XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (1081420), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Сравнение ограничим выбором зна- 4 Е 3 Е 3 Е чения чч' = 9, для которого и, = 3 и 7„= — —, т.е. сила тока при комбинированной схеме более чем в 1,5 раза превышает значение ./~в). Так как при и < Л выполняется неравенство 7ч <,Ум то комбинированную схему соединения источников тока достаточно сравнить с их последовательным соединением. Представим отношение сил токов в следующем виде: А Хг+Л №+Л А ~IЯТЙ 2у ХтЛ К ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В правой части этого равенства стоит удвоенное отношение среднего арифметического к среднему геометрическому двух чисел г1 си Л. Известно, что это отношение не меньше единицы, причем оно равно единице только при Хт = Л (см.
пример 1.3). Следовательно, »„> 2,1» для всех приемлемых значений А», при которых возможна комбинированная схема соединения. Аналогично можно показать, что при г > Л для всех приемлемых значений Х справедливо,7„) 2,72 > 2,7». Математическая модель объекта оптимизации может оказаться столь сложной, что решение задачи оптимизации с использованием такой модели потребует слишком много времени. В таком случае следует попытаться упростить модель, но так. чтобы в упрощенном виде она отражала свойства объекта, существенные с точки зрения цели оптимизации, выражаемой критерием оптимальности.
После выбора значений параметров оптимизации целесообразно провести поверочный расчет с использованием более полной модели и оценить погрешность, связанную с ее упрощением. Пример 1.10. Для интенсификации теплообмена между нагретой поверхностью и охлаждающей средой увеличивают площадь поверхности путем ее оребрсния. Рассмотрим плоскую стенку, к которой присоединено достато"п»о длинное ребро прямоугольного профиля высотой 1 и толщиной 21» (рис. 1.6).
ЬЗ. Задачи оптимального проектирования Помимо передачи теплоты охлаждающей среде с известной температурой Те непосредственно с поверхности стенки. имеющей температуру Тв > Т„некоторая часть теплоты распространяется путем теплопроводности от основания ребра к его вершине и переходит в охлаждающую среду через боковые поверхности. Целесообразно так подобрать материал ребра и размеры 1 и 6 его профиля. чтобы тепловой поток Я (количество теплоты в единицу времени), передаваемый охлаждающей среде через участок ребра единичной длины. был максимальным. Для изготовления ребер желательно использовать материал с достаточно большим коэффициентом теплопроводности Л. Тогда температура боковой поверхности ребра будет в меньшей степени отличаться от температуры его основания, что повысит эффективность использования этой поверхности.
Масса ребра, приходящаяся на единицу его длины, пропорциональна площади Г = 216 его сечения. Следовательно, один из вариантов постановки задачи оптимального проектирования ребра. изготавливаемого из выбранного материала, может быть таким: критерием оптимальности является максимум передаваемого через ребро теплового потока Щ а ограничением типа неравенства будет 216 < Рщ где Ро -- заданное значение площади. Параметрами оптимизации в этом случае являются / и 6. Поэтому необходимо установить связь этих параметров с величиной Д, т.е. построить целевую функцию.
Это потребует использования математической модели процесса передачи теплоты от стенки че- к у й у рез ребро охлаждающей среде. е .. е Если условия теплообмена с охлаждающей средой постоянны вдоль достаточ- . Л" но длинного ребра, то режим теплообмена будет установившимся во времени, а . 'Т' :0 температурное поле в ребре плоским, определяемым функцией Т(л,у), и б [О, 1], у Е [ — 6,6] (рис. Е7).
Известно [ХП], что К ЗАДАЧИ ОИТИМИЗАИИИ эта функция при Л = сопв1 удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа дзТ[х, у) дэТ(х., у) У,', ' — — О. + Вследствие симметричности сечения ребра относительно оси Ох можно рассматривать лишь половину этого сечения и задавать граничные условия в виде Т(Огу) =Тш Л ' / +оТ[1,у) =ЙТ,, уЕ [0,6); (1.9) дТ(х,у) ~ дх х=л дТ(х,у) ~ дТ(х,у) = О, Л ' +оТ[х,6) = оТ~, х б [0,1), (1.10) ду ус о ' дХ у=я где о и о коэффициенты теплообмена с охлаждающей средой на боковой поверхности ребра и на поверхности его торца соответственно.
Решение краевой задачи (1.8). (1.10), записанное в виде двойного ряда по ортогональной системе функций [1Х), может быть найдено одним из известных методов, например методом Фурье [ХП] или с помощью интегральных преобразований [ХЦ. После ее решения для теплового потока, передаваемого через ребро охлаждающей среде и равного тепловому потоку, проходящему через его основание, получим и =и~( — Л '" ) а„= — 2Л '" ~р (1Л1) дх х=в ( дх х.=О Рассмотренная математическая модель является достаточно сложной и не позволяет представить зависимость ~1 от параметров оптимизации 1 и 6 в удобном виде. Эту модель можно упростить, сохранив точность, достаточную для инженерных приложений.
Дело в том, что из соображений качественного характера при ограниченной площади Г = 216 сечония ребра целесообразно увеличить его высоту 1, чтобы увеличить площадь боковой поверхности. При этом ребро станет достаточно КЗ, Задачи оитииальиоео ироектироааиии Г (доТ(х, у) дтТ(х, у) Л о дзТ(х, у) дТ(х, у) дТ(х, у) ду+ дх~ ду и=а ду к=о о дотах,у) Т, — Т( ...6) дхо ду+ сх Л о Отсюда, полагая температурное поле в ребре одномерным, т.е. определяемым функцией Т(х), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) о'Т(х) Т, — Т(х,6) д~ +~ Л6 (1.12) При этом граничные условия (1.9) примут вид Т10) = То, Л, + етТ11) = сеТ,. (1.13) дТ(х) Но передачей теплоты с поверхности торца ребра чаще всего можно пренебречь по сравнению с передачей через боковую поверхность, т.е.
положить в (1.13) о = О. Это будет соответствовать идеально теплоизолированному торцу и приведет к несколько заниженной оценке для передаваемого через ребро теплового потока, для которого вместо (1.11) теперь получим дТ1х) дх =о (1.14) тонким и по его толщине 26 = Р,Ч ( Ро/1, т.е. в направлении оси Оу, температуру можно принять практически неизменной. Интегрируя (1.8) по у в пределах от 0 до 6 и учитывая (1.10), находим Ь ЗАДА ЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Краевая задача ~1.12), (1.13) при о = О имеет решение Т(х) =Т,+(Тс — Т„), т = ~/ —. сЬ (г-л) Г сЬ т1 Отсюда, используя (1.14), находим Я = 2Л6(Те — '7с)т / = 2ъ'оЛ6(Те — 'Гс) СЬ)~ — 6 вЬт(à — я) ~ Го сЬт1 ~*=о )/Л6 ' Таким образом, мы имеем пелевую функцию, зависящую от двух параметров оптимизации 1 и 6, и ограничение 266 < Гш Подставляя верхнюю оценку 1 = Ге/(26) для высоты ребра в целевую функцию, получаем функцию ф6) = 2 lоЛ66(Те — Т ) 1Ь— одного переменного 6.
Необходимое условие Я'(6) = О макси- мума этой функции дает трансцендентное уравнение которое при ~ > О имеет единственное решение ~, = 2,8384. Несложно проверить, что соответствующее этому решению значение р2 / р2 ЛД ' Л удовлетворяет достаточному условию максимума функции Я(6). Из ограничения получаем верхнюю оценку для оптимальной высоты ребра Г, 1,, ГЬЛ~Я „О24,ЯЛ 37 К4. Задачи оптимального планирования При этом отношение оптимальных значений высоты ребра к толщине примет вид 1а Л~С, а Л 4 ~~ ОЕ 1,0047 'О О а максимальное значение теплового потока— С,)„= ОЗй„) = 2 Г счз (То — Тя) СЬ вЂ” * = 1,2563 ъlооЛГо(ТΠ— Тс).
2 1.4. Задачи оптимального планирования Задачи математического программирования часто возникают в экономике, при планировании производственных процессов и количественной оценке альтернатив, связанных с принятием управленческих решений. Постановка этих задач обычно основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата.
Такой подход принято называть методом „затраты — — эффективность". Применение этого подхода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: либо максимизировать эффективность при ограниченных затратах, либо обеспечивать эффективность не ниже заданной при минимальных затратах. Таким образом, критерием оптимальности может быть количественное выражение затрат или эффективности. Рассмотрим несколько примеров такого подхода. Пример 1.11. Предположим, .что предприятие может выпускать продукция> п наименований, для производства которой требуется т, видов ресурсов (сырья, энергии, оборудования и т.п.). Обозначим через а; затраты 1-го вида ресурсов., 1 = = 1, т, на производство единицы продукции у-го наименования, у = 1, и, а через Ь; и и полные объемы располагаемых ресурсов и планируемые объемы выпуска продукции соответственно.
Если к тому же по каждому наименованию продукции заданы 1. ЗАДА'1И ОПТИМИЗАЦИИ нижняя а и верхняя А. границы объема выпуска продукции, то можно записать ограничения типа неравенства абхз <бг г=1,ш, аг <х. <А., 1=1,п. Е з=г Если эффективность производства продукции характеризовать суммарной выручкой от продажи продукции, то оптимальный план х = (хг, хз, ..., х„) выпуска продукции должен удовлетворять этим ограничениям и обеспечивать максимум целевой фрннгггги Я = ~~г д, х ., /'=1 где а цена единицы продукции 1-го наименования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
