kkvant (1083120), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Полезно иметь правило, по которому можно было бы найти волновую функцию b|Ψ в любом другом b-представлении, т. е. при выборе в качествеполного базисного набора векторов {|b}, где b = {b1 , b2 , . . .} — квантовые числа новых базисных состояний. Наиболее просто эта задача решается с помощьютак называемого оператора проектирования на базисное состояние, которыйопределяется формальным выражениемP̂a = |aa| .(16.18)То, что это оператор, легко проверить, приписан справа любой вектор состояния|Ψ. Действительно, мы получимP̂a |Ψ = |aa|Ψ.(16.19)Справа стоит базисный вектор состояния |a, умноженный на число, т. е.
векториз гильбертова пространства.212С помощью оператора проектирования разложение (16.14) вектора состояниязаписывается в виде|Ψ(t) =P̂a |Ψ(t).(16.20)aЗаметим теперь, что эта формула эквивалентна утверждению, что сумма всех операторов проектирования есть единичный оператор 1̂, если набор базисных состояний является полным. Итак:• Для любого полного набора базисных состояний выполняется соотношениеP̂a ≡a|aa| = 1̂.(16.21)aОператор проектирования — очень полезная конструкция. Он часто применяетсядля упрощения и “автоматизации” преобразований самых разных выражений.Вернемся к вопросу о связи между волновыми функциями в двух различныхa- и b-представлениях.
Волновая функция a|Ψ в a-представлении определяетсяформулой (16.14), а волновая функция b|Ψ в b-представлении — аналогичнойформулой|b b|Ψ(t).(16.22)|Ψ(t) =bЗапишем теперь очевидную цепочку равенствb|Ψ = b|1̂|Ψ =b|a a|Ψ,aгде мы заменили единичный оператор выражением (16.21). Мы приходим к простому правилу преобразования волновой функции при переходе от одного представления к другому:• Если {|a} и {|b} — два полных ортонормированных набора базисных состояний, то волновые функции системы в a- и b-представлениях связаны друг cдругом соотношениемb|Ψ(t) =b|a a|Ψ(t).(16.23)aЯсно, что обратное преобразование имеет вид (нужно просто сделать замену a ↔ b)a|Ψ(t) =a|b b|Ψ(t).(16.24)bИтак, для преобразования любой волновой функции из одного представления вдругое нужно знать лишь скалярные произведения новых и старых базисных векторов.
Совокупность скалярных произведений b|a называется матрицей преобразования от a-представления к b-представлению. В силу свойства (16.7)213скалярного произведения, элементы матрицы обратного преобразования a|b выражаются через элементы матрицы прямого преобразования:a|b = b|a∗ .(16.25)Матрице преобразования b|a можно приписать и другой смысл. Ее элементыесть не что иное как волновые функции старых базисных состояний |a в новомb-представлении, а элементы матрицы обратного преобразования a|b — волновыефункции новых базисных состояний в старом a-представлении. Заметим также,что матрица b|a определяет связь между новыми и старыми базисными состояниями.
Действительно, применяя формулу (16.14) к новым базисным состояниям|b, получаем|b =|a a|b.(16.26)aЭто соотношение весьма поучительно. Оно показывает, что при переходе от одногопредставления к другому новые базисные состояния всегда являются суперпозицией старых. В связи с этим возникает вопрос, важный для конкретного построения базисных наборов состояний.
Предположим, что мы уже имеем некоторыйполный набор ортонормированных векторов состояния {|a} и хотим построитьновый базис {|b}. Возьмем в качестве новых базисных векторов линейные комбинации|b =Cba |a(16.27)aс некоторыми коэффициентами Cba . Каким условиям должны удовлетворять этикоэффициенты, чтобы новый набор базисных векторов состояния также был полным и ортонормированным? Можно показать, что необходимыми и достаточнымиусловиями являются соотношения (см.
упражнение 16.1.)∗∗CbaCb a = δbb ,CbaCba = δaa .(16.28)abФормулы (16.23), (16.24) и (16.26) демонстрируют полезность понятия вектора состояния и удобство “скобочных” обозначений, также придуманных Дираком,для перехода от одного представления к другому. Это уже немало, но дело нетолько в удобстве схемы Дирака при выполнении математических манипуляций.Имеется глубокая физическая причина для построения квантовой механики безиспользования с самого начала волновой функции. По мере развития квантовоймеханики выяснилось, что существуют квантовые состояния, которые невозможно описать волновой функцией, зависящей от координат частиц, а для некоторых систем вообще невозможно разумным образом определить такую волновуюфункцию1 .
Например, невозможно ввести понятие “волновой функции фотона”— кванта электромагнитного излучения. Между тем, для фотона можно ввестиортонормированные базисные векторы состояний |p, α, где p — импульс фотона2 , а квантовое число α определяет состояние поляризации фотона — аналогОсобенно много таких примеров встречается в релятивистской квантовой теории.В качестве характеристики состояния фотона вместо импульса p часто используетсяволновой вектор k = p/.12214спинового состояния. Фотон, как и электрон, обладает собственным моментом импульса. Он не называется спином, так как его свойства несколько отличаются отсвойств спина “массивных” частиц. Собственный момент фотона может быть направлен либо вдоль направления его движения (т.
е. вдоль вектора импульса p ),либо в противоположную сторону. Проекция момента фотона Sp на направлениеp принимает значения Sp = α, где α = ±1. Говорят, что в состоянии с α = 1фотон является правополяризованным, а в состоянии с α = −1 — левополяризованным. Когерентное электромагнитное излучение с циркулярной поляризацией,знакомое читателю из курса оптики, состоит из фотонов с определенной поляризацией. Линейно поляризованное излучение состоит из фотонов, находящихся вквантовом состоянии |p, l, которое является суперпозицией состояний с разнымиполяризациями, например,11|p , l = √ |p , +1 + √ |p , −1.22(16.29)Как видим, можно описывать состояния фотона и составлять их суперпозицию, неприбегая к понятию волновой функции.16.2.Различные представления операторовОбсудим теперь вопрос о том, как работать с операторами в квантовой механике, построенной на основе понятия векторов состояния.
Пока мы имеем лишьпостулат, что оператор, действуя на любой вектор состояния, переводит его в другой вектор состояния. Опираясь только на этот постулат можно дать важноеопределения линейного оператора 1 .• Оператор Â называется линейным, если он обладает свойством Âci |Ψi =ci Â|Ψi ,i(16.30)iгде |Ψi — любые векторы состояния системы, ci — произвольные комплексные числа.Нетрудно также, действуя по аналогии с алгеброй операторов в волновой механикеШредингера, ввести общее определение эрмитово сопряженного оператора исамосопряженного (или эрмитового) оператора.
В схеме Дирака оператор †называется эрмитово сопряженным оператору Â, если для любых векторов состояния выполняется равенствоΨ1 |† |Ψ2 = Ψ2 |Â|Ψ1 ∗ .(16.31)Если † = Â, то оператор  называется самосопряженным или эрмитовым.Более сложным является, на первый взгляд, вопрос: как определить само действие интересующего нас оператора на векторы состояния? Не станем же мыперечислять результаты его действия на все возможные векторы состояний системы. Выход из положения такой:Как известно, все операторы наблюдаемых физических величин — линейные операторы, поэтому нас прежде всего интересует этот класс операторов.12151) Нужно определить, как оператор действует на волновую функцию a|Ψ хотябы в одном из возможных представлений.2) Нужно сформулировать правило, позволяющее определить действие оператора на волновую функцию b|Ψ в любом другом представлении.Решив эти две задачи, мы сможем, например, исходить из координатного представления, где уже было построено много различных операторов, а затем найтиявный вид этих операторов в том представлении, которое нас интересует.
Или,если оператор встречается первый раз, можно построить его сначала в наиболееудобном для этого представлении, а затем распространить его действие на вседругие представления.Итак, пусть Â — некоторый линейный оператор. Найдем, как он действует наволновую функцию a|Ψ в a-представлении. Если = Â|Ψ,|Ψ(16.32)то нужно найти связь между a|Ψ и волновой функцией возникшего состояния Здесь опять помогают скобочные обозначения Дирака.
Умножая скалярноa|Ψ.обе части равенства (16.32) на базисный вектор |a, получим = a|Â|Ψ = a| 1̂|Ψ =a|Ψa|Â|a a |Ψ,aгде мы снова воспользовались выражением (16.21) для единичного оператора.Комплексные числа a|Â|a называются матричными элементами операторав a-представлении. Набор матричных элементов образует матрицу операторав данном представлении. Итак, мы приходим к заключению:• В любом a-представлении действие оператора  на волновые функции в этомпредставлении Ψ(a) ≡ a|Ψ полностью определяется его матричными элементами Aaa ≡ a|Â|a :Ψ(a)=Aaa Ψ(a ), = Â|Ψ .если |Ψ(16.33)aИначе говоря, достаточно знать, как оператор действует на базисные векторы состояний |a, чтобы определить его действие на произвольную волновую функциив этом представлении.Все свойства операторов можно записать на языке матричных элементов.Например, матрица эрмитово сопряженного оператора † , согласно соотношению (16.31), выражается через матрицу самого оператора  такой формулой:(† )aa = A∗a a .(16.34)Если оператор  эрмитов, то его матричные элементы в любом представленииудовлетворяют соотношениюAaa = A∗a aдля эрмитового оператора.(16.35)216В математике матрицы с таким свойством называют эрмитовыми.Если базисных состояний |a немного, то Aaa — обычная матрица, знакомая читателю из курса алгебры.
Проиллюстрируем это на следующем простом примере.Предположим, что оператор Â изменяет только спиновое состояние электрона1 .Введем базисные спиновые состояния| ↑ ≡ |1,| ↓ ≡ |2.(16.36)В первом состоянии проекция спина электрона на ось квантования z равна Sz =/2, а во втором Sz = −/2. Базисные векторы состояния ортогональны друг кдругу и можно считать, что они нормированы на единицу. Произвольное спиновоесостояние электрона описывается вектором |χ, который имеет вид суперпозиции|χ = c1 | ↑ + c2 | ↓ ≡ c1 |1 + c2 |2.(16.37)Для того, чтобы вектор состояния был нормирован на единицу, комплексные коэффициенты c1 и c2 должны удовлетворять условию (проверьте!)|c1 |2 + |c2 |2 = 1.(16.38)Собственно говоря, коэффициентыc1 = 1|χ,c2 = 2|χ(16.39)и играют роль спиновой “волновой функции” электрона в представлении с базисными состояниями (16.36), причем |c1 |2 есть вероятность того, что Sz = /2, а |c2 |2— вероятность того, что Sz = −/2.Любой спиновый оператор электрона Â в базисе (16.36) представляется матрицейA11 A12.(16.40)Aij =A21 A22Если |χ = Â|χ, то спиновая “волновая функция” (коэффициенты c1 и c2 ) длясостояния |χ, согласно общей формуле (16.33), находятся по формуламci =2Aij cj .(16.41)j=1Удобно записать спиновую волновую функцию в виде столбца (спинора) 10c1= c1+ c2.χ=01c2(16.42)Тогда правая часть формулы (16.41) выглядит как произведение матрицы Aij настолбец cj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
