kkvant (1083120), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В этом случае поле наиболее эффективно вызывает переходы молекулиз состояния |I в основное состояние |II. В результате энергия передается от молекул полю, т. е. происходит усиление электромагнитных колебаний в резонаторе.18.4.Квантовые переходы под влиянием внешнеговозмущенияКак правило, изменение квантового состояния системы со временем происходитв результате ее взаимодействия с окружением. Например, излучение и поглощениесвета атомами или молекулами вызвано взаимодействием электронов с с электромагнитным полем. Строго говоря, само окружение тоже должно рассматриваться как квантовая система2 . Однако во многих случаях задачу можно упростить,считая, что внешнее воздействие описывается зависящим от времени операторомŴ (t), действующим только на переменные интересующей нас квантовой системы.Например, в классическом приближении электромагнитное поле описывается век r, t) и индукции магнитного поляторами напряженности электрического поля E( r, t).
Если поле мало меняется на расстояниях порядка размера атома3 , то с хоB(рошей точностью гамильтониан взаимодействия атома с полем электромагнитнойволны можно записать в видеˆ ˆ · B(t),Ŵ (t) = −d · E(t)− µ(18.42)ˆ ˆгде d и µ— операторы дипольного и магнитного моментов атома, а поля E и Bберутся в точке, где расположен атом. Можно привести много других примеров,когда воздействие на систему удается описать некоторым оператором возмущенияŴ (t).Сформулируем типичную постановку задачи о динамике квантовой системыпол влиянием возмущения Ŵ (t). Предположим, что возмущение действует в течение промежутка времени 0 ≤ t ≤ τ , причем при t ≤ 0 рассматриваемая системанаходилась в одном из своих стационарных состояний |i.
Нас будет интересоватьвероятность wf i (τ ) обнаружить систему в любом другом стационарном состоянииКак известно, во внешнем поле возникает сила, действующая в направлении уменьшения энергии системы.2В частности, электромагнитное излучение — система квантовых частиц (фотонов).3Для иллюстрации: характерный размер атома ra ≈ 1 Å, в то время как длина волнывидимого света λ ≈ 5000 Å.1254|f после окончания действия возмущения1 . Величину wf i (τ ) принято называтьвероятностью перехода из состояния |i в состояние |f .Для вычисления вероятности перехода воспользуемся схемой квантовой динамики, изложенной в разделе 18.1. Будем работать в представлении, в которомбазисными состояниями служат стационарные состояния |n невозмущенной системы.
Полный гамильтониан системы имеет вид суммыĤ(t) = Ĥ (0) + Ŵ (t),(18.43)где Ĥ (0) — гамильтониан невозмущенной системы. В выбранном представленииимеем Ĥ (0) |n = En |n, где En — уровни энергии системы. В любой момент временивектор состояния |Ψ(t) можно записать как суперпозицию|Ψ(t) =Cn (t) |n(18.44)nс некоторыми амплитудами вероятности Cn (t). По предположению, при t ≤ 0система находилась в стационарном состоянии |i, поэтому|Ψ(t) = e−iEi / |i,(t ≤ 0).В момент окончания действия возмущения вектор состояния имеет вид|Ψ(τ ) =Cf i (τ ) |f .(18.45)(18.46)fДля удобства амплитуды вероятности Cf i (τ ) снабжены двумя индексами; индексi показывает, каково было начальное состояние системы, а индекс f обозначаетконечное состояние.
Согласно общим правилам квантовой механики, вероятностьперехода из начального состояния |i в конечное состояние |f дается формулой2wf i (τ ) = Cf i (τ ) .(18.47)Таким образом, для вычисления вероятности перехода нужно знать, как менялисьсо временем амплитуды вероятности Cf i (t) под влиянием внешнего возмущения.В общем случае система уравнений для этих амплитуд имеет вид (18.3). В рассматриваемой задаче мы выбрали в качестве базисных состояний стационарныесостояния гамильтониана системы Ĥ (0) , поэтому с учетом формулы (18.43) запишемdCf i (t)f |Ŵ (t)|f Cf i (t).(18.48)= Ef Cf i (t) +idtfЭту систему уравнений нужно дополнить очевидными начальными условиямиCf i (0) = δf i .(18.49)Система уравнений (18.48) точная, но очень сложная, так как базисных состояний обычно очень много (бывает, что и бесконечно много) и, кроме того, внешнееИндексы состояний i и f общеприняты в физической литературе и соответствуютпервым буквам английских слов initial — “начальный” и final — “конечный”.1255воздействие может сильно менять состояние системы.
Мы ограничимся случаем,когда для решения уравнений (18.48) можно воспользоваться теорией возмущений. Физические условия для применимости теории возмущений состоят в следующем. Предположим, что матричные элементы f |Ŵ (t)|f малы (т.
е. поля,действующие на систему, достаточно слабы), а время действия возмущения τ неочень велико, так что за это время амплитуды Cf i (t) мало изменяются относительно своих начальных значений. Иначе говоря, мы предполагаем, что вероятностиперехода (18.47) при f = i удовлетворяют неравенству wf i (τ ) 1.Приведем теперь систему уравнений (18.48) к виду, наиболее удобному дляприменения теории возмущений. С этой целью перейдем от амплитуд Cf i (t) кновым амплитудам af i (t), которые определяются соотношениямиCf i (t) = af i (t) e−iEf t/.(18.50)Ясно, что новые амплитуды удовлетворяют тем же самым начальным условиям(18.51)af i (0) = δf iи, кроме того, |Cf i (t)|2 = |af i (t)|2 .
Поэтому в формуле (18.47) можно заменитьстарые амплитуды на новые. Подставляя выражение (18.50) в (18.48) и производяэлементарные преобразования, которые мы оставим читателю в качестве полезногоупражнения, приходим к уравнениямiгде введено обозначениеdaf i (t) iω tf |Ŵ (t)|f e f f af i (t),=dtf1ωf f = Ef − Ef .(18.52)(18.53)Главным достоинством уравнений (18.52) по сравнению с исходными уравнениями (18.48) является то, что их правые части малы, так как они пропорциональныматричным элементам оператора возмущения.Решать уравнения (18.52) можно разными способами.
Мы приведем наиболееизящный способ, популярный среди физиков. Разделим обе части каждого уравнения на i, а затем проинтегрируем его от t = 0 до t. C учетом начальныхусловий (18.51) получаем1 af i (t) = δf i +i f tf |Ŵ (t )|f eiωf f taf i (t ) dt .(18.54)0Такого типа уравнения называются интегральными, так как неизвестные функцииaf i (t ) входят в правую часть под знаком интеграла.По предположению, интегральный член в (18.54) мал, поэтому амплитуды af i (t)можно найти методом последовательных приближений (или, как говорят, методомитераций) в виде ряда по степеням матричных элементов оператора возмущения.Пренебрегая вообще интегральным членом в (18.54), находим амплитуды в нулевом(0)приближении: af i (t) = δf i (никаких переходов нет).
Если теперь эти амплитуды256(1)подставить в правую часть (18.54), то получим амплитуды af i (t) в первом порядкетеории возмущений. Для f = i имеем(1)af i (t)1=itf |Ŵ (t )|i eiωf i t dt ,(f = i).(18.55)0Продолжая итерации в уравнениях (18.54), можно найти амплитуды af i (t) в любом порядке теории возмущений. Мы ограничимся первым приближением (18.55).Полагая t = τ , получаем для вероятностей перехода выражение τ221 (1) iωf i twf i (τ ) = af i (τ ) = 2 f |Ŵ (t)|i edt .
(18.56)0Как уже отмечалось, эта формула справедлива для f = i. Вычисление вероятности перехода wii (τ ) = |aii (τ )|2 , т. е. вероятности перехода системы из начальногосостояния в него же, представляет собой более сложную задачу и вот почему. Изэлементарных вероятностных соображений следует, чтоwii (τ ) = 1 −wf i (τ ).(18.57)f =iЕсли даже каждая из вероятностей wf i (τ ) мала, их сумма по всем конечным состояниям |f может иметь заметную величину. В частности, если подставить в (18.57)выражения (18.56), полученные в первом порядке теории возмущений, то для достаточно больших τ может оказаться (а так и бывает), что сумма превысит единицуи для вероятности обнаружить систему в начальном состоянии |i получится отрицательная (!) величина. Причина такого абсурдного результата состоит в том,что выражения (18.56) справедливы лишь для достаточно малого промежуткаτ .
При больших значениях τ система даже под действием слабого возмущениясовершит много квантовых переходов и амплитуда aii (τ ) будет сильно отличатьсяот единицы. Это противоречит нашему исходному предположению, что за время τвсе амплитуды, включая и aii (τ ), мало изменяются относительно своих начальныхзначений. Для того, чтобы выяснить область применимости теории возмущений,нужно найти решение уравнения (18.54) для aii (t) при больших t. Анализ этойзадачи показывает, что при малом возмущении вероятность перехода wii (t) изменяется со временем примерно по экспоненциальному законуwii (t) = |aii (t)|2 ≈ e−t/τi ,(18.58)где величина τi имеет размерность времени и выражается через матричные элементы оператора возмущения.
Она характеризует быстроту “ухода” системы изначального состояния и называется временем жизни состояния |i. Такимобразом, теория возмущений и, в частности, полученная нами формула (18.56)справедливы для промежутков времени τ , удовлетворяющих неравенству τ τi .25718.5.Вероятность перехода в единицу времениДля практического применения формулы (18.56) нужно знать стационарныесостояния системы |n и явное выражение для оператора возмущения Ŵ (t). Многочисленные примеры физических задач, в которых удается вычислить матричные элементы оператора возмущения и получить результаты, допускающие экспериментальную проверку, приведены в учебниках по квантовой механике (см.,например, [2, 4]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
