kkvant (1083120), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поясним, как следует понимать периодичность U0 (r ). Для этогопонадобятся некоторые элементарные сведения из кристаллографии.Кристаллические решетки могут иметь разнообразные геометрические формы.Для их описания вводится понятие элементарной ячейки. Элементарная ячейка — это группа атомов, периодическим повторением которой можно построитьвесь кристалл. По форме элементарной ячейки все кристаллы делятся на семькристаллографических систем или сингоний.
На Рис. 15.1. изображены элементарные ячейки кристаллов наиболее симметричной кубической системы.Рис. 15.1.Величина a называется периодом кубической решетки. Для простоты показаны только “центры” атомов, т. е. атомные ядра. В настоящих кристаллах ионы скорее напоминают соприкасающиеся друг с другом шарики. Гранецентрированнаярешетка относятся к “наиболее плотно упакованным” решеткам. Она характернадля большинства металлов.Элементарную ячейку в кристалле можно выбрать несколькими способами,причем разные элементарные ячейки будут содержать разное число эквивалентно расположенных атомов.
Элементарная ячейка, содержащая наименьшее числоатомов (и наименьшая по объему), называется примитивной ячейкой. Для простой кубической решетки элементарная ячейка на Рис. 15.1. — примитивная, нодля двух других кубических решеток это не так (см. упражнение 15.1.).Для любой кристаллической системы примитивная ячейка представляет собойпараллелепипед, построенный на трех векторах a1 , a2 , a3 , которые называютсявекторами основных трансляций. В общем случае эти векторы имеют разныедлины и не перпендикулярны друг к другу.
Равновесный радиус-вектор любогоядра в решетке может быть записан в виде n = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ,R(15.3)где n1 , n2 , n3 — положительные или отрицательные целые числа. Эта запись выражает тот факт, что весь кристалл можно построить из примитивных ячеек.Вернемся к определению периодичности кристаллического самосогласованногополя U0 (r ) в уравнении Шредингера (15.2). Очевидно, что вектор сдвига из одной193точки кристалла в другую эквивалентную точку1 можно записать в виде (15.3).Будем обозначать этот вектор какn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 .(15.4)Периодичность кристаллического поля означает, что оно не меняется при любомтаком сдвиге:U0 (r + n) = U0 (r ).(15.5)Покажем, что это свойство поля накладывает существенные ограничения на формурешений уравнения Шредингера (15.2).Так как любые две точки в кристалле с радиусами-векторами r и r + n физически эквивалентны, то в любом стационарном состоянии электрона плотности вероятности обнаружить его в этих точках должны быть одинаковы, т.
е.|ψ(r + n)|2 = |ψ(r )|2 . Это не означает, однако, что сами волновые функции совпадают. Они могут отличаться комплексным множителем C(n), который зависит отn и имеет единичный модуль. Иначе говоря,ψ(r + n) = eiφ(n) ψ(r ),(15.6)где φ(n) — действительная величина.
Чтобы найти ее зависимость от n, выполнимпоследовательно два сдвига: первый — на вектор n, а второй — на вектор n .Используя соотношение (15.6), получаемφ(n + n ) = φ(n) + φ(n ).(15.7)Отсюда следует, что φ — линейная функция вектора n. Общий вид такой функцииφ(n) = k · n, где k — произвольный постоянный вектор. Таким образом, правилопреобразования (15.6) принимает видψ(r + n) = eik·n ψ(r ).(15.8)Оно показывает, что каждое решение стационарного уравнения Шредингера (15.2)для электрона в периодическом поле характеризуется некоторым вектором k.
Поэтому будем снабжать эти решения соответствующим индексом: ψk (r ). Проекциивектора k играют роль квантовых чисел, нумерующих стационарные состоянияэлектрона в кристалле.Функцию ψk (r ) принято записывать в таком виде:ψk (r ) = eik· r uk (r ).(15.9)Смысл выделения множителя exp{ik ·r} состоит в том, что функция uk (r ) обладает периодичностью решетки при любом k. Для доказательства этого утвержденияЭквивалентными точками называются такие, из которых открывается одинаковыйвид на весь бесконечный идеальный кристалл. Отметим, что эквивалентные точки необязательно совпадают с равновесными положениями ионов.1194подставим (15.9) в уравнение Шредингера (15.2) и после элементарных преобразований, которые оставим читателю (см.
упражнение 15.2.), получим уравнение дляuk (r ). Оно имеет вид12 2−(∇ + ik) + U0 (r ) uk (r ) = ε( k ) uk (r ).2m(15.10)Заменяя здесь uk (r ) на uk (r + n) и учитывая соотношение (15.5) для самосогласованного поля в кристалле, убеждаемся, что функция со сдвинутым аргументомудовлетворяет тому же самому уравнению. Это означает, что все решения уравнения (15.10) обладают периодичностью решетки кристалла.Подведем итоги:• Волновые функции стационарных состояний электрона в самосогласованномкристаллическом поле имеют видψk α (r ) = ei k · r uk α (r ),(15.11)где uk α (r ) = uk α (r +n) — периодические функции.
Индекс α нумерует решения уравнения (15.10), соответствующие уровням энергии электрона εα ( k ).Вектор k называется волновым вектором, α — номер энергетическойзоны2 .Функции (15.11) называются функциями Блоха (или блоховскими функциями) в честь немецкого физика Ф. Блоха, который в 1929 г. впервые установилобщий вид волновых функций частицы в произвольном периодическом поле.15.3.Квазиимпульс электрона в кристалле.Обратная решеткаФункции Блоха (15.11) имеют вид плоских волн с амплитудой uk α (r ), котораяпериодически изменяется в пространстве. Если сравнить эти функции с собственными функциями импульса частицы в пустом пространстве1ψp (r ) = eip · r/,V(15.12)то на первый взгляд кажется естественным отождествить векторp = k(15.13)с импульсом электрона в состоянии ψk α .
Легко, однако, показать, что эта интерпретация неправильная. В самом деле, с физической точки зрения было быстранно, что электрон, находясь в силовом поле U0 (r ), обладает в стационарномCобственные значения гамильтониана электрона запишем в виде ε( k ), посколькууровни энергии электрона зависят от проекций k как от параметров.2Смысл этого названия мы обсудим в разделе 15.4.1195состоянии постоянным импульсом.
Можно привести и чисто формальный аргумент: волновые функции Блоха (15.11) не являются собственными функциями так какоператора импульса pˆ = −i ∇, .pˆ ψk α = p ψk α − i eik · r ∇ukα(15.14)Из-за последнего слагаемого соотношение pˆ ψk α = p ψk α не выполняется. Все жеможно сказать, что вектор (15.13) в некотором смысле характеризует “быстротудвижения” электрона в кристалле. Действительно, вычислив среднее значениеимпульса электрона с волновой функцией Блоха, получим1ˆ dV, p = p − i u∗k α ∇u(15.15)kαVгде было использовано равенство (15.14).
Так как формула (15.13) напоминаетсоотношение для свободной частицы в вакууме, но p не является “настоящим”импульсом электрона, то вектор p = k называют квазиимпульсом2 .Обсудим теперь еще одно отличие квазиимпульса электрона в кристалле отимпульса свободного электрона, играющее важную роль в физике твердого тела. Покажем, что квазиимпульс, определяемый формулой (15.13), не являетсяоднозначным.
К нему можно прибавить бесконечное число векторов, не изменяяволновой функции электрона.Неоднозначность квазиимпульса связана с неоднозначностью волнового вектора k для электрона в кристалле, поэтому рассмотрим некоторые свойства этоговектора. Для простоты предположим сначала, что кристалл имеет простую кубическую решетку (см. Рис. 15.1.) с периодом a и представляет собой параллелепипед, ребра которого ориентированы вдоль ребер элементарной ячейки. Предположим также, что оси x, y, z системы координат направлены вдоль ребер кристалла.Таким образом, в данном случае векторы основных трансляций записываются ввиде a1 = a ex , a2 = a ey , a3 = a ez , где ex , ey , ez — орты системы координат.
ПустьLx = aNx – длина ребра кристалла вдоль оси x, Ly = aNy — вдоль оси y и Lz = aNz— вдоль оси z. Тогда полное число ионов в кристалле есть N = Nx Ny Nz , а объемкристалла равен V = Lx Ly Lz = a3 N .Волновые функции (15.11) должны удовлетворять некоторым условиям на границе кристалла. Например, можно потребовать, чтобы ψkα (r ) обращалась в нульна границе кристалла. Заметим, однако, что такое условие нарушает периодичность функции вблизи границы.
Строго говоря, для того, чтобы во всем объемекристалла сохранялась периодичность его свойств, он должен быть бесконечнобольшим. Впрочем, ясно, что объемные физические свойства практически не зависят от того, что происходит непосредственно около границы, и эти свойстваопределяются именно тем, что вдали от границы кристаллическая решетка является периодической.Чтобы избавиться от несущественных усложнений, которые вносит границакристалла, удобно выбрать для волновых функций электрона специальные граничные условия. Это чисто технический прием, но он позволяет значительно упростить математику.12Предполагается, что функции Блоха нормированы на единицу в объеме кристалла V .На латыни “quasi ...” означает “вроде ...”, “похожий на ...”.196Потребуем, чтобы функции Блоха совпадали на противоположных гранях кристалла.
Эти условия на границах кристалла называются циклическими граничными условиями или условиями Борна-Ка́рмана в честь физиков, которыепервыми их придумали1 . Будем считать, что граням кристалла, параллельнымплоскости yz, соответствуют значения x = 0, x = Lx , а остальным граням — значения y = 0, y = Ly и z = 0, z = Lz . Тогда циклические граничные условиязапишутся в видеψk α (0, y, z) = ψk α (Lx , y, z),(15.16)ψk α (x, 0, z) = ψk α (x, Ly , z),ψk α (x, y, 0) = ψk α (x, y, Lz ).Используя теперь явное выражение (15.11) для функций Блоха, а также учитывая,что функции uk α периодичны и поэтому автоматически совпадают на противоположных гранях кристалла, приходим к трем условиямeikx Lx = 1,eiky Ly = 1,eikz Lz = 1.(15.17)Отсюда находим возможные значения проекций волнового вектора электрона:kx =2πn ,Lx xky =2πn ,Ly ykx =2πn,Lz z(15.18)где целые числа nx , ny , nz независимо принимают значения 0, ±1, ±2, .
. . Если вместо волнового вектора для характеристики состояния электрона используется квазиимпульс p, то из формулы (15.13) легко найти возможные значения проекцийквазиимпульса:px =2πn ,Lx xpy =2πn ,Ly ypz =2πn.Lz z(15.19)Эти выражения совпадают с выражениями (5.62) для значений проекций импульса частицы, движущейся в объеме V = Lx Ly Lz . Законный вопрос: что же новогов кристалле? Напомним, что из-за периодичности решетки кристалла волновыефункции стационарных состояний электрона отличаются тем, что они, вообще говоря, по разному преобразуются при переходе из одной точки кристалла в другуюэквивалентную точку, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
