kkvant (1083120), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Например, операторы рождения и уничтожения для квантового осциллятора (см. раздел 16.4.) также являются бозе-операторами. Другой физическиинтересный пример относится к квантовой оптике, т. е. к фотонной теории электромагнитного излучения. Для описания квантовых состояний электромагнитногополя также удается построить представление чисел заполнения и определить операторы рождения и уничтожения фотонов в состояниях |p, α, где p — импульсфотона, а α характеризует поляризацию фотона (см.
стр. 214). Соответствующиеоператоры рождения фотонов â†p α и âp α также являются бозе-операторами.Отметим, что сами по себе операторы рождения и уничтожения не соответствуют каким-либо наблюдаемым величинам. Зачем же они нужны? Дело в том, чтооператор любой физической величины для системы из одинаковых бозонов можновыразить через операторы рождения и уничтожения.Наиболее важные операторы динамических переменных для многочастичнойсистемы имеют видÂ(1)=Ni=1Â(1) (qi ),Â(2) =1 (2) (qi , qj ),2 i=j(17.11)где Â(1) (qi ) — оператор, действующий на координаты i-ой частицы, Â(2) (qi , qj ) —оператор, действующий на координаты частиц с номерами i и j.
Динамическая переменная, оператор которой Â(1) есть сумма операторов для отдельных частиц, называется аддитивной динамической переменной; динамические переменныес операторами Â(2) обычно называются динамическими переменными бинарного типа. В некоторых задачах квантовой механики встречаются операторыболее сложной конструкции, но мы не будем здесь ими заниматься.В качестве иллюстрации приведем простые примеры динамических переменных вида (17.11). Аддитивной динамической переменной является кинетическая(энергия частиц системы T̂ = i p̂2i /2m, а примером динамической переменной би(нарного типа может служить энергия взаимодействия Û = (1/2) i=j U (|ri − rj |).Рекомендуем читателю самому вспомнить, какие из других ранее встречавшихсядинамических переменных относятся к аддитивным переменным и к переменнымбинарного типа.234Обычно операторы динамических переменных Â(1) и Â(2) легче всего построитьв координатном представлении.
Чтобы найти их матричные элементы в представлении чисел заполнения, нужно вычислить интегралы (s) ∗(s)(1){nl }|Â |{nl } =Φ{n } Â(1) (qi ) Φ{n } dq1 · · · dqN ,{nl }|Â(2) |{nl }lli1=2 i=j(17.12)(s) ∗Φ{n }l(2)Â(s)(qi , qj ) Φ{n }ldq1 · · · dqNс симметризованными базисными волновыми функциями (12.25). На первыйвзгляд задача кажется безнадежной из-за огромного числа переменных при больших значениях числа частиц N .
Впрочем, есть и упрощающие обстоятельства.Так как частицы одинаковы, то вид операторов Â(1) (qi ) и Â(2) (qi , qj ) одинаков для(s)любых номеров частиц. Далее, многочастичные базисные волновые функции Φ{n }lесть произведения одночастичных ортонормированных волновых функций ϕl (q).Поэтому из формул (17.12) удается получить более или менее простые выражениядля матричных элементов. Мы не будем приводить соответствующие выкладки1 .Оказывается, что матричные элементы (17.12) любых аддитивных операторов Â(1)и любых операторов бинарного типа Â(2) совпадают с матричными элементамиследующих операторов, записанных через операторы рождения и уничтожения:Â(1) =l |Â(1) |l â†l âl ,(17.13)l, lÂ(2) =1 l m |Â(2) |lm â†m â†l âl âm .2 l, m, l , m(17.14)Здесь l |Â(1) |l и l m |Â(2) |lm — матричные элементы операторов Â(1) и Â(2) поодночастичным волновым функциям ϕl (q):(1)l | |l = ϕ∗l (q) Â(1) (q)ϕl (q) dq,(17.15)(2)l m | |lm =ϕ∗l (q1 )ϕ∗m (q2 ) Â(2) (q1 , q2 ) ϕl (q1 )ϕm (q2 ) dq1 dq2 .(17.16)Ясно, что матричные элементы (17.15) и (17.16) вычислить намного проще, чемматричные элементы (17.12) с многочастичными волновыми функциями.Главное достоинство формул (17.13) и (17.14) состоит в том, что вычислениесредних значений и матричных элементов операторов физических величин сводится теперь к вычислению средних значений и матричных элементов операторов,построенных из операторов рождения и уничтожения, которые довольно простодействуют на базисные векторы состояния системы |n1 , n2 , .
. . , nl , . . . и удовлетворяют простым коммутационным соотношениям (17.10).Интересующийся читатель может обратиться к учебникам по квантовой механике(см., например, [4]).1235Для иллюстрации того, насколько представление чисел заполнения для многочастичных систем удобнее, чем координатное представление, рассмотрим идеальный квантовый газ, состоящий из N одинаковых бозонов. Эту модель принятоназывать бозе-газом.В идеальном квантовом газе частицы не взаимодействуют друг с другом, поэтому гамильтониан системы совпадает с оператором кинетической энергии:Np̂i2Ĥ =.2mi=1(17.17)Сам гамильтониан, конечно, очень прост, но в координатном представленииквантовое состояние системы описывается симметризованной волновой функцией Ψ(s) (q1 , q2 , .
. . , qN , t), зависящей от огромного числа переменных. Найдемгамильтониан (17.17) в представлении чисел заполнения, где квантовое состояниегаза определяется набором амплитуд вероятности C ({nl }, t) в разложении (17.8),а все динамические переменные выражаются через операторы рождения иуничтожения.Прежде всего нужно выбрать одночастичные состояния |l, с помощью которыхстроится представление чисел заполнения. В принципе, эти состояния можно выбрать как угодно, лишь бы они образовывали полный набор состояний для однойчастицы.
Желательно, однако, выбрать состояния |l так, чтобы гамильтониан выглядел попроще. Заметим, что гамильтониан идеального квантового газа (17.17)относится к аддитивным динамическим переменным типа Â(1) [см. (17.11)], причем роль одночастичного оператора Â(1) играет оператор кинетической энергииp̂2 /2m. Поэтому гамильтониан (17.17) выражается через операторы рождения иуничтожения формулой (17.13). Естественно выбрать одночастичные состояния |lтак, чтобы матрица l |p̂2 |l была диагональной. Легко сообразить, что подходящими одночастичными состояниями, образующими полный и ортонормированныйнабор, являются состояния |l = |p, ms , где p — импульс частицы, а ms — магнитное квантовое число, которое определяет проекцию спина частицы (если онне равен нулю) на ось квантования z. Таким образом, основными операторами, спомощью которых можно записать гамильтониан и все интересующие нас операторы динамических переменных, являются операторы рождения â†p, ms и операторыуничтожения âp, ms частиц в квантовых состояниях |p, ms .Здесь, правда, нужно сделать одно замечание.
Как мы видели в разделе 5.7.,спектр значений импульса частицы может быть непрерывным (если область движения не ограничена) и дискретным (если частица движется в конечном объемеV ). Наши предыдущие рассуждения относились к случаю, когда базисные одночастичные состояния |l нумеруются дискретным индексом l.
Действительно,всюду мы писали суммы по l, а это можно делать только тогда, когда этот индексдискретный. В принципе, можно было бы обобщить всю схему на случай непрерывного набора базисных одночастичных состояний, но это не обязательно. Болеетого, само предположение о том, что объем, занимаемый газом (или любой другойсистемой частиц), бесконечен, физически абсурдно, поскольку средняя плотностьчастиц в бесконечном объеме равна нулю! Обычно поступают так.
Объем системыV считается большим, но конечным. Тогда спектр импульса частицы является дискретным и дается формулами (5.62). В конце вычислений, если необходимо, можноперейти от суммирования по возможным проекциям импульса к интегрированиюсогласно правилу (5.63).236Итак, будем считать, что спектр импульса частицы p дискретный, т. е.
рассматриваемый нами бозе-газ находится в конечном объеме V . В этом случае векторыодночастичных состояний |p, ms нормированы на единицу:p , ms |p, ms = δp, p δms ,ms ,(17.18)где для краткости мы записали(17.19)δp, p = δpx ,px δpy ,py δpz ,pz .Поскольку |p, ms являются собственными состояниями импульса, матричные элементы оператора p̂ 2 легко вычисляются:p , ms |p̂ 2 |p, ms = p2 δp, p δms ,ms .Таким образом, гамильтониан бозе-газа (17.17) в представлении чисел заполнения(при выборе |p, ms в качестве одночастичных состояний) принимает видĤ = p2 †â.â2m p , ms p , ms(17.20)p, msЭту формулу можно записать в более наглядном виде, если вспомнить определениеоператоров чисел заполнения [ср.
(17.5)]:n̂p , ms = â†p , ms âp , ms .(17.21)Тогда мы приходим к выражениюĤ =p, msε(p ) n̂p , ms ,ε(p ) =p2.2m(17.22)Модель идеального квантового газа служит нулевым приближением при исследовании многих реальных физических систем, в которых взаимодействие междучастицами по тем или иным причинам можно считать слабым. Поэтому имеетсмысл хотя бы кратко остановиться на некоторых простых, но важных следствияхиз выражения (17.22).Прежде всего легко проверяется, что базисные квантовые состояния системы впредставлении чисел заполнения|{np , ms } = | .
. . , np , ms , . . . (17.23)являются собственными состояниями гамильтониана (17.22). Для этого достаточноподействовать гамильтонианом на любое базисное состояние и вспомнить правилодействия операторов чисел заполнения (17.6). Собственные значения образуютспектр энергии бозе-газа:E=ε(p ) np , ms ,(17.24)p, msгде числа заполнения должны удовлетворять дополнительному условиюnp , ms = N,p, ms(17.25)237а каждое из np , ms может принимать любое целое значение от нуля до N .
Итак,стационарные состояния бозе-газа отличаются друг от друга тем, что частицыпо-разному распределены по одночастичным состояниям |p, ms , причем энергиявсей системы в стационарном состоянии равна сумме энергий свободно движущихся частиц. Это вполне согласуется с нашими интуитивными представлениями об“идеальном газе”.Отметим одно важное обстоятельство. В основном состоянии бозе-газа все Nчастиц имеют минимальную энергию ε(p ) = 0, которая соответствует нулевомузначению импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
