XVII Математическая статистика (1081432), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таблица 8.8 1 ву, х.. = ~~) ~ хая= 10+12+12= 34, ~~) ~1 хая — — 104. ь~~ '=1 ьж! йю1 Затем, используя (8.2) и (8.3), находим л~ Я = ~ ~~> хэь — — хэ. = 104 — — ° 34э 26,93, п ' 15 ьж1ю=! 2 1 2 1 2 Юл = ~ — х.ь — — хч. =91,08 — — 34 т14,02, я=1 Ф = Я вЂ” Яд = 26,93 — 14,02 = 12,91. Требуется на уровне значимости о = 0,05 проверить гипотезу об отсутствии влияния различных методик обучения на результаты тестового контроля операторов.
Предполагается, что выборки получены иэ независимых нормально распределенных совокупностей с одной и той же дисперсией. В данном случае фактор А — это тип методики обучения, имеющий 1 = 3 уровня. Объем наблюдений и = п1 + пэ+ пэ = 15. Проверяется гипотеза Не. 'а1 = рэ = рэ, где иь — математическое ожидание числа ошибок, допущенных операторами Й-й группы. Сперва вычисляем суммы 348 а ОСНОВЫДИСНЕРСИОННОГО АНАЛИЗА Теперь вычисляем выборочное значение статистики (8.4): ЯА/(1 — 1) 14,02/2 9~/(и — () 12,91 Из таблицы квантилей распределения Фишера (см.
табл. П.5) для уровня значимости о = 0,05 и степеней свободы гл = ! — 1= = 2, г~ = и — ! = 12 находим К,р гозь(2,12) = 3,89. Так как Г, = 6,52 > Р'„ю то гипотеза Но о равенстве средних отклоняется. Это означает, что исследуемые методики обучения операторов дают значимо различные результаты тестового контроля. 8.3.Понятие линейных контрастов Если гипопзеза Но о равенстве средних значений ! нормальных генеральных совокуззноспзей отклоняется (т.е. хотя бы в какой-то паре групп средние отличаются друг от друга), то требуется определить, какие именно группы имеют значимое различие средних. Для этой цели используются так называемые линейные момозрасозьз. Линейный контраст Ь определяется как линейная комбинация Ь = ',~ сь(зь, (8.5) где сь — постоянные, однозначно определяемые из формулировки проверяемых гипотез, причем сз +...
+ с! = О. Примерами линейных контрастов являются: Т = (зз — (зз~ здесь с1 = 1, сз = -1, сз = О, а выдвигаемая (1) гипотеза Но: (зз рз = К (з1. г(~1 =0,5((з +,и ) — (зз,' здесь сз — — сз=О 5, сг=-1, а выдвигаемая гипотеза Но . 0~5((из+(зз) (зз — О (з) Таким образом, если гипотеза Но. (зз — — (зз — ... —— (з[ отклоняется, то с помощью линейного контраста можно выдвинуть вспомогательные нулевые гипотезы относительно различных 349 В.З. Понлтне линейных контрастов линейных комбинаций средних значений 1хм ..., пн образующих линейный контраст.
Любая такая гипотеза имеет вид Но. А = с11х1+ ...+сцц при некотором заданном наборе постоянных сю для которых с1 + ... + с~ = О. Нетрудно увидеть, что несмещенной оценкой линейного контраста Ь (при сделанных выше предположениях о случайных ошибках эксперимента см) является оценке ЦХ.)=~ с,Х„ (8.6) дисперсия которой (с учетом того, что 1лХл = оз/пл и Хь— независимые случайные величины) равна з ПХ(Х ) = о~~ Леп пл (8.7) При этом статистика ЦХ„) имеет нормальный закон распре- деления со средним Ь= с1р1+...+сцн и дисперсией ПЦХ„), т.е.
ЦХ„) - И(1„П ЦХ„)), (8.8) Следовательно, (8.9) т.е. статистика Т имеет стандартное нормальное распределение. Последнее утверждение следует из того, что выборочные среднее Хл имеют нормальное распределение, Ха ° Ф(рыоз), /с = 1, 1, а линейная комбинация Ь = с1Х1+ ... + с1Х~ нормально распределенных случайных величин также распределена по нормальному закону с параметрами МЦХ„) = Е и ВХ(Х„) = =о~ел/о1+...+с~~/пв КРоме того, статистика ф(Хв)/оз име- 350 8. ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА ет )(2-распределение с числом степеней свободы г1 = п — 1, т.е. (и 1)512(х„) а2 (8.10) и можно показать, что 1' и Т вЂ” независимые случайные величины. На основании (8.9) и (8.10) приходим к следующему при!пери!о проверки гипотезы Но. '1 = с!р1+... + с!р! = О.
е о,' р, * * ~=У/ГАФТ -О имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы и — (, т.е. ) сьХл ! = ~=' Я(п — Е). 1 2 Я1(Х„) ( ~; — "" (8.11) Таким образом, гипотезу Но следует отклонить на уровне значимости о (т.е. считать значимым отличие от нуля выбранной линейной комбинации средних р1,рз,...,р!), если выборочное значение ! статистики (8.11) по абсолютной величине превышает („р — — (! (2(п — !): 1(в~ ) !кр — 21-ь/2(П ()- Пример 8.2.
В условиях примера 8.1 прн двусторонних альтернативных гипотезах проверим гипотезы Но . р! = р2, О). Не Р! — Рз~ Нв Р2 Рз~ Н! 2(Р1+Рз) — Р2. (2). (3) (Я). ! В соответствии с проверяемыми гипотезами Н1,, !'= 1,4, . ($) определим линейные контрасты Ь1 =И! — Р2 22=Р! Рз р2 — рз (с! = 0 1 2 (Р! + )и2) Рз (=- 1 1 с1=-, сз=-, сз=-1). 2' 2' Ь4 (с! = 1, (с! = 1, 1 С2 = — 1~ сз = 0)( сз = О, сз = — 1); с2 = 1, сз = -1); 351 8.3. Поивтие линейных коитрветов Предварительно вычислим значения оценок линейных контрастов Х,;, (= 1,4, и их дисперсий.
Выборочные средние х1 = 1,43, 22 = 2,4, хз = 4. Значение оценки дисперсии г Ф 12,91 — 1,08, п — ( 15 3 Значения оценок контрастов и их дисперсий равны: 71 1х Ь~ = 1,43 — 2,4 = — 0,97, П 54 — — 1,08 ~ — + — ) — 0,37; 7 5 21 1х Е2 = 1,43 — 4= — 2,57, ОЕ2 — 1,08~-+ — ) 0,51; 7 3 71 1х 72=24 4=-160 3 Ф РЕ,з — — 1,08~ — + — ) — 0 58. ~5 3 1 7ч = -(1,43+2,4) — 4= — 2,08, Х) (4 = 1,08! + + — 1 0,45. 7 5 3/ Следовательно, выборочные значения )(, ~ статистики (8.11) (!) равны: (1). (1) ! Ьз ! 0,07 — для гипотезы Не . (1 (=) ' (= — ' 1,595; ! /~Я!,/о,з7 — для гипотезы Нр . ')1, ~ = ~ — ~ = — ' — 3,598; (2) (2) ! Е~ ! 22Д7 Я~ — для гипотезы Н„: )1, ) = ~ — ~ = — * =3,002.
(4) (4) ! А4 ! 2,0Н /Я ф!,4л Критическое значение Ф„р — — 1о,зтл (12) = 2,179. Так как (1, ~ ( (1) ( 1„р и ((в ~ ( Фвр, то гип~т~зы Н„и Н„принимаются. (з) (В (з) Гипотезы Н, и Но отклоняются, ибо (1, ~ > („р и (1, ~ > („р. (г) (4) (2) (4) Таким образом, значимо различны средние первой и третьей группы, а также среднее арифметическое средних для первых двух групп и среднее третьей группы. 352 8. ОСНОВЫ ДИСНЕРСИОННОГО АНАЛИЗА 8.4. Двухфакторный дисиерсионный анализ Рассмотрим случай влияния двух факторов на отклик Х. В этом случае диснерсионный анализ основывается на результатах эксперимента, проводимого на различных уровнях каждого из факторов. Будем предполагать, что взаимосвязь между факторами отсутствует'.
Для простоты изложения ограничимся случаем, когда для каждой пары уровней рассматриваемых факторов проводится по одному наблюдению. Через 1А обозначим число уровней фактора А, а через 1в — число уровней фактора В. Тогда общее число наблюдений для всех возможных пар уровней факторов А и В равно и = 1А1н. Математическую модель двухфакторного диснерсионного анализа в этом случае можно представить в виде ху = до+ он+111+си, 1= 1, 1А, .1 =1, 1в, (8.12) где ХИ вЂ” отклик Х на 1-м уровне фактора А и у-м уровне фактора В; ро = МХ; о;,,8 — неслучайные величины, характеризующие вклады в Х;, обусловленные действием соответствующих факторов А и В; е1 — случайная величина, характеризующая вклад в Х;-, обусловленный действием неучтенных факторов.
Предположения, сделанные в 8.2 относительно случайных величин е;, остаются в силе. При этом М Х*; = то+ он + 13,. и о1+".+о1„=А+...+111 =О, что и означает независимость факторов А и В. Поскольку в модели (8.12) взаимодействие факторов отсутствует, проверка гипотез о влиянии факторов А и В на отклик Х проводится отдельно для каждого фактора. Рассмотрим 'См:. Аяввзли С.А., Енюков И.С., Мееюалкии ЛД., 1985.
353 лаа двухфакторный Лвспарсаовный анализ с, Х= — ,'«'~ Х;,. 1А1В . »ж«1=1 [в Хь = — ~~ Х;;, 1в . 1=1 Общая сумма квадратов отклонений Х; от выборочного среднего Х может быть представлена в виде «а «в ~л д(х„)=,'» ~«(х;,-х)'=1~ч ~(х;.-Х)'+ «=1 1=1 1=1 ~в ~а «в +1А,'» (Х.,-Х)'+,'«"',» (Х;,-Х;.-Х.,+Х)' 1=«1=1 (вэтом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в 8.2). Отсюда вытекает равенство Ь1(Хп) = ЧА(Ха) + ЯВ(Хо) + ЮО(Хо)1 (8.«3) где слагаемое «а а (Х„) =1 Е(Хь-Х)2 обусловлено отличием выборочных среднив Хь и Х, т.е. влиянием фактора А на отклик Х; слагаемое ЮВ (Хо) 1А „~> (Х 1 Х) обусловлено отличием выборочных средних Х.1 и Х, т.е.
влия- нием фактора В на отклик Х; слагаемое «а «в д,(Х„)='5 ~» (Х;;-Хь — Х.,+Х)' а=1 уж« учитывает влияние всех факторов, в том числе и неучтенных. критерии для проверки гипотеэо влиянии фактора А (фактора В) на отклик Х. Введем обоэначения 354 8. ОСНОВ1в' ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА Проверка гипотез о влиянии факторов А и В на отклик Х основана на сравнении сепаеппсеппк ЯА(Х„) и ЯВ(Хв) с Яо(Хв). Проверим, например, гипотезу Н~ о том, что фактор А не влияет на отклик Х, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
