kkvant (1083120), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Покажем, однако, что формула (16.54) дает старые привычные правиладля rˆ и pˆ.Напомним, что координатное представление является собственным представлением для операторов x̂, ŷ, ẑ, т. е.rˆ |r = r |r .(16.56)Поэтому матрица оператора rˆ оказывается, как и должно быть, диагональной:r | rˆ | r = r δ(r − r ).(16.57)Подставляя это выражение в (16.54) и вспоминая основное свойство дельтафункции, приходим к первому равенству (16.55).В математике говорят, что формула (16.54) определяет интегральное преобразованиеволновой функции.1221Покажем теперь, что для оператора импульса мы также получаем старое правило, если определим матричные элементы этого оператора формулой δ(r − r ),r | pˆ | r = −i ∇(16.58) = {∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z} означает дифференцирование по проекциям r.
Вгде ∇формулу (16.58) входят производные дельта-функции, которые пока не встречались. Так как сама дельта-функция относится к обобщенным функциям (см. раздел 5.6.), то и ее производные естественно определить как обобщенные функции,т. е. через интегралы с обычными гладкими функциями. Мы ограничимся определением производной дельта-функции δ (x − x0 ) от одного аргумента x. Обобщениена случай нескольких переменных оставим читателю. По определению,+∞δ (x − x0 ) f (x) dx = −f (x0 ).−∞Легко заметить, что это правило соответствует хорошо известному приему “интегрирования по частям”. Аналогично определяются производные дельта-функцииδ (n) (x − x0 ) высших порядков.Согласно общему правилу (16.54) действия оператора на волновую функцию вкоординатном представлении, имеемˆ(p Ψ)(r, t) =r |pˆ |r Ψ(r , t) d3r == −i∇3 δ (r − r ) Ψ(r , t) d r r, t).= −i∇Ψ(Таким образом, в координатном представлении общая схема квантовой механики,предложенная Дираком, эквивалентна волновой механике Шредингера.Импульсное представление.
В импульсном представлении в качестве базисных состояний берутся собственные состояния оператора импульса частицы. Обозначим эти состояния |p ≡ |px , py , pz . Для определенности будем считать, чтоспектр импульса непрерывный1 .Волновую функцию частицы Φ(p, t) = p |Ψ(t) в импульсном представлении2можно выразить через Ψ(r, t) с помощью соотношения (16.23), где следует положить b = p и a = r:(16.59)Φ(p, t) = p | r Ψ(r, t) d3 r.Интегрирование по каждой из переменных x, y, z ведется от −∞ до +∞, так какмы предположили, что частица движется в неограниченной области. Остаетсянайти матрицу преобразования p | r от координатного представления к импульсному.
Проще, однако, найти сначала матрицу r | p , а потом воспользоватьсяЭто означает, что частица движется в неограниченной области пространства (см.раздел 5.7.).2Чтобы не спутать ее с волновой функцией Ψ в координатном представлении, мыобозначаем эту функцию буквой Φ.1222соотношением (16.25). В самом деле, r | p = ψp (r ) есть не что иное как волноваяфункция свободной частицы с импульсом p в координатном представлении. Длянее мы имеем явное выражение (5.47). Поэтомуp | r = r | p ∗ =1e−ip · r/ .3/2(2π)(16.60)Вспоминая (16.59), находим связь между волновыми функциями частицы в координатном и импульсном представлениях:1Φ(p, t) =(2π)3/2e−ip · r/ Ψ(r, t) d3r.Если Ψ(r, t) нормирована на единицу, то нетрудно проверить (см.ние 16.7.), что Φ(p, t) также нормирована на единицу, т.
е.| Φ(p, t)|2 d3 p = 1,(16.61)упражне-(16.62)где d3 p = dpx dpy dpz и интегрирование по каждой проекции импульса ведется от−∞ до +∞. Преобразование волновой функции, обратное к (16.61), имеет вид(проверьте!)1Ψ(r, t) =(16.63)eip · r/ Φ(p, t) d3 p.(2π)3/2 p, t) состояния Â|Ψ(t) находитсяСогласно общей теории, волновая функция Φ(по формуле p, t) = p |Â| p Φ(p , t) d3 p .Φ((16.64)Найдем матричные элементы наиболее важных операторов: rˆ и pˆ. Проще начатьс оператора pˆ, так как для него импульсное представление является собственными, следовательно,pˆ | p = p | p .(16.65)Отсюда находим, что p | pˆ | p = p δ(p − p ).(16.66)Как и следовало ожидать, матрица оператора импульса в этом представлении диагональна.
Подставляя выражение (16.66) в формулу (16.64), приходим к заключению, что действие оператора импульса на волновую функцию в своем собственномпредставлении сводится к умножению, т. е. можно пользоваться правиломpˆ Φ(p, t) = p Φ(p, t).(16.67)Все это очень похоже на свойства оператора rˆ в координатном представлении.223Найдем теперь матричные элементы rˆ в импульсном представлении. Сделатьэто можно многими способами, но мы, чтобы еще раз проиллюстрировать применение схемы Дирака, будем исходить из общей формулы (16.46). Так как собственными значениями оператора rˆ являются векторы r, а в случае непрерывногоспектра суммирование заменяется интегрированием, то1∗3ˆ p |r | p = r r | p r | p d r =r e−i(p−p )·r/ d3 r.3(2π)Интеграл в последнем выражении можно записать следующим образом:11−i(p−p )·r/ 3−i(p−p)·r/3 pd r = i ∇d r ,r ee(2π)3(2π)3где векторный оператор p =∇∂∂∂,,∂px ∂py ∂pz(16.68)играет роль оператора градиента в пространстве импульсов.
Заметим теперь, что, согласно формуле (5.40),1(16.69)e−i(p−p ) · r/ d3 r = δ(p − p ).3(2π)Таким образом, матрица оператора rˆ в импульсном представлении принимает вид1 δ(p − p ).p | rˆ | p = i ∇p(16.70)Обратим внимание на сходство этого выражения с (16.58). Если мы теперь применим формулу (16.64) к Â = rˆ, то окажется, что в импульсном представленииоператор радиуса-вектора частицы действует на волновую функцию по правилу(проверьте!) p Φ(p, t).rˆ Φ(p, t) = i ∇(16.71)Зная, как действуют операторы rˆ и pˆ в импульсном представлении, можно построить, в принципе, всю квантовую механику одной частицы, используя вместоволновой функции Ψ(r, t), зависящей от координат, волновую функцию Φ(p, t), которая зависит от импульса частицы. Импульсное представление бывает удобнеекоординатного в некоторых задачах, но все-таки оно используется реже.Энергетическое представление.
В этом представлении базисными квантовыми состояниями являются стационарные состояния системы, т. е. собственныесостояния гамильтониана Ĥ. Как уже многократно отмечалось, в стационарномсостоянии точно определена не только энергия системы, но и все динамическиепеременные, операторы которых коммутируют с гамильтонианом. Полное числодинамических переменных (включая гамильтониан), имеющих точно определенные значения в стационарном состоянии, совпадает с числом степеней системы.1Определение производной дельта-функции приводится на стр. 221.224Например, у частицы, движущейся в центральном поле, гамильтониан коммути2рует с оператором квадрата момента импульса L̂ , с оператором его проекции L̂zна произвольно выбранную ось квантования z и с оператором проекции спинаŜz .
Кроме того, все эти операторы коммутируют друг с другом. Таким образом,стационарные состояния частицы в центральном поле |n ≡ |n0 l m ms нумеруютсясложным индексом n, включающим четыре квантовые числа, которые определяютзначения всех перечисленных динамических переменных1 . Для системы, состоящей из N частиц, обладающих спином, количество квантовых чисел в индексе nравно 4N . Некоторые из этих квантовых чисел могут принимать непрерывныйнабор значений.Иногда в качестве базисных состояний бывает удобнее использовать не собственные состояния гамильтониана и коммутирующих с ним динамических переменных, а их ортонормированные линейные комбинации.
В качестве примера напомним, что в разделе 11.4. для электрона в водородоподобном атоме вводилисьстационарные состояния, которые характеризовались не l, m, ms , а квантовымичислами l, j, mj , где j определяет значение квадрата полного момента частицы, аmj — значение его проекции на ось квантования.Роль “волновой функции” в энергетическом представлении играет набор амплитуд вероятности n|Ψ(t) обнаружить систему в любом из базисных стационарныхсостояний, а разложение произвольного вектора состояния |Ψ(t) имеет вид|nn|Ψ(t).(16.72)|Ψ(t) =nПри решении конкретных задач энергетическое представление используется только для достаточно простых систем, так как для построения базисных состояний|n нужно точно решить стационарное уравнение Шредингера.16.4.Представление чисел заполнения для осциллятораМодель гармонического осциллятора очень часто встречается в приложенияхквантовой механики. Например, в разделе 14.2.
мы выяснили, что этой модельюописываются колебания молекул. Важную роль играет модель квантового осциллятора и в физике твердого тела, поскольку колебания атомов кристаллическойрешетки около положений равновесия также удается описать на языке связанныхдруг с другом квантовых осцилляторов. Ввиду практической ценности модели желательно иметь наиболее простое и удобное представление для квантовых состояний осциллятора и относящихся к нему операторов. В этом разделе мы построимтакое представление; по причинам, которые станут ясны чуть позже, его обычноназывают представлением чисел заполнения, хотя стоит сразу же сказать,что оно совпадает с энергетическим представлением.Чтобы избежать удаленных ссылок на формулы из раздела 6.3., приведем ещераз наиболее важные факты и соотношения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
