kkvant (1083120), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Как мы увидим в следующем разделе, для идеального квантового газа из одинаковых фермионов это не так.Произвольное квантовое состояние бозе-газа описывается вектором состоянияC({np , ms }; t) |{np , ms },(17.26)|Ψ(t) ={np , m }sгде суммирование ведется по всем наборам чисел заполнения, удовлетворяющимусловию (17.25). Величины w({np , ms }; t) = |C({np , ms }; t)|2 есть вероятности различных наборов чисел заполнения в состоянии |Ψ(t).Найдем, как меняются со временем средние числа заполнения одночастичныхсостоянийn̄p , ms (t) ≡ n̂p , ms t = Ψ(t)|n̂p , ms |Ψ(t).(17.27)Используя формулы (4.31) и (4.32), получаем уравнение1dn̄p , ms (t)dt=1, Ĥ]t .[n̂i p , ms(17.28)В принципе, это уравнение справедливо для системы с любым гамильтонианом. Вслучае идеального квантового газа, когда гамильтониан имеет вид (17.22), праваячасть уравнения (17.28) равна нулю, так как операторы чисел заполнения коммутируют друг с другом (см.
упражнение 17.2.). Таким образом, если частицыне взаимодействуют друг с другом, то средние числа заполнения одночастичныхсостояний не зависят от времени и равны их значениям в некоторый начальныймомент времени.Напомним, однако, фундаментальный физический принцип, который гласит,что в любой многочастичной системе со временем устанавливается равновесноемакроскопическое состояние или, как часто говорят, — тепловое равновесие. Втепловом равновесии должно существовать некоторое распределение частиц n̄p , msпо одночастичным квантовым состояниям, которое не зависит от начального распределения и определяется лишь внешними условиями (например, температуройгаза). Может ли уравнение (17.28) описать процесс установления теплового равновесия? Оказывается, что может, но для этого в гамильтониане нужно учестьоператор взаимодействия2 .При использовании формулы (4.32) нужно учесть, что операторы чисел заполненияn̂p , m не зависят от времени.s2Если взаимодействие частиц с номерами i и j описывается энергией взаимодействияU (|ri − rj |), то оператор взаимодействия всех частиц относится к динамическим переменным бинарного типа [см.
(17.14)].1238Изучением неравновесных процессов в квантовых системах и их равновесныхмакроскопических свойств занимаются специальные разделы квантовой теории:квантовая кинетика и квантовая статистическая механика. По понятным причинам мы не можем здесь углубляться в эти интересные, но довольно сложныенауки. Отметим только, что представление чисел заполнения играет в них исключительно важную роль.
В частности, уравнение (17.28) служит прообразом такназываемых квантовых кинетических уравнений, описывающих неравновесныепроцессы в кристаллах, плазме и других макроскопических системах, где необходимо учитывать квантовые эффекты.17.2.Представление чисел заполнения для фермионовЕсли система состоит из N одинаковых фермионов, т. е. частиц с полуцелымспином, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака, то в изложенную выше схемунужно внести изменения.Прежде всего напомним, что в координатном представлении любая волноваяфункция системы фермионов должна быть антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц.
Поэтому нужно исходить из разложения (12.36)волновой функции по антисимметризованным произведениям одночастичных волновых функций (12.32). Как и в случае бозонов, квантовое состояние системы(a)фермионов, которое описывается базисной волновой функцией Φ{n } (q1 , . . . , qN ),lполностью определяется набором чисел заполнения {nl } одночастичных состояний |l . Однако теперь каждое nl может принимать только два значения: 0 или1. Иначе говоря, состояние |l может быть либо свободным, либо занятым лишьодной частицей.Представление чисел заполнения для фермионов строится примерно так же,как и в предыдущем разделе.
Расположим значения индекса одночастичных состояний l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы (17.1),где {nl } — наборы чисел заполнения, удовлетворяющие дополнительному условию (12.23). Отметим еще раз, что для фермионов {nl } — последовательностьнулей и единиц. В координатном q-представлении базисные состояния системыописываются антисимметричными волновыми функциями (12.32), т. е.(a)Φ{n } (q1 , .
. . , qN ) = q1 , . . . , qN |{nl }.l(17.29)Любой вектор состояния системы фермионов |Ψ(t) может быть представлен ввиде разложения по базисным векторам, которое формально совпадает с формулой (17.8) для бозонов, но в данном случае аргументом амплитуды C({nl }, t)является последовательность нулей и единиц.Теперь требуется определить операторы рождения â†l и уничтожения âl частицтак, чтобы операторы динамических переменных типа (17.11) выражались черезоператоры рождения и уничтожения формулами (17.13) и (17.14). Легко заметить,что для фермионов прежние правила действия (17.4) операторов â†l и âl не годятся.Рассмотрим, например, второе правило.
Если nl = 1, т. е. одночастичное состояние |l “заполнено”, то в результате действия оператора â†l получается состояниесистемы, в котором nl = 2. Это, однако, противоречит принципу Паули, согласнокоторому два тождественных фермиона не могут находиться в одном и том же одночастичном состоянии. Таким образом, пытаясь распространить правила (17.4)239на системы фермионов, мы получаем не существующие в природе состояния или,как обычно говорят, нефизические состояния.Для того, чтобы правильно определить действие операторов рождения и уничтожения для систем фермионов, нужно рассмотреть матричные элементы операторов динамических переменных вида (17.12), но с антисимметричными волновыми функциями (12.32), а потом “угадать” правила действия операторов рожденияи уничтожения. Это впервые удалось двум физикам — П.
Йордану и Е. Вигнерув 1928 г. Мы не будем приводить соответствующие математические детали, а сразу выпишем правила действия операторов рождения и уничтожения на базисныевекторы состояния системы фермионов:âl | . . . , nl , . . . = (−1)νl√nl | . . . , 1 − nl , . . .,â†l | . . .
, nl , . . . = (−1)νl 1 − nl | . . . , 1 − nl , . . ..Здесь νl =l−1(17.30)nl — число заполненных одночастичных состояний, предшеству-k=1ющих состоянию |l. Как видим, правила оказались более сложными, чем длябозонов. Впрочем, для практических вычислений сами эти правила используютсяочень редко. Обычно достаточно знать основные свойства операторов рождения иуничтожения, которые мы теперь рассмотрим.Покажем, что оператор числа частиц в состоянии |l, как и в случае бозонов,имеет вид (17.5). С этой целью найдем, как действует оператор n̂l на базисныевекторы состояния системы. Используя формулы (17.30), пишемâ†l âl | .
. . , nl , . . . = (−1)νl√nl â†l | . . . , 1 − nl , . . . = nl | . . . , nl , . . ..Итак, мы приходим к соотношениюâ†l âl | . . . , nl , . . . = nl | . . . , nl , . . .,(17.31)которое показывает, что n̂l = â†l âl действительно играет роль оператора числачастиц в состоянии |l.Проверим теперь, что при действии операторами âl и â†l на базисные состояниясистемы не возникает нефизических состояний с числами заполнения, превышающими единицу.
Опять используя формулы (17.30), находимâl | . . . , 0, . . . = 0,âl | . . . , 1, . . . = (−1)νl | . . . , 0, . . .,â†l | . . . , 0, . . . = (−1)νl | . . . , 1, . . .,â†l | . . . , 1, . . . = 0.(17.32)Особо отметим последнее равенство. Благодаря ему нефизические состояния системы с nl > 1 не появляются в теории. Кроме того, из равенств (17.32) следует,что(â†l )2 ≡ â†l â†l = 0.(17.33)(âl )2 ≡ âl âl = 0,Эти свойства операторов рождения и уничтожения фермионов несколько необычны; до сих пор не встречались операторы, квадрат которых был бы равен нулю.240Как и в случае бозонов, очень важны коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения.
Посмотрим, что дает действие оператора âl â†lна базисные векторы состояния системы. Применяя правила (17.30), пишемâl â†l | . . . , nl , . . . = (−1)νlИтак,1 − nl âl | . . . , 1 − nl , . . . = (1 − nl )| . . . , nl , . . ..âl â†l | . . . , nl , . . . = (1 − nl ) | . . . , nl , . . ..(17.34)Сравнивая это равенство с (17.31), видим, что коммутатор âl â†l − â†l âl не равен единичному оператору 1̂, как это было в случае бозонов.
Заметим, однако, что можнополучить единичный оператор, если вместо коммутатора построить другую конструкцию из операторов рождения и уничтожения. Введем для любых двух операторов  и B̂ так называемый антикоммутатор {Â, B̂}, который определяетсяформулой{Â, B̂} ≡ ÂB̂ + B̂ Âантикоммутатор.(17.35)Из (17.31) и (17.34) следует, чтоâl â†l + â†l âl | . .
. , nl , . . . = | . . . , nl , . . ..Поскольку это равенство справедливо для любого базисного вектора состояния,имеем{âl , â†l } = 1.(17.36)Нетрудно доказать, что операторы рождения и уничтожения фермионов, относящиеся к разным одночастичным состояниям |l и |l , антикоммутируют друг сдругом, т. е.(17.37){â†l , â†l } = {âl , âl } = {â†l , âl } = 0, если l = l .Идея доказательства всех этих равенств одна и та же, поэтому мы ограничимсяравенством {â†l , â†l } = 0. Доказательство остальных равенств оставляем читателюв качестве упражнения.Так как любой вектор состояния системы записывается в виде суперпозиции (17.8), то достаточно проверить, что при действии операторов â†l â†l и â†l â†l налюбой базисный вектор состояния | .
. . , nl , . . . , nl , . . . результаты различаютсялишь знаком. Предположим сначала, что l < l . Тогда, следуя правилам (17.30),находимâ†l â†l | . . . , nl , . . . , nl , . . . == (−1)νl +νl1 − nl1 − nl | . . . , 1 − nl , . . . , 1 − nl , .
. ..Изменив порядок операторов в произведении, получим соотношениеâ†l â†l | . . . , nl , . . . , nl , . . . == (−1)νl +νl +11 − nl 1 − nl | . . . , 1 − nl , . . . , 1 − nl , . . ..241Во втором случае появляется дополнительный множитель (−1). Каково его происхождение? Дело в том, что оператор â†l изменяет число заполнения nl . Еслив исходном базисном состоянии системы nl = 0, то после действия â†l получаетсясостояние с nl = 1. Так как мы предположили, что l < l , то в состоянии системы,на которое действует â†l , число заполненных одночастичных состояний, предшествующих |l , возросло на единицу. Это и приводит к появлению дополнительногомножителя (−1) в результате. Если l > l , рассуждения проводятся совершенноаналогично, поэтому мы не будем их повторять1 .Итак, операторы рождения и уничтожения фермионов удовлетворяют “антикоммутационным” соотношениям{âl , âl } = {â†l , â†l } = 0,{âl , â†l } = δll .(17.38)Они заменяют коммутационные соотношения (17.10) для бозонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
