kkvant (1083120), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Физический смысл выражения (18.70) легко понять. Как известно, операторâ†kα , действуя на вектор состояния, увеличивает число фотонов nkα на единицу, аоператор âkα уменьшает это число на единицу. Таким образом, первое слагаемое вскобках описывает процессы излучения фотонов, а второе — процессы поглощенияфотонов.1Фотоны непосредственно друг с другом не взаимодействуют.261Чтобы вычислить вероятности излучения и поглощения одного фотона c волновым вектором k и поляризацией α, предположим, что в начальный момент t = 0отсутствует взаимодействие между атомом и полем.
Предположим также, чтоатом находится в начальном состоянии |i, а в среде уже имеется nkα фотоновданного типа. Тогда начальный вектор состояния полной системы (атом + поле)можно записать в виде(18.71)|нач = |i, nkα .Затем “включается” взаимодействие Ŵ и через промежуток времени τ конечноесостояние полной системы описывается вектором|кон = C0 (τ ) |f, nkα +f(изл)Cf i(τ ) |f, nkα + 1 +(погл)Cf i(τ ) |f, nkα − 1, (18.72)fкоторый есть суперпозиция трех альтернатив: а) состояние атома не изменилось,число фотонов не изменилось; б) был излучен один фотон, атом перешел в новоесостояние |f ; в) был поглощен один фотон, атом перешел в новое состояние |f .(изл)(погл)Амплитуды Cf i (τ ) и Cf i (τ ) определяют вероятности излучения и поглощенияфотона: (изл) 2 (погл) 2(изл)(погл)wf i (τ ) = Cf i (τ ) .(18.73)wf i (τ ) = Cf i (τ ) ,Дальше фактически идет повторение вывода формулы (18.63) для вероятностиперехода в единицу времени.
Нужно лишь учесть, что теперь базисные состояния полной системы включают как состояния атома, так и состояния поля. Соответствующие выкладки мы оставим читателю (см. упражнение 18.8.) и сразуприведем результаты:(изл)Pf i=(погл)Pf i2π2+1|Ŵ|i,nf,nkαkα δ(Ef − Ei + ωk ),22π =f, nkα − 1|Ŵ |i, nkα δ(Ef − Ei − ωk ).(18.74)В первом процессе энергия атома уменьшается (Ef = Ei − ωk ), а во втором увеличивается (Ef = Ei + ωk ). Ясно, что в первом случае начальное состояние атома|i обязательно должно быть возбужденным, иначе не будет выполняться закон(изл)сохранения энергии и вероятность перехода Pf iобратится в нуль.Для явного вычисления вероятностей перехода (18.74) нужно знать атомныеволновые функции в начальном и конечном состояниях, а также явные выражения для операторов Âkα в (18.70).
По понятным причинам мы не можем здесь подробно исследовать все возможные ситуации; это дело специалистов. Рассмотримлишь некоторые следствия из формул (18.74), играющие важную роль в квантовойоптике.Хотя в общем случае вычислить матричные элементы оператора взаимодействия Ŵ не удается, покажем, что их зависимость от числа фотонов nkα в начальном состоянии легко находится. Используя формулу (18.70) для Ŵ и правила262действия бозе-операторов (17.4), запишемf, nkα + 1|Ŵ |i, nkα =nkα + 1 f |Âkα |i,f, nkα − 1|Ŵ |i, nkα = nkα f |†kα |i.(18.75)Подставим эти выражения в (18.74) и учтем, что f |†kα |i = i|Âkα |f ∗ . В результате получим2 2π (изл)Pf i =(18.76)f |Âkα |i nkα + 1 δ(Ef − Ei + ωk ),(погл)Pf i=22π f |Âkα |i nkα δ(Ef − Ei − ωk ).(18.77)Обратимся сначала к формуле (18.77).
Видно, что вероятность поглощения фотонапропорциональна числу уже имеющихся фотонов данного сорта. Это вполне естественно. Чем больше фотонов в системе, тем чаще они будут поглощаться атомами.Более интересна формула (18.76), из которой следует, что вероятность излученияфотона отлична от нуля и в том случае, когда в начальном состоянии фотоновнет, т. е. nkα = 0. Такое излучение принято называть спонтанным излучением.
С одной стороны, существование спонтанного излучения кажется очевидным:атом, находясь первоначально в возбужденном состоянии, должен в конце концовперейти в стабильное основное состояние, излучив при этом один или несколькофотонов. С другой стороны, возникает законный вопрос: чем вызвано спонтанное излучение? Ответ, казалось бы, ясен — взаимодействием электронов атомас электромагнитным полем, которое, собственно говоря, и описывается оператором (18.70). Но если мы принимаем фотонную теорию электромагнитного поля,как объяснить то, что электроны взаимодействуют с полем, когда фотоны отсутствуют? Нет ли здесь парадокса? Последовательное объяснение существованияспонтанного излучения дает квантовая электродинамика. Оказывается, что вакуум следует рассматривать не как пустое пространство, а как основное состояниеэлектромагнитного поля, т.
е. состояние с минимально возможной энергией поля.В этом состоянии нет реальных фотонов, но существуют нулевые колебания поля, внекотором смысле аналогичные нулевым колебаниям гармонического осциллятора(см. стр. 68). Взаимодействие электронов с нулевыми колебаниями электромагнитного поля и вызывает спонтанное излучение.
Заметим, кстати, что благодарясуществованию спонтанного излучения возбужденные состояния атома неустойчивы, т. е., строго говоря, они не являются истинными стационарными состояниями.Излучая фотоны, атом возвращается в конце концов в основное состояние, котороеявляется устойчивым. С помощью выражения (18.76) для вероятности спонтанного излучения в единицу времени можно вычислить время жизни возбужденногосостояния, но мы не будем этим заниматься.Из формулы (18.76) видно также, что часть вероятности излучения пропорциональна числу фотонов nkα в начальном состоянии. Такое излучениеназывается вынужденным излучением.
Вынужденное излучение появляетсяи при описании электромагнитного поля на классическом языке — с помощьюнапряженности электрического поля и индукции магнитного поля. В этом случае263вероятность вынужденного излучения пропорциональна квадрату амплитудыэлектромагнитного поля, которая в классическом пределе пропорциональна среднему числу фотонов.
Процессы вынужденного излучения широко применяютсяв квантовых генераторах света — лазерах. Схематично принцип работы лазеравыглядит так. С помощью накачки, роль которой может играть, например,предварительное облучение светом, атомы вещества лазера переводятся в такназываемое метастабильное возбужденное состояние, т. е. в состояние, длякоторого очень мала вероятность спонтанного излучения и, следовательно, великовремя жизни. Если затем возбудить в объеме лазера электромагнитное полес волновым вектором k, энергия кванта которого ω соответствует переходу восновное состояние, то становится заметной вероятность вынужденного излучения(благодаря множителю nkα ). Рост числа фотонов данного сорта еще больше увеличивает вероятность вынужденного излучения, так что процесс вынужденногоизлучения атомами принимает “лавинообразный” характер.
В результате в лазеревозникает почти монохроматическое излучение с большой амплитудой.Упражнения18.1. Исходя из уравнения (18.1) для вектора состояния, вывести уравнениеШредингера для волновой функции бесспиновой частицы Ψ(r, t), находящейся вовнешнем поле U (r ).18.2. Пусть |1 и |2 — нормированные на единицу, но не ортогональные базисные состояния, причем c = 1 |2 = 2 |1 ∗ . Перейдем от этих базисных состоянийк двум другим:|1 = |1 ,|2 = α (|2 − β |1 ) .Потребуем, чтобы новый базис был ортонормированным, т. е.
чтобы выполнялисьсоотношения 1|1 = 2|2 = 1, 1|2 = 0. Найти из этих условий величины α и β.Является ли выбор α и β однозначным?18.3. Проверить, что из условия нормировки Ψ(t)|Ψ(t) вектора состояния (18.7) следуют соотношения|a1 |2 + |b1 |2 + |a2 |2 + |b2 |2 = 1,a1 b∗1 = −a2 b∗2 ,где a1 , b1 , a2 , b2 — коэффициенты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности.Указание: Использовать условие нормировки, записанное в форме (18.8).18.4. Проверить непосредственным вычислением скалярного произведенияI|II, что базисные состояния (18.27) и (18.29) ортогональны друг к другу.Указание: Учесть равенства (18.6) и явные выражения (18.25) для уровней энергии.18.5. Найти векторы стационарных состояний молекулы аммиака в электрическом поле.Указание: Воспользоваться формулами (18.27), (18.29) и выражениями (18.41)для уровней энергии.18.6.
Взаимодействие атома с классическим переменным электромагнитным полем описывается оператором (18.42). Во многих случаях основную роль играетвзаимодействие с электрическим полем волны, так что оператор взаимодействияˆ берется в виде Ŵ (t) = −d · E(t).Пусть напряженность электрического поля волныизменяется со временем по закону E(t)= E0 cos ωt, где E0 — постоянный вектор.264Записать для этого случая оператор взаимодействия в виде (18.65) и найти выражение для оператора Ŵ .Указание: Учесть, что оператор дипольного момента атома — эрмитовый оператор.18.7. Вывести выражения (18.67) для вероятностей перехода в единицу временипод действием возмущения (18.65).Указание: Подстановка оператора возмущения (18.65) в общую формулу (18.56)для вероятности перехода c последующим интегрированием по t дает21 wii (τ ) = 2 F1 + F2 ,где введены обозначенияF1 =ei(ωf i +ω)τ − 1f |Ŵ |i,i(ωf i + ω)F2 =ei(ωf i −ω)τ − 1i|Ŵ |f ∗i(ωf i − ω)и использовано соотношение f |Ŵ † |i = i|Ŵ |f ∗ , которое следует из определенияэрмитово сопряженного оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
