XVII Математическая статистика (1081432), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пример 7.10. В условиях примера 7.8 проверим значимость козу>у>ициента регрессии у на х на уровне значимости о = 0,1 и найдем значение оценки коэу1у>ициента корреляции р „. Пронерка значимости коэффициента регрессии в данном случае означает проверку гипотезы Но. Д = 0 против альтернативной гипотезы Н2. Д ф О. Воспользуемся статистикой 137(У ) и — т Ю1(1 в) Значения показателей Яу и © найдем по результатам наблюдений. Соответствующие вычисления сведем в таблицу (табл.
7.8), в которой у; = у(х;) и у — среднее выборочное, рав- ное 9 у = — ~~) у; = 10,756. 9 Таблица 7.8 ( , у)2 у» — у» у» х» 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 17,0 16,2 13,3 13,0 9,7 9,9 6,2 5,8 5,7 17,614 15,562 13,726 12,106 10>594 9,082 7,570 6,058 4,654 — 0,614 0,638 — 0,426 0,894 -0,844 0,818 -1,370 — 0,258 1,046 0,376996 0,405044 0,181476 0,799236 0,712336 0,669124 1,876900 0,066564 1,094116 16,858 4,806 2,970 1,350 -0,162 -1,674 -3,186 -4,698 -6,102 47,032164 23,097639 8,820900 1,822500 0,026244 2,802276 10,150596 22,071204 37,234404 330 И ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Из табл. 7.8 получаем 9 ЮУ = ~ (Й Р) = 153,0579, 121 =,~,(уз — 9) = 6,1837 и вычисляем 153,0579 ° 7 6,1837 По таблице квантилей распределения Фишера с числом степеней свободы т — 1 = 2 — 1 = 1 и н — т =9 — 2 = 7 (см.
табл. П.5) находим Др — — Л 7з — — Уе,яя — — 5,59. Из нераненства Д = 172 > > У,р — — 5,59 следует, что регрессия значима. Чтобы найти козффициент корреляции р „, воспользуемся 2 равенством р „= (ярцЗ~) В, где Й вЂ” значение оценки коэффициента детерминации, равный рз ~У Юя 153,0579 153,0579 153,0579+ 6,1837 159,2416 В результате р „м — 0,96. Таблица 7.9 По данным выборки запишем матрицы 1 1 1 1 1 1 1 Г = 26 30 34 38 42 46 50 676 900 1156 1444 1764 2116 2500 1' = (3~94 4~60 5~67 6~93 7~73 8~25 9т56) ° Пример 7.11. Считая, что зависимость между х и у имеет вид д = фо+дх+фгхз, найдем значения оценок параметров н проверим значимость модели реерессии на уровне а = 0,1 по выборке, представленной в табл.
7.9. 331 КЛ. Решеипетипавых примеров Используя матрицу г',находим 7 266 10556 М = г' Е = 266 10556 435176 10556 435176 18527600 91,926 -4,962 . 0,064 М 1 = -4,962 0,271 -3,534 10 0 064 3 534 10-з 4~65 10 Теперь вычисляем вектор-столбец параметров А =М ~Г У== 0,2579 Итак, у(х) = — 2,6589+ 0,2579х — 0,0003хз. Проверим значимость модели регрессии на уровне о = 0,1. Для этого составим таблицу (табл.
7.10), в которой у; = у(х;) и у — выборочное среднее показателя у (среднее значение второго столбца табл. 7.9), равное 1г р= — ~3,94+4,6+5,67+6,93+7,73+8,25+9,56) =6,67. 7 Таблица 7.10 332 7. ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА По данным составленной таблицы находим г Яу = ~~) (у — у) = 24,5371, д,=~~~ (9; — 9) =0,2244, 24,5371. 4 218,69, 2.
0,2244 По таблице квантнлей распределения Фишера (см. табл. П.5) находим Укр Л-а/2(ш 1~в ™) У095(2)4) — 6И. Из неравенства 1, = 218,69 > ~„р — — 6,94, согласно критерию (7.24), приходим к заключению, что модель значима. Пример 7.12. В условиях примера 7.11 проверим значимость козффициента 11з, т.е. гипотезу Нез. 11з = 0 при альтернативной гипотезе,дз ~ 0 с уровнем значимости о =0,1. Для решения поставленной задачи используем статистику (см.
(7.25)), Ее выборочное значение равно Щ = ' 0,784. 0,0003 4 По таблице квантилей распределения Стьюдента (см. табл. П.4) находим бакр = 1~-а(з(4) = Ь,яя(4) = 2~132. Так как ~1 ~ < $„р, гипотезу Нет принимаем, т.е. козффнциент 11з не является значимым. 333 7.5. Решеиие типовых примеров Пример 7.13. По данным наблюдений (табл. 7.11) найдем оценки параметров модели регрессии р = д>+ дх+ рзхз н проверим адекватность втой модели на уровне значимости о = = 0,01. По данным нз табл.
7.11 запишем матрицы 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 2 4 1 3 9 1 3 9 1 4 16 1 4 16 1 5 25 1 6 36 1 6 36 1 6 36 1 7 49 1 8 64 1 8 64 1 9 81 1 10 100 22,8 21,9 22,1 24,5 26,0 26,1 26,8 27,3 28,2 28,5 28,9 30,0 30,3 29,8 30,4 31,4 31,5 31,8 33,1 334 7. ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО А НА ЛИЗА Найдя матрицы 550 3018 30274 7,903-10 з 6 266 . 10-з 10-4 19 84 М=с Г= 84 550 550 3018 0,253 М 1= -0,097 7,903 10 з -0,097 0,063 6 266 10-з вычисляем вектор-столбец параметров 111 =М ~с' У= 1668 Таким образом, й = 22,561+ 1,668х — 0,068хз.
Для проверки адекватности найденной модели воспользу- емсЯ статистикой с = Яз„(Ун)/Яиз(Ун), котоРаЯ имеет закон распределения Фишера с числом степеней свободы г„= и — т н гр — 2; 1~; — 1). Для вычисления зтой статистики сведем проме° =1 жуточные данные в таблицу (табл. 7.12). Таблица 7.19 са У-.)2 У' йр -0,294 0,339 0,425 0,097 0,205 — 0,301 -0,088 -0,505 -0,103 -0,212 0,659 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22,267 24,500 26,050 27,050 28,350 28,900 30,033 30,400 31,450 31,800 33,100 22,561 24,161 25,625 26,953 28,145 29,201 30,121 30,905 31,553 32,012 32,441 0,2593 0,1149 0,3612 0,0188 0,0840 0,0906 0,0232 0,2550 0,0212 0,0449 0,4343 7.И Решение типовых примеров По данным таблицы находим п Я„=~~> 1;.(у; — у;) и1,708 ° ьп п п (~ = ~~~ ~ (уб — у) = 0,753.
Теперь можно определить выборочное значение статистики: 753 ° (11 — 3) 0,753 8 ° 1,708 1,708 По таблице квантнлей распределения Фишера (см. табл. П.5) на ходим критическое значение ('„р — — Уо,~(8,8) = 7,50. Поскольку ~е = 0,441 < ~„р — — 7,50, то найденнал модель регрессии адекватна результатам наблюдений.
Пример 7.14. В условиях примера 7.5 построим: а) доверительный интервал для среднего значения отклика в точке х = 10; б) проенозируннций доверительный интервал. Доверительиу1о вероятность выберем 7 = 0,99. а. Границы доверительного интервала для среднего значения отклика в соответствии с (7.27) равны Находим значения у(х) и 4>(х) Сф(х) в точке х = 10: у(10) = 20,53 — 1,08 ° 10 = 9,73, 1 -0,08989 0,007731 1 101 336 Т.
ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Далее опРеделЯем выбоРочное значение Яяэ: Я„= — ~~~ (уя — д(х;)) ~=1 = — (0,376996+ 0,405044+ 0,181476+ 0,799236+ 0,712336+ 1 + 0,669124+ 1,876900+ 0,066564+ 1,094116) = 0,8831. По таблице квантилей распределения Стьюдента (см. табл. П.4) находим кваптнль 1е,ееэ(7) = 3,499. В результате получаем доверительный интервал для среднего значения отклика в точке х = 10: (8,60, 10,86) .
б. Границы прогноэирующего доверительного интервала равны я*) м, „„„я„~~ ~~~*~'се[*). По таблице квантилей распределения Стьюдента определяем Ф~ О „уэ = Ге,ееэ = 2,576. В результате для границ интервала получаем 9 73 ~ 2 576 ~/О Ь3 1~ Т+ О 11к42. После упрощений окончательно находим уе ее(у) = (7,17, 12,29). Вопросы и задачи 7.1. Какую функцию называют функцией регрессии? 7.2.
Какие переменные называют входными (факторами), выходными (откликами)? 7.3. Что называют планом эксперимента? 7.4. Какую регрессионную модель называют линейной? 7.5. Сформулируйте исходные предположения метода наименьших квадратов. 337 Воаросы и задачи 7.6. В чем состоит метод наименьших квадратов нахождения параметров линейной регрессионной модели? Запишите формулу для оценок неизвестных параметров. 7.7.
Запишите днсперсионную матрицу Фишера. Какой смысл имеют ее злементы? 7.8. В чем состоит анализ регрессионной модели? Прн каких предположениях его проводят? 7.9. Какую статистику используют для проверки значимости модели регрессии? 7.10. Какую линейную регрессионную модель называют адекватной? Сформулируйте правило проверки адекватности модели. 7.11. Запишите формулу для вычисления несмещенной оценки дисперсии отклика в случае адекватной регрессионной модели. 7.12.
По данным зкспернмента (табл. 7.13) с помощью метода наименьших квадратов найдите значения оценок параметров модели у= а+Ынх. Таблица 7.18 Ответ: у=4,97+0,47!пх. 7.13. Считая, что переменные х и у связаны зависимостью у = ДеД1, по выборке (1, 10), (2, 5), (3, 3), (4, 1) найдите значения оценок параметров ~3о и Д. У к аз а н и е: используйте р~~ультаты примера 7.9. Ответ: у = 22,64е едяе 7. ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА 7.14. Результаты эксперимента представлены таблицей Полагал, что переменные у и х связаны линейной зависимостью, найдите значения оценок параметров. О т в е т: у = 0,932+ 0,906х.
7.15. Для модели регрессии, построенной в примере 7.3, проверьте ее значимость на уровне значимости о = 0,05 и значимость ее коэффициентов Д> н Д на уровне значимости о=0,1. О т в е т: модель значима; оба коэффициента значимы. 7.16. Зависимость между переменными х и у имеет вид У = До+Ах+Рзх~. По данным выборки (0,07, 1,34); (0,31, 1,08); (0,61, 0,94); (0,99, 1,06); (1,29, 1,25); (1,78, 2,01); (2,09, 2,60) выполните следующее: а) найдите значения оценок параметров модели регрессии; б) пронерьте значимость модели регрессии на уровне значимости о = 0,05.
Ответ: а) у = 1,40 — 1,22х+0,87х'; б) модель значима. 7.17, Зависимость между переменными х и у имеет вид у=Д>+,61х+Дзхз. Поданным выборки (табл. 7.14) выполните следующее: а) найдите значения оценок параметров модели регрессии; б) проверьте значимость модели регрессии на уровне значимости о = 0,01. 889 Вопросы и эаяачн Таблица 7.Ц Ответ: а) у= 0,175+0,085х+0,002х~; б) модель не является значимой. 7.18. Проведены равноточные измерения некоторой величины у через равные интервалы аргумента х (табл. 7.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
