kkvant (1083120), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Мы рассмотрим два типичных случая, когда формула (18.56)для вероятностей перехода принимает особенно простой вид.Предположим, что оператор Ŵ не зависит от времени между моментами включения (t = 0) и выключения (t = τ ) возмущения. Иначе говоря, мы рассматриваемвероятности перехода под действием постоянного возмущения. В этом случае матричный элемент в (18.56) не зависит от времени и его можно вынести из-под знакаинтеграла.
Интеграл явно вычисляется и для вероятности перехода получаем eiωf i τ − 1 2122 1 − cos(ωf i τ )wf i (τ ) = 2 |f |Ŵ |i|2 . = 2 |f |Ŵ |i| iωf i ωf2iВспоминая обозначение (18.53), запишем это выражение в таком виде:2(Esin−E)τ/24ifwf i (τ ) = 2 |f |Ŵ |i|2.(Ef − Ei )2 /2(18.59)При разумных значениях τ аргумент синуса очень велик, если только энергияконечного состояния Ef не лежит в непосредственной близости к энергии начального состояния Ei . В самом деле, возьмем для оценки Ef − Ei ≈ 10−3 эВ.
Тогдавеличина /(Ef −Ei ), имеющая размерность времени примерно равна 10−12 c. Длительность внешнего воздействия τ обычно значительно больше. Таким образом,физический интерес представляет вероятность перехода (18.59) при значениях τ ,удовлетворяющих неравенствам1 τ τi ,Ei(18.60)где τi — уже упоминавшееся время жизни начального состояния.Почти во всех физических системах конечные состояния |f имеют непрерывный (или почти непрерывный) спектр энергии. Поэтому реально измеряется невероятность перехода в какое-то конкретное состояние |f , а вероятность перехода wf i в группу состояний, обладающих практически одинаковыми матричнымиэлементами f |Ŵ |i и имеющих энергию в некотором малом интервале от Ef − ∆Eдо Ef + ∆E, где величина ∆E характеризует разрешающую способность прибора.Таким образом, аргумент (Ef −Ei ) в формуле (18.59) можно считать непрерывным.Введем три безразмерных параметраα=τ Ei,2εf =Ef,Eiεi =Ei= 1.EiБудем считать, что начало отсчета энергии выбрано так, что все значения Ei положительны.1258Тогда последний множитель в (18.59) можно записать так (проверьте!): 2sin2 (Ef − Ei )τ /2πτ sin α(εf − εi )=2 .(Ef − Ei )2 /22Eiπα εf − εi(18.61)Так как в силу первого из неравенств (18.60) α 1, то, вспоминая одно из представлений дельта-функции [см.
(5.39)], видим, что множитель (18.61) очень близокк (πτ /2Ei ) δ(εf − εi ). Заменяя его этим предельным значением, а также используя свойство (5.35) дельта-функции, приводим формулу (18.59) для вероятностиперехода к виду2π(18.62)τ |f |Ŵ |i|2 δ Ef − Ei .wf i (τ ) =Итак, при выполнении первого неравенства (18.60) вероятность перехода линейнорастет с τ .
Кроме того, видно, что под действием постоянного возмущения квантовые переходы происходят только между состояниями с одной и той же энергией,так как дельта-функция равна нулю, если Ef = Ei .По поводу формулы (18.62) необходимо сделать два важных замечания, иначе,понимаемая буквально, эта формула может приводить к абсурдным выводам.Во-первых, с ростом τ вероятность перехода неограниченно растет, что, конечно, недопустимо, поскольку вероятность не может быть больше единицы. Напомним, однако, что само исходное выражение (18.59) справедливо лишь для значенийτ , которые значительно меньше, чем время жизни начального состояния τi . Поэтому применять формулу (18.62) для слишком больших τ просто нельзя.Второе замечание относится к дельта-функции в формуле (18.62).
Как известно, сама по себе дельта-функция не является “обычной функцией”: она равна нулю,когда аргумент отличен от нуля, и обращается в бесконечность, когда аргумент равен нулю. Смысл имеют лишь интегралы дельта-функции с непрерывными функциями. В результате интегрирования получается значение непрерывной функциив точке, где дельта-функция обращается в бесконечность. Немного позже мы покажем, как выражение (18.62) следует применять для вычисления реально измеряемых вероятностей.Вместо вероятности перехода wf i (τ ) обычно используется вероятность перехода в единицу времени Pf i = wf i (τ )/τ , которая, как видно из (18.62), уже независит от τ :22π Pf i =(18.63)f |Ŵ |i δ(Ef − Ei ).Эта формула настолько часто применяется в конкретных приложениях теорииквантовых переходов, что получила название золотого правила Ферми по имени итальянского физика Э. Ферми, который ее впервые вывел.Уже отмечалось, что в экспериментах измеряется вероятность перехода в группу состояний |f с практически одинаковыми энергиями и матричными элементами f |Ŵ |i, поскольку любой прибор имеет конечную разрешающую способность.Наблюдаемая вероятность перехода в единицу времени P f i получается в результатесуммирования (фактически — интегрирования) вероятности P f i по всем конечнымсостояниям |f с практически одинаковыми значениями энергии и одинаковымиматричными элементами f |Ŵ |i оператора возмущения.
Обозначим число таких259состояний, приходящихся на единичный интервал энергии Ef , через (Ef ). Тогда,используя выражение (18.63) для Pf i , находим, чтоP fi =Pf i (Ef ) dEf =2π2f|Ŵ|i (Ef )(18.64)при условии, что Ef = Ei . Как видим, роль дельта-функции в формуле (18.63)свелась к учету сохранения энергии при переходах под действием постоянного возмущения.В квантовой оптике и в других разделах квантовой физики большой интереспредставляют переходы, вызванные взаимодействием системы с переменным полем, которое меняется со временем по гармоническому закону с частотой ω. Например, это относится к поглощению или излучению света атомами, где ω — частотасвета.Гамильтониан взаимодействия системы с периодическим возмущением всегдаможно записать в виде суммы двух эрмитово сопряженных операторов:Ŵ (t) = Ŵ eiωt + Ŵ † e−iωt ,ω > 0,(18.65)где Ŵ не зависит от времени.
Вычисляя вероятность перехода с помощью формулы (18.56) и затем действуя так же, как в предыдущем примере (см. упражнение 18.7.), для вероятности перехода в единицу времени получаем(↑)(↓)Pf i = Pf i + Pf i ,(18.66)где введены обозначения(↑)Pf i =(↓)Pf i2π2f|Ŵ|i δ(Ef − Ei − ω),22π =f |Ŵ |i δ(Ef − Ei + ω).(18.67)(↑)Величина Pf i есть не что иное как вероятность перехода в единицу времени споглощением кванта энергии ω от внешнего источника (например, от электромагнитного поля), поскольку дельта-функция обеспечивает выполнение условия(↓)Ef = Ei + ω, а Pf i — вероятность перехода в единицу времени с передачей кванта энергии от системы к внешнему источнику.18.6.Излучение и поглощение фотонов атомамиВ этом разделе мы кратко обсудим важное применение теории квантовых переходов к процессам поглощения и излучения электромагнитного поля атомами1 .Прежде всего заметим, что формулы (18.67) могут рассматриваться как обоснование гипотезы Планка о том, что энергия электромагнитного поля с частотой ωпоглощается и излучается квантами ω.
Подчеркнем, что к такому выводу мы1Подробнее этот вопрос рассмотрен, например, в § 94 книги [2].260приходим и в том случае, когда поле описывается классически, т. е. векторами напряженности электрического поля и индукции магнитного поля. Однако с квантовой точки зрения электромагнитное излучение само является квантовой системойфотонов, поэтому в более точной постановке задачи нужно рассмотреть переходы в полной системе, состоящей из двух взаимодействующих квантовых систем:атома и фотонов. Гамильтониан всей системы имеет видĤ = Ĥатом + Ĥполе + Ŵ ,(18.68)где Ĥатом — гамильтониан атома, Ĥполе — квантовый гамильтониан поля как системы фотонов, Ŵ — гамильтониан взаимодействия атома с фотонами.С гамильтонианом атома мы уже достаточно хорошо знакомы. Что касаетсягамильтониана электромагнитного поля, то его нетрудно записать в представлениичисел заполнения (см.
раздел 17.1.). Как уже говорилось, квантовое состояние одного фотона |k, α характеризуется волновым вектором k (или импульсом p = k )и квантовым числом α = ±1, которое определяет величину проекции собственногомомента фотона на направление k, т. е. поляризацию фотона. В таком состояниифотон обладает энергией εk = ωk , где ωk = ck — частота излучения.Электромагнитное излучение представляет собой идеальный бозе-газ фотонов1 ,квантовые состояния которого определяются числами заполнения nkα . Каждое изэтих чисел принимает значения от нуля до бесконечности. Как и для любого идеального бозе-газа, гамильтониан фотонного газа в представлении чисел заполненияимеет видĤполе =εk n̂k α ≡εk â†kα âkα ,(18.69)k αk αгде â†kα и âkα — бозе-операторы рождения и уничтожения фотонов.
Наконец, нужно иметь выражение для оператора Ŵ , который описывает взаимодействие атомас электромагнитным излучением. Мы не будем приводить явный вид этого оператора (см., например, § 94 в книге [2]). Скажем только, что для излучения, длинаволны которого много больше размеров атома, оператор Ŵ получается из формуˆ В свою на соответствующие операторы Eˆ и B.лы (18.42), если заменить поля E и Bочередь, операторы напряженности электрического поля и индукции магнитногополя линейно выражаются через операторы рождения и уничтожения фотонов.Ясно, что тогда Ŵ должен иметь ви䆆Ŵ =Âkα âkα + Âkα âkα ,(18.70)k,αгде Âkα — некоторые операторы, действующие только на квантовые состояния атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
