kkvant (1083120), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Показать, что уравнение (16.44) в произвольном a-представлении эквивалентно следующему матричному уравнению для волновой функции ψA (a) = a|A:(Aaa − A δaa ) ψA (a ) = 0.(16.94)aУказание: Умножить скалярно обе части (16.44) на базисный вектор |a, а затемразложить вектор состояния Â по базисным векторам.16.5. В волновой механике Шредингера гамильтониан частицы во внешнем потенциальном поле имеет вид Ĥ = p̂2 /2m + U (r ). Проверить, что матричные элементы гамильтониана в координатном представлении даются выражением2 2 r |Ĥ| r = −∇ + U (r ) δ(r − r ),2m230где ∇2 — оператор дифференцирования по проекциям вектора r.
Определениепроизводных дельта-функции приводится на стр. 221.16.6. Рассматривается частица со спином s. В качестве базисных состоянийчастицы выбраны состояния |q ≡ |r , ms , где спиновое магнитное квантовое число(ms = −s, −s + 1, . . . , s) определяет значение проекции спина частицы Sz = msна ось квантования z.а) Записать условие нормировки для векторов состояния |q и условие полнотыбазиса;б) Найти матричные элементы q| rˆ |q оператора радиуса-вектора и матричныеэлементы q| pˆ |q оператора импульса в q-представлении;в) Найти матричные элементы q|Ŝz |q оператора Ŝz в этом представлении;г) Для случая s = 1/2 найти также матричные элементы q|Ŝx |q и q|Ŝy |q .16.7. Проверить условие нормировки (16.62) для волновой функции частицы вимпульсном представлении.Указание: Если записать Φ∗ (p, t) в виде интеграла, выполнив комплексное сопряжение в (16.61), то левая часть (16.62) приводится к виду12 3333 −ip · (r−r )/ ∗|Φ(p, t)| d p =dpdrdreΨ (r , t)Ψ(r, t).3(2π)Выражение выглядит довольно сложным, но если первым вычислить интеграл поp, то возникает дельта-функция δ(r − r ) [см.
(16.69)], которая затем “снимает”интеграл по r .16.8. Используя формулу (6.40) для полиномов Эрмита, проверить равенства (16.77) и (16.78).16.9. Вывести соотношения (16.80) и (16.82).Указание: Удобно записать x = x0 ξ и p̂x = (−i/x0 )∂/∂ξ. Обозначим через Anнормировочную постоянную в выражении (16.76) для ψn . Тогда, согласно свойству (16.77) полиномов Эрмита,1An1 An2ξψn = An nHn−1 + An Hn+1 e−ξ /2 =n ψn−1 +ψ .2An−12 An+1 n+1Отношения нормировочных постоянных легко находятся:An /An+1 = 2(n + 1).An /An−1 = 1/ 2n,С учетом приведенных формул сразу получается (16.80). Для вывода (16.82) нужно воспользоваться свойством (16.77) полиномов Эрмита.16.10.
Поверить, что оператор ↠[см. (16.84)] является эрмитово сопряженнымоператору â.Указание: Учесть, что операторы x̂ и p̂x эрмитовы.16.11. С помощью выражений (16.89) преобразовать гамильтониан осциллятора (16.73) к виду (16.90).Прямая подстановка выражений (16.89) в (16.73) с учетом того, чтоУказание:x0 = /mω, даетĤ =ω ,(â + ↠)(â + ↠) − (â − ↠)(â − ↠) .4231Раскрывая круглые скобки и следя за порядком расположения операторов, получаемω †Ĥ =ââ + ↠â .2†Поскольку из (16.86) следует, что ââ = 1 + ↠â, приходим к выражению (16.90).17.Вторичное квантованиеИнтересно, что представление чисел заполнения можно ввести не только дляосциллятора, но и для произвольной квантовой системы, состоящей из одинаковыхчастиц1 .
По историческим причинам переход к представлению чисел заполненияполучил название вторичного квантования. В целях экономии места мы не будем останавливаться на происхождении этого термина. Интересующийся читательможет найти эти сведения, например, в книгах [2, 4].Для систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, представлениечисел заполнения оказалось настолько удобнее координатного представления, чтофактически полностью вытеснило последнее и в настоящее время применяется длярешения большинства конкретных физических задач.17.1.Представление чисел заполнения для бозоновСначала мы введем представление чисел заполнения для систем, состоящихиз одинаковых бозонов, т. е.
частиц с целым спином, подчиняющихся статистикеБозе-Эйнштейна. Так как нам потребуются некоторые сведения из раздела 12.3. ,то рекомендуем читателю предварительно еще раз прочесть этот раздел.Будем исходить из разложения (12.29) произвольной волновой функции системы бозонов по симметризованным произведениям одночастичных волновых функций (12.25). Мы уже отмечали, что квантовое состояние системы, которое опи(s)сывается базисной волновой функцией Φ{n } (q1 , . .
. , qN ), полностью определяетсяlнабором чисел заполнения {nl }. Каждое число nl может принимать значения0, 1, 2, . . . , N ; оно показывает, сколько частиц находится в одночастичном состоянии |l.Расположим значения индекса l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы(17.1)|{nl } = |n1 , n2 , .
. . , nl , . . . ,где {nl } — все возможные наборы чисел заполнения, удовлетворяющие условию (12.23). Как работать с таким базисом ? Пока мы знаем только, что“проекциями” состояний (17.1) в координатном q-представлении являютсяволновые функции (12.25):(s)Φ{n } (q1 , . . . , qN ) = q1 , . . . , qN |{nl }.l(17.2)Кроме того, согласно (12.24), этот базис является ортонормированным:{nl }|{nl } = δ{nl },{nl } .(17.3)Впрочем, к аналогии с осциллятором следует относиться осторожно. В частности, дляквантовой системы, состоящей из одинаковых частиц, представление чисел заполненияне имеет никакого отношения к энергетическому представлению.1232Символ Кронекера имеет тот же смысл, что и в (12.24): величина δ{n },{n } равнаllединице, если наборы чисел заполнения совпадают, и равна нулю, если nl = nlхотя бы для одного |l.К сожалению, волновые функции (17.2) зависят от огромного числа переменных, если число частиц N в системе велико.
Поэтому желательно избежать их использования при вычислении средних значений физических величин, матричныхэлементов операторов и т. д. Все это несколько напоминает ситуацию с осциллятором. Напомним, что там оказались очень удобными операторы рождения и уничтожения, которые действовали непосредственно на базисные состояния и меняличисло квантов возбуждения.
Удивительно, но факт: тот же прием срабатывает идля системы из одинаковых частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна.Итак, попытаемся действовать по аналогии с осциллятором. Введем операторы уничтожения и рождения частиц в одночастичных состояниях |l.Обозначим их âl и â†l . Договоримся, что эти операторы действуют на базисныесостояния (17.1) по правилам [ср.
(16.85)]√âl | . . . , nl , . . . = nl | . . . , nl − 1, . . .,(17.4)â†l | . . . , nl , . . . = nl + 1 | . . . , nl + 1, . . ..Точками обозначены числа заполнения остальных одночастичных состояний |l сl = l. Они не меняются при действии операторов âl и â†l на вектор состояниясистемы.Соотношения (17.4) полностью определяют операторы рождения и уничтожения.
В самом деле, с их помощью легко вычислить матричные элементы в представлении чисел заполнения {nl }|âl |{nl } и {nl }|â†l |{nl }, а затем, если нужно, —в любом другом представлении, следуя правилам, изложенным в разделе 16.2. Втеории многочастичных квантовых систем важную роль играют операторыn̂l = â†l âl .(17.5)Они эрмитовы (проверьте!) и, согласно (17.4), действуют на базисные векторысостояния следующим образом:n̂l | . . .
, nl , . . . = nl | . . . , nl , . . ..(17.6)Операторы n̂l называются операторами числа частиц в состояниях |l или операторами чисел заполнения.Докажем, что операторы рождения и уничтожения â†l и âl удовлетворяют коммутационному соотношению[âl , â†l ] = 1,(17.7)которое аналогично соотношению (16.86) для осциллятора. Так как любой вектор состояния системы, состоящей из одинаковых бозонов, можно записать в видесуперпозиции базисных состояний (17.1), т. е.C ({nl }, t) | . . . , nl , . . . ,(17.8)|Ψ(t) ={nl }то достаточно доказать, что для любого базисного состоянияâl â†l − â†l âl | . .
. , nl , . . . = | . . . , nl , . . ..233Это равенство легко проверить, используя правила (17.4).Операторы рождения и уничтожения, относящиеся к разным одночастичнымсостояниям, коммутируют друг с другом:[âl , â†l ] = [âl , âl ] = [â†l , â†l ] = 0,(l = l ).(17.9)Доказательство этих почти очевидных соотношений мы оставляем читателю (см.упражнение 17.1.). Объединяя формулы (17.7) и (17.9), запишем основные коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения в виде[âl , âl ] = [â†l , â†l ] = 0,[âl , â†l ] = δll ,(17.10)где l и l — произвольные индексы одночастичных состояний. В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационнымсоотношениям (17.10), принято называть бозе-операторами. Такие операторывстречаются не только в теории систем, состоящих из “обычных” частиц с целымспином.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
