XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (1081420), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Что такое градиент функции многих переменных, матрица Гессе? Запишите приращения дифференцируемой и дважды дифференцируемой функции, используя зти понятия. Сформулируйте теорему о неявной функции и теорему об обратной функции. [11) 20. Что такое производная функции многих переменных по направлению вектора и как она связана с градиентом функции.' Имеет ли дифференцируемая функция многих переменных производные по всем направлениям? Верно ли обратное? [У) 21.
Какие условия надо наложить на производную функции многих переменных по направлению, чтобы можно было утверждать, что: а) функция непрерывна; б) функция дифференцируема? Приведите примеры. [1?] 22. В чем различие между точкой экстремума и критической или стационарной точками скалярной функции ПРЕДИСЛОВИЕ многих переменных? Что называют строгим (нестрогим) локальным экстремумом такой функции? [Ч] 23. Сформулируйте необходимые условия экстремума скалярной функции многих переменных: а) с использованием частных производных функции; б) с использованием градиента функции.
[У] 24. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием: а) понятия знакоопределенности второго дифференциала функции: б) главньтх миноров матрицы Гессе; в) собственных чисел матрицы Гессе. Приведите примеры. [Ч] 25. Может ли линейная функция многих переменных достигать экстремума внутри замкнутой области? Может ли квадратичная функция многих переменных достигать экстремума внутри замкнутой области, .как найти точку экстремума? Приведите пример.
[Ъ ] 26. Что называют условным экстремумом функции многих переменных и уравнениями связи? Как найти точки условного экстремума? Что такое множители Лагранжа и функция Лагранжа? [У] 27. Напишите формулу Ньютона . Лейбница. [УЦ основные овознлчкния авив Ф аеА афВ (а,); АсВ начало и окончание доказательства окончание примера, замечания элемент а принадлежит множеству А 1-1.1 элемент а не принадлежит множеству В 1-1.1 множество из элементов аы аз, ..., аж 1-1.1 множество А является подмножеством множества В 1-1.2 множество натуральных чисел 1-1.2 множество целых чисел 1-1.3 множество действительных чисел 1-1.3 --. множество положительных действительных чисел 1.5 К, множество неотрицательных действительных чисел 1.5 Й" — (декартово) произведение н множеств действительных чисел или п-мерное евклидово арифметическое пространство 1-2.5, 1Ъ' (декартово) произведение н множеств Б положительных действительных чисел 1.5 К", (декартово) произведение н множеств К„неотрицательных действительных чисел 1.5 ~а, б) и (а, 5) — .
отрезок и интервал с концами в точках а и б 1-1.3 ~а, б), (а, Ь) полуинтервалы с концами в точках а и б 1-1.3 Ч и Л вЂ” квантор всеобщности (Чх — для любого х) и квантор существования (Лж существует л) 1-1.5 у: Х вЂ” ~ У отображение у множества Х в множество У 1-2. 1 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА НЕНИЯ Да), Дх) ~ — значение функции ~(х) в точке н 1-2.1 РЦ) и Л(~) — область определения и область значений функции у (х) 1-2.1 ~; аь — сумма п слагаемых ан о2, ..., ая 1-2.6 ь=1 Н П н — — произведение и сомножителей 1-2.6 т=.1 Й = 1, Х вЂ” число Й принимает посяедовательно все значения из множества натуральных чисел от 1 до Х включительно 1-2.6 функция знака числа х Е К 1-3.2 выл х длина (модуль) вектора х 111, 1Ч нулевой вектор из К" Ш., 1Ъ' — скалярное произведение векторов а и Ь 1Ъ' матрица,транспонированная к матрице А 111 Ф 0„ (а, Ь) Ат йатпХ диаметр ограниченного множества Х 1-5.2 ВХ вЂ” — граница множества Х 1-5.3 вцр~(х) и 1пГ ~(х) --- точная верхняя и точная нижняя грани хЕХ хек функции ~(х) на множестве Х 1-5.7 (х„) последовательность элементов х, 1-6.2 1пп хв ---- предел последовательности (х„,) при и — + со 1-6.3 1пп1'(х) предел функции ~(х) одного действительного переменного х в точке а (при х — ~ а) 1-7.1 Да + 0), ~ (а — 0) — предел справа и слева функции ~ (х) одного действительного переменного в точке а 1-7.2 )'(а),)'(х)~ - производная функции 1(х) одного действительного переменного в точке а П АВ и ~АВ~ отрозок, соединяющий точки А и В, и его длина 111 т х = (х1 ...
хв) -- вектор из К~ с координатами хм ...„х„ 1Ъ 13 ЕдА беВ А А ' — ранг матрицы А 1П вЂ” определитель матрицы А П1 — матрица, обратная к матрице А П1 -- единичная матрица порядка и П1 -- нулевая матрица размера га х п 1П 1„ От п ь ) Ди) сЬ вЂ” определенный интеграл от функции у (ж) по отроку ~а, Ь) Ъг1 ~(ж) — ~ шш, ж Е Й, задача минимизации функции Д.в) на множестве й 1.5 ~(х) — ~ шГ, .л б Й, -- задача нахождения точной нижней грани функции г" (а) на множестве й 1.5 и ) Ь, Ь < а каждая координата вектора а Е К" не меньше соответствующей координаты вектора Ь Е 11" 3.1 Ах < Ь --.
система из т, неравенств ~ и; и < Ь,, г' = 1,гп, 1=-1 определяемая матрицей А = (а„) размера т х п и т столбцом Ь = (Ь~ ... Ь„,) высоты п 3.1 ехр(л), ел - зкспоненциальнзя функция 3.2 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА НЕНИЛ Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „,йот" иногда говорят „жи'). Буквы греческого алфавита Начер- Произно- тание шение Начер- Произно- т ание шение Начер- Произно- тание шение йота альфа бета ро сигма каппа ламбда ми тау ипсилон фи хи гамма дельта эпсилон ни дзета эта кси омикрон пи пси тэта омега Наряду с указанным произношением также говорят,,лямб- А о В 99 Г 9 Ь д Х ~ НЛ О т90 ? ~ К ~г Л Л М д Х и О о П л Р р Е о Т т Т о хх Ф М Й ю 1.
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В своей жизни человек часто сталкивается с ситуацией, когда ему из некоторой совокупности возможных вариантов своего поведения или принятия решения в какой-либо области деятельности необходимо выбрать один вариант. Наилучший вариант поведения (принятие наилучшего решения) можно выбирать по-рвзному.
Если такой выбор предусматривает проведение количественного анализа ситуации путем сравнения различных вариантов с помощью какой-либо количественной оценки этих вариантов, то говорят о необходимости решения задачи оптпимизации (по латыни орйпшв — наилучший). .Ясно, что задача оптимизации имеет смысл, если есть несколько возможных вариантов ее решения. Эти варианты обычно называют альтпернатаив ами. По содержанию задачи оптимизации весьма разнообразны. Они могут быть связаны с проектированием технических устройств и технологических процессов, с распределением ограниченных ресурсов и планированием работы предприятий, наконец, с решением проблем, возникающих в повседневной жизни человека.
Всевозможные устройства, процессы и ситуации, применительно к которым предстоит решать задачу оптимизации, объединим общим названием объект оптпими- зации. В этой главе сформулированы некоторые основные определения и понятия, играющие важную роль в дальнейшем изложении материала, даны постановки известных и достаточно простых задач поиска экстремума из геометрии, алгебры и других разделов математики, приведены примеры прикладных задач оптимального проектирования и планирования,.
а также перечислены классы задач оптимизации. 1. ЗАДА'1И ОПТИЛ?ИЗАЦИИ 1.1. Основные понятия Обычно человек хо ьет сделать „как лучше", но, чтобы нс получить плохой результат при самых хороших намерениях., для решения задачи оптимизации нужно прежде всего найти ответы на следующие вопросы; — Что значит „лучше'? — Что конкретно нужно улучшить? — За счет чего можно добиться улучшения, что можно изменить? В каких пределах можно производить изменения? Отвечая на первый вопрос, необходимо сформулировать нригаерий опгпимаяьносгпи, т.е.
определить тс признаки и предпочтения, по которым следует провести сравнительную оценку альтернатив и выбрать среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации. Именно с этой точки зрения можно ответить на второй вопрос; что конкретно нужно улучшить'? Это может быть повышение производительности станка или срока службы технического устройства, снижение массы конструкции летательного аппарата или затрат на его производство и т.п. Для отвста на два последних вопроса необходимо располагать математической моделью объекта оптимизации. Эта модель описывает объект при помощи соотношений между величинами, характеризующими его свойства. Обычно хотя бы часть этих величин можно изменять в некоторых пределах, что и порождает множество альтернатив, среди которых и предстоит выбрать наилучшую. Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптпимизации, а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, — ограничениями.
Эти ограничения могут быть заданы в форме равенств или неравенств. Их называют соответственно ограничениями типа равенства или ограничениями типа нерва еноте а. 1,2. Некоторые простыо примеры Если множество параметров оптимизации является подмножеством конечномерного линейного пространства, то говорят о нонечномерной задаче оптимизации в отличие от бесконочномерных задач, которые рассматривают в вариационном исчислении и оптимальном управлении [ХУ). При этом критерием оптимальности может быть требование достижения наибольшего или наименьшего значения одной или несколькими действительными (скалярными) функциями параметров оптимизации, выражающими количественно меру достижения цели оптимизации рассматриваемого объекта. Каждую из таких функций принято называть целевой. Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называют задачей матпематичесноео проераммироеания, а в противном случае задачей многокритериальной (векторной) оптимизации ~ХХ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
