверить (см.упражнение 16.9.), чтоnn+1(16.80)x̂ψn ≡ x ψn = x0+ψψn+1 .2 n−12На языке векторов состояния это означает, чтоnn+1x̂|n = x0|n − 1 +|n + 1 .22(16.81)В самом деле, вычисляя матричные элементы n |x̂|n с помощью формул (16.80)и (16.81), мы получим одинаковые результаты.Посмотрим теперь, что дает действие оператора p̂x = −i ∂/∂x на волновуюфункцию ψn (x). Здесь помогает свойство (16.78) полиномов Эрмита. После простых преобразований (см. упражнение 16.9.) получаемnn+1ip̂x ψn = −(16.82)−ψψn+1 ,x02 n−12или, переходя к векторам состояния,inn+1p̂x |n = −|n − 1 −|n + 1 .x022(16.83)Мы подошли к ключевому моменту.
Введем операторы1â = 2x̂ix0+p̂ ,x0 x1â = 2†x̂ix0−p̂ .x0 x(16.84)Они обладают некоторыми важными свойствами. Во-первых, с помощью (16.81)и (16.83) находим действие этих операторов на базисные состояния |n:â|n =n |n − 1,↠|n =n + 1 |n + 1.(16.85)Таким образом, оператор ↠переводит стационарное состояние осциллятора с номером n в состояние с номером на единицу бо́льшим (с дополнительны множителем n + 1 ), а оператор â переводит |n в стационарное состояние с номеромна единицу меньшим.
Как видно из формулы (16.75), n есть число квантов возбуждения ω в состоянии |n, отсчитанное от основного уровня энергии. По этой227причине оператор ↠называется оператором рождения кванта возбуждения,а оператор â — оператором уничтожения кванта возбуждения1 .Используя (16.74) и (16.85), легко убедиться, что â и ↠удовлетворяют коммутационному соотношению[â, ↠] ≡ â↠− ↠â = 1.(16.86)Как обычно, для упрощения формул пишем 1 вместо единичного оператора 1̂.Важную роль в теории осциллятора играет оператор числа квантов возбуждения2n̂ = ↠â.(16.87)Действуя этим оператором на состояние |n и учитывая формулы (16.85), получаемn̂ |n = n |n.(16.88)Отсюда видно, что стационарные состояния осциллятора являются собственнымисостояниями оператора числа квантов, а собственные значения равны числу квантов возбуждения n = 0, 1, 2, .
. . По исторической традиции значения квантовогочисла n называются числами заполнения. Поэтому представление с базиснымивекторами состояния |n называется представлением чисел заполнения.Все операторы, относящиеся к осциллятору, можно выразить через операторырождения и уничтожения. В частности, из формул (16.84) легко находятся выражения для операторов координаты и импульса (выкладки оставляем читателю):x x̂ = √0 â + ↠,2p̂x = −i √1 â − ↠.2 x0Подставляя эти выражения в (16.73) и производя упрощения (см.ние 16.11.), получаем гамильтониан осциллятора в таком виде:(16.89)упражне-11†Ĥ = ω â â +≡ ω n̂ +.22(16.90)C учетом соотношения (16.88) убеждаемся, что Ĥ|n = En |n, где уровни энергиидаются формулой (16.75).Операторы рождения и уничтожения очень удобны для вычисления всякогорода средних значений. В качестве иллюстрации найдем средние квадратичныеотклонения (квантовые неопределенности) координаты и импульса в стационарномсостоянии |n. Из общей формулы (4.21) следует, что(∆x)2 = n|x̂2 |n − (n|x̂|n)2 ,(∆px )2 = n|p̂2x |n − (n|p̂x |n)2 .Для краткости ↠называют просто оператором рождения, а â — операторомуничтожения.2Часто его называют просто оператором числа квантов.1228Средние значения n|x̂|n и n|p̂x |n равны нулю; это легко заметить, например, изформул (16.89), так как диагональные матричные элементы n|â|n и n|↠|n равны нулю.
Вычислим теперь среднее значение n|x̂2 |n, которое можно представитьв виде2 0 0 / 2x2 / n|x̂2 |n = 0 n â + ↠n =n â + (↠)2 + â↠+ ↠â n ,22m ωгде использовано выражение x0 = /mω. Учитывая, что диагональные матричные элементы операторов â2 и (↠)2 равны нулю, и записывая â↠= ↠â + 1,получаемn|x̂2 |n =(1 + 2n).2m ωВычисление n|p̂2x |n выполняется точно так же. Мы оставим его читателю в качестве упражнения и выпишем окончательные формулы для квантовых неопределенностей:m ω(1 + 2n),∆px =(1 + 2n).(16.91)∆x =2m ω2Отметим, что произведение неопределенностей∆x ∆px =1 + 2n2(16.92)удовлетворяет фундаментальному неравенству Гайзенберга [см.
(4.27)] и имеет минимальное значение при n = 0, т. е. в основном состоянии осциллятора.Подведем итоги.• Базисными состояниями квантового осциллятора в представлении чисел заполнения являются стационарные состояния |n.• Все динамические переменные для осциллятора могут быть выражены через оператор уничтожения кванта возбуждения â и эрмитово сопряженныйему оператор рождения ↠. Эти операторы удовлетворяют коммутационномусоотношению (16.86) и действуют на базисные состояния по правилам (16.85).• В представлении чисел заполнения отличны от нуля следующие матричныеэлементы операторов рождения и уничтожения:√√n − 1|â|n = n,(16.93)n + 1|↠|n = n + 1.• В представлении чисел заполнения матрица гамильтониана осциллятора диагональна, т. е.Hnn = En δnn ,где En — уровни энергии осциллятора (16.75).В принципе, приведенных сведений достаточно для решения любой задачи,относящейся к квантовому осциллятору.
При этом не нужно даже знать явноговыражения для волновых функций ψn (x), которые соответствуют координатномупредставлению.229Упражнения16.1. Доказать, что соотношения (16.28) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор векторов состояния (16.27) был полным и ортонормированным.Указание: С помощью (16.27) скалярное произведение b|b записывается в виде∗∗b|b =Cb a b|a =CbaCb a a|a =CbaCb a .aa ,aaТаким образом, для выполнения равенства b|b = δbb необходимо и достаточно,чтобы выполнялось первое соотношение (16.28). Второе соотношение получаетсяиз требования, чтобы набор {|b} был полным. По предположению, исходный набор{|a} является полным, т.
е. любой вектор состояния можно разложить по этимвекторам. Значит, для полноты нового набора необходимо и достаточно, чтобылюбой |a мог быть разложен по векторам |b. Записав|b b|a,|a =bа затем, вычислив с помощью этого равенства скалярное произведение a |a иприравняв его δaa , можно получить второе соотношение (16.28).16.2. Используя определение (16.31) эрмитово сопряженного оператора, доказать, что среднее значение самосопряженного (эрмитового) оператора в любомквантовом состоянии является действительным числом.16.3. Доказать, что матрица оператора Ĉ = ÂB̂ в любом представлении естьпроизведение матриц операторов Â и B̂:Caa =Aaa Ba a .aОбобщить это соотношение на операторы вида Ĉ = Â1 Â2 · · · Âk .Указание: Матричный элемент Caa можно записать в видеCaa = a|ÂB̂|a = a|Â 1̂ B̂|a .Остается воспользоваться формулой (16.21) для единичного оператора.16.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
