kkvant (1083120), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Обратим теперь внимание на однообстоятельство. Вместо базисного набора функций {ψa (q)} можно выбрать другойполный набор ортонормированных функций {ψb (q)}, по которому с тем же успехомможет быть разложена волновая функция системы Ψ(q, t). Важно отметить, чтоамплитуды C(a, t) и C(b, t) полностью описывают квантовое состояние и их, впринципе, можно использовать вместо волновой функции Ψ(q, t).
Получается так,что при различных выборах базисных волновых функций мы получаем формально различные описания одного и того же квантового состояния, или, как принятоговорить, получаем для него различные представления. Это наблюдение и лежитв основе общей схемы квантовой механики, предложенной Дираком. Идея Дирака состояла в том, чтобы сформулировать законы квантовой механики не дляволновой функции, а непосредственно для квантовых состояний.• Согласно Дираку, в каждый момент времени квантовое состояние системыматематически описывается величиной |Ψ(t), которая называется векторомсостояния1 .Далее постулируются свойства векторов состояния. Они являются, конечно, обобщением свойств волновых функций, которыми до сих пор описывались квантовыесостояния.• Векторы состояния можно складывать и умножать на комплексные числа,получая новые векторы состояния.Это свойство отражает фундаментальный принцип квантовой механики — принцип суперпозиции состояний. На языке математики оно означает, что векторысостояния образуют абстрактное векторное пространство бесконечного числа измерений.• Для любых векторов состояния |Ψ1 и |Ψ2 определено их скалярное произведение Ψ1 |Ψ2 , которое является комплексным числом и обладает следующими свойствами:Ψ1 |Ψ2 ∗ = Ψ2 |Ψ1 ,(16.7)Ψ|Ψ > 0,(16.8)c∗2 Ψ2 |Ψ,(16.9)Ψ|c1 Ψ1 + c2 Ψ2 = c1 Ψ|Ψ1 + c2 Ψ|Ψ2 .(16.10)c1 Ψ1 + c2 Ψ2 |Ψ =c∗1 Ψ1 |Ψ+Термин “вектор состояния” подчеркивает, что для квантовых состояний можно определить алгебраические операции, аналогичные операциям с обычными векторами (см.ниже).1209Обратим внимание на формальное сходство этих свойств со свойствами скалярного произведения функций (5.11) – (5.13).
Это сходство не случайное, так какволновая функция Ψ(q, t) — одно из возможных представлений вектора состояния.Абстрактное векторное пространство бесконечного числа измерений, в которомопределено скалярное произведение со свойствами (16.7) – (16.10), называется вматематике гильбертовым пространством в честь немецкого математика Давида Гильберта, построившего строгую теорию таких пространств еще до созданияквантовой механики.
Многие теоремы этой теории оказались весьма полезны длярешения задач квантовой механики и обоснования ее соотношений.Из принципа суперпозиции следует, что квантовое состояние фактически определяется лишь “направлением” вектора |Ψ в гильбертовом пространстве, а не его“длиной” Ψ|Ψ. Иногда говорят, что правильнее сопоставлять квантовым состояниям не векторы, а “лучи” в гильбертовом пространстве, но мы не будем вдаватьсяв такие тонкости. Обычно векторы состояний нормируются на единицу условиемΨ|Ψ = 1.
В некоторых случаях это сделать невозможно. Как мы видели в разделе 5.6., собственные функции операторов с непрерывным спектром значений приходится нормировать на дельта-функцию. Поэтому в гильбертовом пространствеквантовых состояний допускается существование векторов с бесконечной длиной.• В гильбертовом пространстве любой системы имеется хотя бы один полныйортонормированный набор базисных векторов состояний {|a}, характеризуемых индексом a = {a1 , a2 , . .
. , }, где ai принимают дискретные или непрерывные значения1 . Полнота набора {|a} означает, что любой вектор состояниясистемы |Ψ можно представить в виде суперпозицииC(a) |a,(16.11)|Ψ =aгде C(a) — комплексные числа. Как и раньше, договоримся, что знак суммирования по непрерывному индексу означает интегрирование.• Коэффициент C(a) в разложении (16.11) квантового состояния системы побазисным есть амплитуда вероятности того, что при измерении система будетобнаружена в базисном состоянии |a. Сама вероятность такого результатаизмерения равна |C(a)|2 .Существование полного ортонормированного базиса в пространстве квантовыхсостояний — вполне естественное предположение.
Мы видели, что в пространствеволновых функций полные наборы образуют собственные функции операторов физических величин.Напомним, что ранее оператор действовал на волновую функцию системы;в результате получалась новая волновая функция. Поскольку в схеме Диракаквантовое состояние описывается вектором состояния, то теперь смысл операторанесколько меняется.• Любой квантовомеханический оператор Â действует на векторы состояния вгильбертовом пространстве. Если |Ψ — возможный вектор состояния систе = Â|Ψ — также возможный вектор состояния.мы, то |ΨПо дискретным индексам ai базисные векторы можно нормировать на единицу, а понепрерывным — на дельта-функцию.1210Очень многие правила работы с операторами сохраняют тот же самый вид, что и вволновой механике Шредингера.
Например, важное правило вычисления среднегозначения физической величины A в состоянии |Ψ(t) выглядит точно так же:At = Ψ(t)|Â|Ψ(t).(16.12)Более подробно операторы в схеме Дирака будут рассмотрены в разделе 16.2.Читатель заметил, наверное, что приведенные выше постулаты вроде бы “заимствованы” из волновой механики Шредингера, где основными математическими объектами были волновые функции, обладавшие аналогичными свойствами.Возникает естественный вопрос: что нового дает введение абстрактного вектора состояния? Не лучше ли придерживаться более наглядного понятия волновойфункции? В пользу того, что обобщенная схема квантовой механики, предложенная Дираком, является далеко не тривиальной, можно привести много аргументов.Мы остановимся лишь на некоторых из них.Так как предполагается, что набор базисных векторов состояния {|a} являетсяортонормированным, т. е.
выполняется соотношениеa|a = δaa(16.13)(с оговоркой, что для непрерывных индексов δaa — дельта-функция), то из формулы (16.11) находим C(a) = a|Ψ. Поэтому разложение произвольного векторасостояния |Ψ(t) принимает вид|Ψ(t) =|a a|Ψ(t).(16.14)aСначала покажем, как отсюда вернуться к волновой функции Шредингера. Чтобы понять идею, рассмотрим одномерное движение частицы без спина вдоль оси x.Введем, кроме базиса {|a}, другие базисные состояния |x. Смысл состояния |xочень прост: в нем частица локализована в точке x. В данном случае x — непрерывный индекс, поэтому векторы состояния |x нормированы на дельта-функцию:x|x = δ(x − x ).Согласно Дираку, вектор состояния частицы |Ψ(t) можно записать как|Ψ(t) = |x x|Ψ(t) dx.(16.15)(16.16)С другой стороны, умножая (скалярно) равенство (16.14) на вектор состояния |x,находим, чтоx|Ψ(t) =x|a a|Ψ(t).(16.17)aПосмотрим, что получилось. Скалярное произведение x|Ψ(t), которое появилосьв формулах (16.16) и (16.17), есть функция x и t.
Она полностью характеризуетквантовое состояние частицы и имеет смысл амплитуды вероятности обнаружитьчастицу в точке с координатой x. Но ведь точно такую же роль играет волновая функция Ψ(x, t) ! Поэтому естественно отождествить скалярное произведение211Ψ(x, t) = x|Ψ(t) с волновой функцией. Правильность этого подтверждает формула (16.17).
Действительно, если ввести волновые функции базисных состояний|a по тому же правилу, т. е. записать ψa (x) = x|a, то формула (16.17) приметвид обычного разложения волновой функции частицы по полному набору функцийψa (x) [ср. с (5.21)].Из приведенного примера можно сделать важный вывод.
Волновая функцияШредингера есть всего лишь одно из возможных представлений квантового состояния, когда в качестве базисных состояний выбраны собственные состояния операторов координат частиц (в нашем примере — состояния |x). При этом волноваяфункция Шредингера играет роль коэффициентов в разложении вектора состояния по базисным векторам. На самом деле квантовое состояние можно описатьмножеством различных “волновых функций”, выбирая различные базисные состояния, по которым ведется разложение вектора состояния системы. Сформулируемобобщение на произвольный случай:• Если {|a} — полный ортонормированный набор базисных векторов состояния, то скалярные произведения Ψ(a, t) ≡ a|Ψ(t) полностью описываютквантовое состояние системы. Набор этих коэффициентов называется волновой функцией системы в a-представлении.Итак, вводя понятие “вектор состояния”, мы заранее предусматриваем возможность различных представлений квантового состояния с помощью “волновых функций”.
Волновая механика Шредингера соответствует лишь одному специальномупредставлению, которое называется координатным представлением.По математической структуре схема квантовой механики, предложенная Дираком, напоминает обычную векторную алгебру. Действительно, мы рассматриваем как самостоятельный объект, хотя в любой декартовой ситрехмерный вектор Aстеме координат он характеризуется набором трех чисел (проекций) Ax , Ay , Az иможет быть разложен по базисным векторам — ортам ex , ey , ez .
В различных системах координат проекции и орты различны, но объект — вектор — один и тотже. С этой точки зрения любая “волновая функция” системы a|Ψ(t) — набор“проекций” вектора состояния на выбранные базисные векторы состояния |a.Предположим, что известна волновая функция системы a|Ψ в некотором aпредставлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
