kkvant (1083120), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В квантовоймеханике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие соотношениям (17.38), принято называть ферми-операторами. С помощью фермиоператоров описывается, например, система электронов в кристаллах. В качествеодночастичных состояний |l обычно выбираются стационарные состояния электрона в периодическом поле решетки |α, k, ms , где α — номер энергетическойзоны, k — волновой вектор одноэлектронного состояния2 , ms — магнитноеспиновое число. Эти состояния подробно обсуждались в параграфе 15.Важным обстоятельством является то, что операторы динамических переменных для системы фермионов выражаются через операторы рожденияи уничтожения точно такими же формулами, что и в случае бозонов.
Вчастности, для аддитивных динамических переменных и переменных бинарноготипа [см. (17.11)] получаются выражения (17.13) и (17.14), где теперь âl и â†l —ферми-операторы. Таким образом, тип статистики частиц в рассматриваемойсистеме автоматически учитывается алгебраическими свойствами соответствующих операторов рождения и уничтожения, а многие формулы имеют совершенноодинаковый вид как для бозонов, так и для фермионов.
Это значительноупрощает исследование свойств многочастичных квантовых систем с помощьюпредставления чисел заполнения.Упражнения17.1. Доказать коммутационные соотношения (17.9).Указание: Достаточно проверить, что любой из коммутаторов (17.9) при действии на любой базисный вектор состояния |{nl } дает нуль.17.2. Доказать, что операторы чисел заполнения n̂l для бозонов коммутируютдруг с другом.Указание: Достаточно проверить, что коммутатор [n̂l , n̂l ] при действии на любой базисный вектор состояния |{nl } дает нуль. Для этого проще всего воспольСлучай, когда в исходном базисном состоянии системы nl = 1, можно не рассматривать, так как оба оператора â†l â†l и â†l â†l при действии на такое базисное состояние даютнуль.2Можно, конечно, характеризовать состояние электрона не волновым вектором k, аквазиимпульсом p = k.1242зоваться соотношением (17.7).17.3.
Проверить антикоммутационные соотношения (17.38) для фермиоператоров.Указание: Пример доказательства одного из этих соотношений приведен в тексте. Остальные доказываются аналогичным способом.17.4. Проверить, что для бозе- и ферми-операторов[âl , n̂l ] = δll âl ,[â†l , n̂l ] = −δll â†l .(17.39)Указание: Вывод коммутационных соотношений для любых операторовв представлении чисел заполнения легко проводится с помощью основныхравенств (17.10) и (17.38).В качестве примера дадим вывод первого изсоотношений (17.39).
Запишем[âl , n̂l ] = âl â†l âl − â†l âl âl .Идея дальнейших преобразований в подобных задачах состоит в том, чтобы расположить операторы рождения слева от операторов уничтожения во всех слагаемыхс учетом коммутационных (для бозе-операторов) или “антикоммутационных” (дляферми-операторов) соотношений. В данном примере сначала используем равенство âl â†l = ± â†l âl + δll , где верхний знак относится к бозонам, а нижний — кфермионам. С его помощью находим, что[âl , n̂l ] = δll âl ± â†l âl âl − â†l âl âl .Два последних слагаемых отличаются друг от друга лишь порядком, в которомследуют операторы уничтожения. Учитывая, что âl âl = ± âl âl , видим, что этидва слагаемых точно сокращаются. Отсюда сразу следует первое равенство (17.39).Второе равенство проверяется аналогично.18.18.1.Квантовая динамикаМатричная форма уравнения ШредингераОт квантовых состояний и операторов перейдем теперь к общему описаниюквантовой динамики, т.
е. к описанию изменения вектора состояния со временем.Исходной точкой служит, конечно, уравнение Шредингера, но, в общем случае,оно записывается не для волновой функции, а для вектора состояния:i∂|Ψ(t) = Ĥ(t) |Ψ(t) .∂t(18.1)Так как |Ψ(t) — вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве, решитьуравнение Шредингера в векторном виде невозможно даже для очень простыхсистем. Какой же прок в таком уравнении? Дело в том, что уравнение (18.1)легко преобразовать в систему обычных дифференциальных уравнений в любомпредставлении1 .В частности, в координатном q-представлении из (18.1) получается хорошо знакомоеуравнение Шредингера для волновой функции Ψ(q, t) (см. упражнение 18.1.).1243Пусть {|a} ≡ {|a1 , a2 , . .
. , ai , . . .} — некоторый полный ортонормированныйбазис квантовых состояний системы. Тогда вектор состояния |Ψ(t) может бытьзаписан в виде суперпозиции|Ψ(t) =Ca (t) |a,(18.2)aгде набор коэффициентов Ca (t) — “волновая функция” в этом представлении, или,что то же самое, — набор амплитуд вероятности обнаружить систему в базисныхсостояниях. Получим из (18.1) систему дифференциальных уравнений для амплитуд Ca (t). С этой целью подставим разложение (18.2) в уравнение (18.1), а затемумножим скалярно обе его части на базисный вектор |a. В результате получимiгдеdCa (t) =Haa (t)Ca (t) ,dtaHaa (t) = a|Ĥ(t)|a (18.3)(18.4)— матрица гамильтониана системы (или, как часто говорят, гамильтонова матрица) в выбранном a-представлении.
Гамильтонова матрица обладает важнымсвойством∗Haa(18.5) (t) = Ha a (t).Оно является следствием того, что гамильтониан любой физической системы —эрмитовый оператор [см. (16.35)].Итак, исходное уравнение Шредингера (18.1) для абстрактного вектора состояния эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений для амплитудвероятности Ca (t) в любом a-представлении. Система уравнений (18.3) обычно называется уравнением Шредингера в матричной форме. Следует, правда, отметить, что формальная простота уравнений (18.3) обманчива. Во-первых, числобазисных состояний для интересующей нас квантовой системы может быть оченьвелико (или даже бесконечно). Более того, некоторые индексы ai базисных состояний могут быть непрерывны.
Тогда сумма в правой части (18.3) превращается в интеграл и приходится иметь дело с так называемыми интегро-дифференциальнымиуравнениями. Теория таких уравнений весьма сложна и их удается решить в исключительно редких случаях. Наконец, нужно знать матричные элементы гамильтониана системы Haa (t). Вычисление этих матричных элементов само посебе может быть очень сложной задачей.И все же система уравнений (18.3) является эффективным средством изучения квантовой динамики. Во многих задачах физический интерес представляютлишь переходы между небольшим числом базисных состояний, т.
е. амплитудывероятности для других состояний очень малы. Это бывает связано, например,с малостью соответствующих матричных элементов гамильтониана и с начальными условиями в рассматриваемой ситуации. В таких случаях система уравнений (18.3) сильно упрощается, поскольку нам нужны всего несколько уравненийдля амплитуд состояний, между которыми происходят квантовые переходы. Конечно, построение простых, но реалистичных моделей, включающих небольшоечисло базисных состояний, требует физической интуиции и некоторого опыта.24418.2.Квантовая динамика системы с двумя базиснымисостояниямиПростейшей системой, для которой матричное уравнение Шредингера удаетсяточно решить, является система с двумя базисными состояниями.
Сначала мыприведем это решение, а потом дадим примеры физических систем, которые достаточно хорошо описываются этой моделью.Предположим, что гамильтониан системы Ĥ не зависит от времени, т. е. отсутствуют внешние переменные поля. Обозначим базисные состояния символами|1 и |2. Будем считать, что они ортогональны друг к другу и нормированы наединицу:1|1 = 2|2 = 1,1|2 = 0.(18.6)Если при построении модели сначала были выбраны независимые, но не ортогональные состояния |1 и |2 , то, составляя их суперпозицию, всегда можно перейтик взаимно ортогональным состояниям |1 и |2 (см.
упражнение 18.2.).Вектор состояния системы в любой момент времени t можно записать как суперпозицию(18.7)|Ψ(t) = C1 (t) |1 + C2 (t) |2,поэтому динамика полностью описывается амплитудами вероятности C1 (t) и C2 (t)обнаружить систему в каждом из базисных состояний. Сами вероятности w1 (t) =|C1 (t)|2 и w2 (t) = |C2 (t)|2 удовлетворяют условию нормировкиw1 (t) + w2 (t) ≡ |C1 (t)|2 + |C2 (t)|2 = 1.(18.8)В данном случае система уравнений (18.3) принимает видidC1 (t)= H11 C1 (t) + H12 C2 (t),dt(18.9)dC (t)i 2= H22 C2 (t) + H21 C1 (t).dtДиагональные матричные элементы гамильтониана H11 = 1|Ĥ|1 и H22 = 2|Ĥ|2представляют собой средние значения энергии системы в базисных состояниях, анедиагональный матричный элемент H12 = 1|Ĥ|2 обычно называется амплитудой перехода из состояния |2 в состояние |1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
