XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (1081420), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Л Л ЛЛ Равенство имеет место только при равенстве слагаемых, т.е. 1 з'у при — = 2«Лз, тогда Л„= ~~ —. Учитывая ограничение, полу- Л у '2~г чаем Н,= = ~/ — =2Л„, 7 зГ4Г пЛ2 т.е. высота оптимального бака равна его диаметру. При изготовлении одного бака нужно учитывать, что для заготовки круглого днища площадью пЛ придется взять квадратный лист площадью 4Л, причем после раскроя оставшуюся часть листа использовать будет практически невозможно.
Поэтому более обоснованно в качестве целевой минимизировать функцию Я = 2пЛН+ 8Л' при прежнем ограничении яЛ~Н = Ъ'. 25 1.Х Задачи оптимального проектирования Тогда в результате процедуры, аналогичной рассмотренной., получим Л, = — ъ'"к', У, = бъ' Гз, Й, = — Л,. Если предстоит изготовить крупную партию баков, то раскрой листовой стали при заготовке днищ можно провести более рационально, располагая соседние центры днищ в вершинах правильных треугольников со стороной 2Л. Тогда расход листа на каждое днище будет соответствовать п.лощади 2~сеЗЛэ правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса Л.
При этом следует минимизировать целевую функцию У = 2кЛН+ 4~ЛЛз при том же ограничении. В итоге получим Отметим, что при постановке задач оптимального проектирования важно, чтобы,маепематаическая лводе,ль объекта оптцдеиэации достаточно полно отражала именно те свойства объекта, улучшение которых является целью оптимизации. Разработка такой модели обычно требует использования сведений из соответствующих инженерных дисциплин или областей техники.
Пример 1.7. Из курса сопротивления материалов известно', что допустимая нагрузка, воспринимаемая прямолинейным стержнем, работающим на растяжение или сжатие (без потери устойчивости прямолинейной формы равновесия), пропорциональна площади Г его поперечного сечения. При сжатии стержень может потерять устойчивость, изгибаясь в некоторой плоскости. Сжимающая сила, вызывающая потерю устойчивости стержня, пропорциональна геометрическому моменту инерции 1 его сечения относительно центральной оси тела, перпендикулярной плоскости изгиба. От зна ~ения 1 также зависит прогиб стержня, изгибаемого в этой плоскости, но зависимость эта обратно пропорциональная.
Допустимая нагрузка *Смс Феодосьев В.И. 1. ЗАДА ЧИ ОПТИМИЗАЦИИ при изгибе стержня пропорциональна моменту сопротивления И' = 1/р,„его сечения, где р — расстояние до наиболее удаленной от центральной оси точки сечения. Эти сведения важны для выбора критерия оптимальности при проектировании отдельных элементов конструкций, воспринимающих нагрузку. Предположим, что из круглого бревна радиуса Л необходимо выпилить балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.
1.5) так, чтобы ее можно было наиболее эффективно использовать в строительной конструкции. Если балка будет использована в 2. качестве стойки, работающей на сжа- К тие без опасности потери устойчивости, то целесообразно максимизировать площадь Л ее сечения, выбрав ф его в виде квадрата со стороной Л~Г2, вписанного в окружность радиуса Л. Максимальное значение площади сеРис. 1.5 чения будет Р„= 2Л2 (см. пример 1.1). Таким же должно быть сечение стойки.
если возможна потеря ее устойчивости в любой плоскости, проходящей через ее ось. Действительно, нетрудно показать, что в этом случае момент инерции сечения относительно любой оси, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через его центр, постоянен и равен Т = Л4/3. Если же плоскость изгиба стойки при возможной потере устойчивости предопределена условиями ое крепления, то целесообразно выбрать такое отношение сторон прямоугольника, чтобы момент инерции сечения относительно его центральной оси, перпендикулярной этой плоскости, был максимальным.
Обозначим через 6 ширину сечения вдоль этой оси, а через 6 его высоту (см. рис. 1.5). Тогда получим ~УЦ 27 1.3. Задачи оптимального проектиронания Но стороны прямоугольника должны удовлетворять ограничению оя+ 62 < 4Л2. Таким образом, приходим к задаче неяинейнозо проераммироеания 663 1= +шах: 12 !Р+6~<4Л2, 6>0, 6>0. Несложно установить, что максимальное значение 1, = — ь'3Л4 1 4 будет достигнуто при оптимальных высоте 6„= ЛЛ и ширине 6„= Л сечения балки. Такое же поперечное сечение балки следует выбрать, если она нагружена в рассматриваемой плоскости изгибающей нагрузкой.
При таком выборе жесткость балки будет максимальной, а ее прогиб минимальным. Поскольку для рассматриваемого прямоугольного сечения балки у~ = 6/2, то для момента сопротивления получим И' = 1/уп, = 662/б. В данном случае задача нелинейного программирования принимает вид аз+62 <4Л2 6>0 6>0. Ее решением будет И; = Л, 6.
= Л = ъ'26.. 8 3 2ъ2 9ъ'3 ч'3 Пример 1.8. Из курса физики и термодинамики известно, что работа, затрачиваемая в компрессоре на сжатие 1 кг воздуха от на чального давления ре до давления р > ро, равна (1.8) где З -- козффициент, характеризующий процесс сжатия (при адиабатическом процессе для воздуха 7 = 1,4); Л газовая постоянная воздуха; То — — его температура до сжатия. Чтобы 28 1. ЗАДА ЧИ ОПХИМИЗАЦИИ А, = (( ) ' †) = (; — г), а работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия, 'угхТе г~ ( 1 ) Так как число гв ступеней задано, то минимизируемукг целевую функцию можно представить в виде А 11.6) г=1 где Ае = уКТе(1 у — 1).
Правая часть этого равенства является сРеДним аРифметическим неизвестных чисел ен = гг,;, 1 = = 1, т. Геометрическое среднее этих чисел равно П( Рг ) ту (Р) гггг г=1 т т — ! 'ГХ ту о102...оги = 11гг уменьшить затрачиваемую работу в случае высокой степени сжатия гг = р/ре, проектируют многоступенчатые компрессорные установки, состоящие из нескольких последовательно соединенных компрессоров 1ступеней) с промежуточными холодильными устройствами между ступенями, в которых охлаждают воздух, нагревшийся при сжатии.
Пусть требуется спроектировать компрессорную установку из т ступеней в предположении, что воздух, поступающий в г-ю ступень, г = 1, тг охлажден до одинаковой температуры Тд и имеет давление р, 1, равное давлению на выходе из предыдущей ступени. Необходимо при заданной общей степени сжатия гс так выбрать степени сжатия отдельных ступенеи ггг =ргь/рг г = 1, п1, р = р, чтобы работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия воздуха, была минимальной.
В соответствии с 11.5) работа, затрачиваемая на сжатие в г-й ступени, равна 29 1Л Задачи оптимального проектирования Используя неравенство между геометрическим и арифметиче- ским средними (см. пример 1.3), получаем т — 1 ) дт гв'у Отсюда следует, что наименьшее значение работы при заданной степени ье сжатия 1 кг воздуха в т-ступенчатой компрессорной установке равно А„= А, ( — 1) (( — ) — 1) и может быть достигнуто лишь при равенстве всех слагаемых в правой части (1.6), т.е. при ае = сопй, г = 1, т,. Это возможно только при выборе одинаковой для всех ступеней степени , 1ьт сжатия, равной дт = де11'" = ( — '"' ) . Таким образом, затрачи' Ре ваемая работа минимальна, если значения давлений на выходе из ступеней образуют геометрическую прогрессию со знамена- тЕЛЕМ ДЕ: Р1 = ДтРСо РЧ = ХР1 И т.Д. ф Некоторые параметры оптимизации могут принимать лишь дискретные значения (например, целочисленные).
В этом случае дифференцирование по таким параметрам при поиске экстремума целевой функции носит условный характер. После формального нахождения точки экстремума в предположении непрерывного изменения этих параметров для них следует принять ближайшие к найденным дискретные значения. Ясно, что это повлияет на экстремальное значение цеаевой функции. Пример 1.9. Пусть требуется соединить чч' одинаковых источников постоянного электрического тока в батарею таким образом, чтобы батарея имела наибольшую электрическую мощность, выделяемую на внешней нагрузке с сопротивлением Л. Предполагается, что каждый источник имеет электродвижущую силу К и внутреннее сопротивление г.
ЗО Е ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Если эти источники соединить последовательно, то получим батарею с электродвижущей силой Ж.Е и внутренним сопротивлением Д7т. Тогда при подключении внешней нагрузки ХЕ сила тока,71 = ', а передаваемая мощность И'1 —— ,Тзй= Хг -> Е' Л' Е Л ,.
При параллельном соединении получим батарею с (мг + л)" электродвижущей силой Ь' и внутренним сопротивлением т(Д7. В этом случае при подключении внешней нагрузки имеем 7з = Е ХЕ «Я 2 Е ~ Я и и И"2= х, В ча нем ыу1аег=д г7Е-ЬП с-~-ХЛ (т-~МИ)~ обе батареи дадут одинаковый результат, но при г ( Л получим И'э ( И'м и наоборот (естественно, считая,что Х > 1). Можно использовать комбинированную схему соединения источников тока. Предположим, что Х допустимо изменять так, чтобы для некоторого натурального числа п число Х/н также было натуральным и больше единицы. Тогда можно параллельно соединить г7(п ветвей, каждая из которых будет состоять из п последовательно соединенных источников тока и иметь злектродвижущую силу пЕ и внутреннее сопротивление 2 п~ пг пг.
Внутреннее сопротивление такой батареи равно Х/п Х' а злсктродвижущая сила равна п. При подключении внешней аЕ нагрузки сила тока составит 7 =,, а передаваемая мощность будет равна з (пЖЕ) В (пзг+ Х77)з Фиксируя Х и предполагая, что о изменяется непрерывно, попытаемся найти максимум передаваемой мощности. Если точка п, максимума существует, то в ней достигает максимума и сила тока, которую представим функцией ,7(п)— (1.7) одного переменного п.
Из необходимого условия У(п) = О максимума этой функции получаем при п > О ее единственную ЕХ Задачи оптимального проектирования стационарную точку п„ = ч,ГМЙ/г. Проверка достаточного условия показывает, что, действительно, ц„ — точка локального максимума функции 7(п). Этой точке соответствуют максимальные значения Е ДгЕ2 2~— Сравним снау тока батарей в зависимости от способа соединения источников тока. Сначала рассмотрим случай ч = Л. При этом п „= ъ' Х, .7.
= — ъ' Х и 11 =,7з = 2В ВП -~- 1/х) В Наименьшее значение Х, при котором имеет смысл комбинированная схема соединения, равно 4. Тогда и. = 2 (две параллельные ветви по два последовательно соединенных источника тока) и 7, = Е/Л > 7Н). Следующее значение М,.
позволяющее осуществить комбинированное соединение, равно 6 (три ветви по два источника или две ветви по три источника), но формальное вычисление дает для и„ иррациональное число между натуральными числами 2 и 3. Если принять в = 2 или и = 3, то из (1.7) получим,7 = — — > /~а~. При Я = 8 формальное вычиб Е 5 Л слепне п„также приведет к иррациональному числу, но в этом случае имеют смысл значения п = 2 или а = 4, для которых из (1.7) найдем 7 = — — > 7~ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
