kkvant (1083120), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Как видим, мы пришли к описанию спиновых состояний и спиновыхоператоров электрона, которое уже было сформулировано в параграфе 11 на основе других соображений. Теперь мы исходили из общей схемы Дирака.1Это могут быть, например, операторы проекций спина Ŝx , Ŝy , Ŝz .217В рассмотренном примере базисных состояний было всего два, поэтому в математическом отношении теория спина электрона оказалась очень проста. К сожалению, в большинстве случаев базис {|a} содержит бесконечное число векторовсостояния. В частности, даже для одной частицы естественный базис |p Sz бесконечен, так как проекции импульса p могут принимать бесконечный набор значений.Матричные элементы операторов p Sz |Â|p Sz в этом базисе образуют матрицы сбесконечным числом столбцов и строк.
Наглядно изобразить их, конечно, невозможно.Для полноты нужно сформулировать правило, по которому, зная матрицу оператора Aaa в a-представлении, можно найти матрицу этого оператора Abb в любомдругом b-представлении. Решить эту задачу в общем виде совсем несложно. Запишемb|a a|Â|a a |b ,b|Â|b = b|1̂Â1̂|b =a ,aгде для двух единичных операторов было использовано выражение (16.21).
Итак,правило преобразования матрицы оператора гласит:• Матрицы одного и того же оператора Â в двух различных представленияхсвязаны соотношениемAbb =b|a b |a ∗ Aaa .(16.43)a,aПри записи правой части мы заменили a |b на b |a ∗ , что можно сделать в силуравенства (16.25). Подчеркнем, что матрицы всех операторов при переходе отодного представления к другому преобразуются совершенно одинаково.Как уже знает читатель, в квантовой механике важную роль играют собственные волновые функции операторов физических величин. В частности, набор собственных функций любой такой величины является полным и, следовательно, поэтим функциям можно разложить любую волновую функцию системы.
В схемеДирака естественно ввести понятие собственных векторов операторов.• Вектор состояния |A называется собственным вектором оператора Â, если выполняется соотношениеÂ|A = A|A.(16.44)Комплексное число A называется собственным значением оператора.Уравнение (16.44) на собственные значения и собственные векторы оператора можно преобразовать в уравнение для волновой функции ψA (a) ≡ a|A в любом aпредставлении (см. упражнение 16.4.).Предположим, что уравнение (16.44) решено, т. е. найдены все собственныезначения An данного оператора  и соответствующие собственные векторы |n.Если  соответствует наблюдаемой физической величине, то набор {|n} является полным1 . Поэтому его можно взять в качестве базисного набора состояний(предварительно проведя процедуру ортогонализации и нормирования) и построить соответствующее представление для волновых функций и операторов.Обсуждение вопроса о полноте набора собственных состояний физических величинсм. в разделе 5.4.1218• Представление, в котором базисные векторы состояний |n являются собственными векторами оператора Â, называется собственным представлением этого оператора.Особая роль собственного представления состоит в следующем очевидном факте:• В собственном представлении оператора  его матрица Ann ≡ n|Â|n диагональна:Ann = An δnn ,(16.45)где An — собственные значения оператора.Благодаря этому свойству матричные элементы оператора в любом другом aпредставлении можно выразить через его собственные значения.
Вспоминая формулу (16.43), находим, чтоAaa =a|n a |n∗ An .(16.46)nВ заключении остановимся еще на одном моменте. Напомним читателю, чтонаблюдаемыми значениями физических величин, т. е. значениями, которые реально могут быть измерены в эксперименте, являются средние значения, которые всхеме Дирака даются формулойAt = Ψ(t)|Â|Ψ(t).(16.47)Они могут быть вычислены в любом a-представлении с помощью волновойфункции системы Ψ(a, t) = a|Ψ(t). Действительно, используя опять соотношение (16.21), пишемAt =Ψ(t)|a a|Â|a a |Ψ(t)a ,aили, что то же самое,At =Ψ∗ (a, t) Aaa Ψ(a , t).(16.48)a,aЧитатель согласится, наверное, что на уровне общих соотношений изложеннаявыше схема квантовой механики довольно проста и красива.
Для лучшего усвоения смысла основных понятий рекомендуем читателю самостоятельно разобратьнесколько примеров, которые приведены в упражнениях к этому параграфу. Следует, однако, отметить, что построение базисных векторов состояния, вычислениематричных элементов операторов и волновых функций для конкретной квантовойсистемы может оказаться сложной задачей. Тем не менее, теория Дирака служитнадежной основой для многочисленных приложений квантовой механики и поканаходится “вне конкуренции”. В разное время были предложены и другие схемы,но они оказались более удобными лишь для решения частных проблем.21916.3.Координатное, импульсное и энергетическоепредставленияДля иллюстрации формальных конструкций из предыдущих разделов рассмотрим три представления, которые весьма часто используются в конкретных задачах.Координатное представление.
Начнем с координатного представления, которое соответствует волновой механике Шредингера. Однако теперь мы взглянемна него с точки зрения общей схемы Дирака. Для простоты ограничимся случаемодной бесспиновой частицы1 .В координатном представлении базисными квантовыми состояниями частицыявляются состояния |r ≡ |x, y, z, где совокупность координат играет роль индекса“a” базисного состояния.
В состоянии |r частица локализована в точке с радиусомвектором r. Спектр координат непрерывный, поэтому базисные векторы состояниянормированы на дельта-функцию:r |r = δ(r − r ) ≡ δ(x − x ) δ(y − y ) δ(z − z ).(16.49)Условие полноты набора базисных векторов состояния |r , согласно (16.21), символически записывается в виде(16.50)|r r | d3r = 1̂ ,где для элемента объема введено обозначение d3r = dx dy dz . Разложение произвольного вектора состояния частицы по базисным дается формулой|Ψ(t) = |r r |Ψ(t) d3r.(16.51)Скалярные произведения (они же — амплитуды вероятности)Ψ(r, t) = r |Ψ(t)(16.52)играют роль волновой функции в координатном представлении. Это — хорошознакомая волновая функция Шредингера.
Таким образом, произвольный векторсостояния частицы выражается через Ψ(r, t):|Ψ(t) =Ψ(r, t) |r d3r.(16.53)Благодаря этому соотношению и условию нормировки (16.49) все действия с векторами состояния в координатном представлении сводятся к действиям с волновыми функциями. В качестве простого упражнения проверим, что волновая функция нормирована на единицу, если вектор состояния |Ψ(t) удовлетворяет условиюΨ(t)|Ψ(t) = 1. Из (16.52) следует, что2 3|Ψ(r, t)| d r = Ψ(t)|r r |Ψ(t) d3r = Ψ(t)|1̂|Ψ(t) = 1,Некоторые приводимые ниже соотношения являются обобщением на трехмерный случай формул для одномерного движения, кратко рассмотренного в разделе 16.1.1220где мы использовали свойство скалярного произведения векторов состоянияr |Ψ(t)∗ = Ψ(t)|r и условие полноты базиса (16.50).
Покажем теперь, чтоскалярное произведение двух векторов состояния |Ψ1 и |Ψ2 в координатномпредставлении выражается через скалярное произведение волновых функцийΨ1 (r ) и Ψ2 (r ), которым мы неоднократно пользовались. Действительно, сноваиспользуя условие полноты (16.50), находим, что3Ψ1 |Ψ2 = Ψ1 |1̂|Ψ2 = Ψ1 | r r |Ψ2 d r = Ψ∗1 (r ) Ψ2 (r ) d3r.Посмотрим теперь, как выглядит в координатном представлении основное пра это волноваявило действия операторов (16.33). Поскольку в данном случае a|Ψ r, t), а суммирование по индексу базисных состояний — интегрированиечастицы Ψ(по r, операторы в координатном представлении должны действовать на волновыефункцию следующим образом: r, t) = r |Â| r Ψ(r , t) d3r .Ψ((16.54) r, t) = (ÂΨ)(r, t) — волновая функция состояния Â|Ψ(t),Здесь, как и в (16.33), Ψ(а r |Â| r — матричные элементы оператора в координатном представлении.
Напервый взгляд, формула (16.54) совершенно не похожа на правила, по которымоператоры действовали на волновую функцию в волновой механике Шредингера.Например, для основных операторов rˆ и pˆ, из которых строился гамильтониан,оператор момента импульса и т. д., мы имели довольно простые соотношения(rˆ Ψ)(r, t) = r Ψ(r, t), r, t),(pˆ Ψ)(r, t) = −i ∇Ψ((16.55)т.е. действие операторов координат x̂, ŷ, ẑ сводилось к умножению волновой функции на сами координаты, а действие операторов проекций импульса — к дифференцированию волновой функции по координатам. Вместо этого, в формуле (16.54)производится интегрирование волновой функции с матричными элементами оператора1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
