kkvant (1083120), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. при замене r на r + n, где n имеет вид (15.4). Если волновые функции преобразуются одинаково, то они соответствуют физическинеразличимым состояниям.Рассмотрим два состояния электрона в кристалле с простой кубической решеткой. Предположим, что квантовые числа α в этих состояниях одинаковы, а волновые векторы равны k и k + g , т. е. ψ1 = ψk α и ψ2 = ψk+g, α . Вектор g определяетсявыражением2π m22π m32π m1(15.20)g =ex +ex +ex ,aaaНапомним, что мы уже применяли циклические условия в разделе 5.7., чтобы сделатьспектр импульса частицы дискретным.1197где m1 , m2 , m3 — произвольные целые числа.
Согласно (15.8), волновые функцииэтих состояний преобразуются при сдвиге на n следующим образом:ψ1 (r + n) = eik · n ψ1 (r),ψ2 (r + n) = ei(k+g) · n ψ2 (r).(15.21)Легко проверить, что для произвольного вектора g вида (15.20) и произвольноговектора сдвига n в простой кубической решетке имеемg · n = 2π × (целое число).(15.22)Поэтому в формуле (15.21) множитель exp{ig · n} равен единице.
Мы приходим кнесколько неожиданному выводу:• При сдвиге из любой точки кристалла в эквивалентную точку волновыефункции электрона ψk α и ψk+g, α преобразуются одинаковым образом и,следовательно, описывают физически неразличимые состояния.Так как эти состояния никак различить нельзя, то фактически мы имеем дело содним и тем же состоянием электрона и волновые функции ψk α и ψk+g, α должнысовпадать1 . Итак,ψk+g, α (r ) = ψk α (r ),(15.23)а это равенство и говорит о том, что волновой вектор электрона в кристалле и,следовательно, его квазиимпульс неоднозначны. Состояния с k и k + g (или c p иp + g ) физически эквивалентны.Вектор вида (15.20) называется вектором обратной решетки.
Следует отметить, правда, что это конкретное выражение справедливо только для простой кубической решетки. Однако вывод о неоднозначности волнового вектора и квазиимпульса справедлив и для решетки произвольного вида. Главное свойство вектораобратной решетки выражается формулой (15.22). Для произвольной кристаллической решетки векторы обратной решетки строятся с помощью векторов основныхтрансляций a1 , a2 , a3 (напомним, что они определяют примитивную ячейку кристалла). Элементарные векторы обратной решетки определяются равенствамиb = 2π (a × a ),13v 2b = 2π (a × a ),21v 3b = 2π (a × a ),32v 1(15.24)где v = a1 · (a2 × a3 ) — объем примитивной ячейки. Тогда произвольный векторобратной решетки записывается в видеg = m1 b1 + m2 b2 + m3 b3 ,(15.25)где m1 , m2 , m3 — произвольные целые числа.
Обратим внимание на сходство между этим выражением и формулой (15.3) для векторов кристаллической решетки.Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что векторы обратнойрешетки (15.25) обладают свойством (15.22). Поскольку именно это свойство приводит к неоднозначности волнового вектора и квазиимпульса, соотношение (15.23)справедливо для всех кристаллов.В принципе возможно, что при замене всех волновых векторов k на k +g все функцииБлоха получат одинаковый комплексный множитель C с |C| = 1, но это не приведет ник каким физическим последствиям (докажите это).1198Приводит ли неоднозначность k и p к каким-нибудь неприятностям? Если да,то как от нее избавиться? Основная проблема возникает, если мы собираемся использовать функции Блоха в качестве базисного набора функций для разложенияпроизвольной волновой функции ψ(r ) электрона в кристалле или для построенияволновой функции всей системы электронов. Мы видели в предыдущих параграфах, что одноэлектронные функции стационарных состояний служат для этогохорошим “строительным материалом”, особенно с целью последующего применения теории возмущений.
Если записать ψ(r ) в виде рядаψ(r ) =ck α ψk α (r )(15.26)α,kс некоторыми коэффициентами ck α и позволить вектору k принимать все значения, которые следуют из формулы (15.18), то в силу равенства (15.23) каждоебазисное состояние будет повторяться в этой сумме бесконечное число раз. Ясно,что это недопустимо.
Избавиться от этого довольно легко. Нужно в пространстве волновых векторов выделить область, которая соответствует всем различнымодноэлектронным состояниям, и использовать эти состояния в качестве базисных.Так и поступают. Области в k-пространстве, соответствующие физически различным состояниям электрона, называются зонами Бриллюэна.Поскольку соотношение (15.23) показывает, что функции Блоха периодичны в kпространстве, зону Бриллюэна можно выбрать многими способами. Довольно часто(но не всегда) выбирают так называемуюпервую зону Бриллюэна, у которой волновой вектор k = 0 находится в центре зоны.
Обычно, если не используются другиезоны, ее называют просто зоной Бриллюэна. На Рис. 15.2. изображена зонаБриллюэна для простой кубической решетки. Она представляет собой куб с ребром2π/a. Ее “объем” в k-пространстве равен(2π)3 /a3 , т. е. (2π)3 /v, где v = a3 — объемэлементарной ячейки кристалла. Интересно, что если подсчитать число квантовыхРис. 15.2.состояний электрона в зоне Бриллюэна, т. е.число физически различных k, то их окажется ровно N — число элементарных ячеек в кристалле.
Предлагаем читателюпроверить это самому (см. упражнение 15.4.).Подводя итог сказанному выше, вернемся к формуле (15.26) и отметим, чтов этой формуле и вообще везде, где ведется суммирование по волновым векторам электронных состояний, суммирование должно быть ограничено первой зонойБриллюэна в k-пространстве.Форма зон Бриллюэна зависит от симметрии кристаллической решетки. Явноепостроение зон Бриллюэна для всевозможных кристаллических решеток — задачафизики твердого тела. Здесь мы ею заниматься не будем.19915.4.Энергетические зоны электроновОбсудим теперь энергетический спектр εα ( k ) электрона, который должен находиться в результате решения уравнения (15.10).
Конечно без дополнительнойинформации о кристаллическом поле U0 (r) найти спектр невозможно, но некоторые общие заключения о нем можно сделать, опираясь на то, что было сказано впредыдущем разделе, и на качественные физические соображения.Во-первых, напомним, что функции uk α и uk+g, α соответствуют одному и тому же квантовому состоянию электрона. Поэтому для спектра энергии в любомпериодическом поле должно выполняться соотношениеεα (k + g ) = εα ( k ).(15.27)Иначе говоря, энергия электрона, как и его волновая функция, является периодической функцией в k-пространстве. Второе важное свойство уровней энергии,которое можно извлечь из уравнения (15.10), состоит в том, что значение энергииэлектрона не меняется, если заменить волновой вектор на противоположный, т.
е.εα ( k ) = εα ( −k ).(15.28)Напомним, что это соотношение выполняется для электрона в пустом пространстве. В этом случае изменение k на −k или, что то же самое, изменение импульса pна −p означает просто, что электрон стал двигаться с той же энергией в противоположную сторону. Интересно, что в периодическом поле кристалла эта симметриясохраняется.
Мы не будем приводить математического доказательства соотношения (15.28), так как оно не совсем элементарно.Этим почти исчерпываются точные выводы, относящиеся к спектру энергииэлектрона в кристалле (разумеется, в рамках приближения самосогласованногополя). Остановимся теперь на физическом смысле индекса α, который нумеруетквантовые состояния электрона при заданном k и был назван номером энергетической зоны. Как мы выяснили, при каждом α электрон может находитьсяв квантовых состояниях с различными волновыми векторами k, лежащими в зонеБриллюэна. Число таких состояний точно равно числу элементарных ячеек N вкристалле. Вряд ли это простое совпадение.Чтобы “в нулевом приближении” понять смысл индекса α, рассмотрим достаточно простое кристаллическое вещество — металл литий, в атоме которого всегоодин валентный слабо связанный 2s-электрон, а два другие электрона заполняют первую оболочку (см.
таблицу 13.2.). Представим себе, что N атомов литиясначала были удалены друг от друга, а затем сблизились, образовав кристалл.Пока не будем обращать внимания на заполненную оболочку, т. е. будем считать,что два 1s-электрона вместе с ядром образуют ион, в поле которого движется валентный 2s-электрон. Выясним, что происходит с 2s-состояниями электронов присближении атомов.Пока атомы далеко друг от друга, уровень энергии ε2s многократно вырожден,так как у всех N валентных электронов в атомах одна и та же энергия. Кратность вырождения этого уровня как раз равна N ; ему соответствуют N различныхсостояний, отличающихся номером атома, в котором находится электрон. При200сближении атомов на достаточно малое расстояние поле одного атома начинаетдействовать на 2s-электрон, находящийся в другом атоме.
Кроме того, возникает “перекрытие” волновых функций валентных электронов разных атомов. Взаимодействие между атомами играет роль возмущения, под действием которого2s-уровень, как и любой вырожденный уровень, расщепляется (см. раздел 10.3.)на N уровней, которым соответствуют N новых стационарных состояний электрона. Если атомные волновые функции перекрываются, то в новых стационарныхсостояниях электрон может оказаться у любого иона.Теперь сопоставим эту качественную картину с описанием квантовых состоянийэлектрона в предыдущих разделах.
Ясно, что в данном случае индекс α уровнейэнергии εα ( k ) валентных электронов в кристалле лития соответствует индексу вырожденного атомного 2s-состояния, а новые N состояний описываются функциямиБлоха ψk α и различаются волновым вектором k (или квазиимпульсом p ).На самом деле, то, что произошло с2s-электронами лития, произойдет и свнутренними 1s-электронами. Разницабудет в том, что волновые функции 1sэлектронов при образовании кристаллаперекрываются значительно меньше,чем волновые функции валентных2s-электронов и расщепление уровня ε1sв кристалле будет значительно меньше,чем расщепление уровня ε2s .Поскольку разность между возможными значениями проекций волновоговектора в макроскопическом кристаллеочень мала [см.формулы (15.18)],вместо двух атомных уровней ε1s иε2s в кристалле лития возникнут двепрактическинепрерывныеполосыэнергии,показанныенаРис.15.3.ИхРис.
15.3.называют энергетическими зонами.Таким образом, энергетическая зона — это интервал возможных значенийэнергии электрона в кристалле.Две энергетические зоны на Рис. 15.3. отделены интервалом значений энергии, которые электрон в стационарном состоянии иметь не может.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
