3 часть (1081356), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Агссбг = — -1п, АгсГ — = Ьг+ — (п2, !г 6 К. 2 1 — гв 3 2 13.72. АгвЬв = Ьп(з+ ~/ге+ 1), АгвЬ| = 29+ — ~ яг', А 6 К. 11 13.73. АгсЬз = Ьп(з+ тг'зт — 1), АгсЬ( — 1) = (21+ 1)яг, Ь Е К. 1 1+в 1 г / 1г 13.74. АгчЬз = -Ьп —, АггЬ(1 — и) = — )п5+ — агссц2+ ( !г+ -) яг', 2 1 — з' 4 2 2) 4 Зя Й 6 К. 13.75.
!ш! = —, агбю = —. 13.76. (ш! = ят, агбго = О. 3' 2 1 ет 13.77. )ю) = -(3+ сов!п4), агцю = О. 13.78. !и! = ГЬ1 = 2 от+1 агбю = О. 13.79. (сов)п2+ггбп)п2)е ~"', п 6 К. 13.80. е!~"+О", Ь 6 К 13.81. е( ')" 1 сов — +1гйп — ), )г 6 К. 13.82. е'гз!з"+г!"', /с 6 К. „ / )п2, )п21 2 2)' 13.83. 5е"югвз'гзь' сов 1п5 — агсвб- +гь4п (п5 — агсГВ-, Й 6 К. 13.84. -5е"""в в г<вььй' (сов ~)п5 — агсСВ-) + гейл ~)п5 — асс!8- ) Й б К. 13.85.
е 4 О+вь! !г 6 К. 13.86. е5!гч гтв! — + —, Й 6 К. 2 2/' 13.8Т. в = 1( — +2Ьг), !г 6 К. 13.88. х = О. 13.89. г = 1+ г. г2 13.90. в = я+2)гя, )г 6 К. 13.91. у(в) иепрерьгвив в Р, если Че > О Чг Е Р Бб = б(е, з) > О (((г5з! < б Л в+ Ьг 6 Р) =~ ),((з+ Ьв) — )(з)! < е). 13.92. — 21. 13.93.1. 13.94. со. 13.95.0. 13.100. Г"(0) = О. 13.101. Г"(О) = = О. 13.102. У'(О) = О. 13.103. !пп г(в) не существует.
13.105. Не ч — ~о г5з дифференцируема ни в одной точке. Указание, (!пг — не суше- а.-~о Ав ствует. 13.106. Не дифференцируема ни в одной точке. Указание. При г3х, 1 Ау = !гЬх имеем !пп = )нп,, т.е, предел не суще- а: — о Ьх+ гор а*-ю 1+ г!г' ствует. 13.107. Дифференцируема только в точке в = О. 13.108. Дифференцируема только в точке г = О. 13.109. Не дифференцируема ни )в + гвг! — !в! , )гвв! в одной точке, в В точке з = 0 !нп !пп — — не о~ — ~о газ ал — ~о г.'гз существует.
Если же г ф О, то, обозначая !з! = г, Аг = Аре'~, имеем Ответы и указания 500 )я + Ьх! — )х) — при!о=Он г сюда найдем !пп Ьр-+о при ~р = —. Таким обра- !Ьр сдр-+о !2 + сто) = )х( зом, !цц не существует. !> ' лл->о Ьх 13.110. Дифференцируема только в точке х = 1. 13.111. Указание. Использовать правила дифференцирования сложной функции двух переменных и(х, у) = и(гсов р, ге!пф, о(х, у) = и(г соз р, ге!яр) и услоди ди дх ди ду дв до , де вия (1): д — д д + д д д совр — — а1пр и де .
ди ди 1 ди = — — тгйп~р+ — тсовр, т.е. — = — —. Аналогично проверядх ду ' ' дг г др' ется второе из равенств (2). Для получения равенств (4) следует выди до дт дт разить — и — через производные по т и ~р, производные — , — , дх дх дх' ду' д~р др 2 2 — у †, — получить из равенств т = Хух~ + ут, !о = агссд — и подставить дх' ду х найденные выражения в (3).
13.112. (ез')' = Зез'. 13.113. (зов)' = = сож 13.114. (г")' = я»" ' (кроме точки х = 0 при отрицательных 2 l и). 13.115. (сова)' = — гйпх. 13.116. ()п(ет))' = —. 13.117. ~в!и-) — 3 1 е = — соз —. 13.116. У к а з а н и е. Воспользоваться условиями Коши-Ри- 3 3 1! мана. 13.121. Вся плоскость, кроме точек г = А + -) х, (с Е У; 2) 1 (сд г)' = —,. 13.122. Вся плоскость; у'(г) = е '(1 — х).
13.123. Вся соет г (1 — х ) сов е — «(1 + х ) в!и е плоскость, кроме точек х1 т = хг; у'(в)— (! ! вт)2 2е' 13.124. Вся плоскость, кроме точек г, = 2хих, и е У; ('(х) =— (ет — 1)т ' Ответы и указания 501 Я' 13Л25. Вся плоскость, кроме точек с„= — и, и б У; /'(з) = сов2г. е'(г — 1) 13.126. Вся плоскость, кроме точки з = 0; /'(г) = . 13.127.
Вся зг 1 плоскость, кроме точен гь = яйся, !с Е Ж; /'(г) = — —. 13.128. Вся з)г~ г 1! 1 плоскость, кроме точек гь = 6+ -/! я, Й Е К; /'(с) = 1 — в!п2г дги 1ди 1 дги 13.130. Ьи = — + — — + — —. 13.131..Ьи зв О, ю(х, у) = Зхгу-уз + дгг г дг гг д~рг + С, /(г) = (х + гу)з + Сг = эз + Сг.13.132. Ьо = О, и(х, у) = = 2е*созу+ С, /(з) = 2е*(сову+ гз!пу) + С = 2е*+ С. 13.133. Ьи = :— О, ю(х, у) = — хг + уг + С, /(з) = — г(хг — уг + 21ху) + 3 + Сг = 1 — — !гг + 3 + Сг. 13.134.
Ьо = О, и(х, у) = — !и (хг + уг) + С, /(г) = — !п(х + у ) +!агс!8 — + С = )п(г(+ гаг8в+ С = !пг+ С. г г 2 х 13.135. Ьи = О, ю(х, у) = — +2х+С, /(г) = — 2у+21х + у х — гу хг ! уг хг .! уг 1 — г + Сг = — + 2гв + С1. 13.136. Ьи в— в О, о(х, у) = — -(хг — уг) + 2 г 1 г . 2 †2ху + С, /(г) = гг — -гг + С1 = — гг + Сг. 13.137. Ью = О, 2 2 г г 1 г и(х, у) = -(хг — уг) + С, /(г) = -гг + С. 13.138.
й = 4, р = л/4. 13.139. /с = 2, р = л/2. 13.140. й = б, чг = я/2. 13.141. й = 3, Чг = О. 13.142. )с = 1, р = О. 13.143. й = 2, р = я/2. 13.144. Сжимается область (г! > 1, а растягивается область )г! < 1. 13.145. Сжимается полуплоскость Иег < 1, а растягивается полуплоскость Вез > 1. 13.146. Сжимается область (г+1! > 1, а растягивается область (г+1! < 1.
13.147. Сжимается внутренность круга )г + 1! < 1/2, а растягивается внешность этого круга. 13.148. )х — Ц = 1/2. 13.149. э — — = 1/2. 2 13.150. )г+ г! = ~/2. 13.151. (г! = 1/~ 3. 13.152. (г(1т (1 — !)г = О), т. е. прямая у = х. 13.153. (г)1ш(1+1)(!+г) = О), т.е. прямая х+у+1 = О. — г Зя Указание. Использовать равенствоагб, = — — 2агб(1+ г) = О (!+ ) 2 Зя и соотношение — — = агб( — 1 — г).
13.154. Луч О < х < +ос у = — 1/2. 4 13Л55, Луч 1 < х < +со, у = О. 13.156. Отображение конформно. 13.157. Отображение не конформно. 13.158. Отображение конформно. Ответы и указания 502 13.159. Отобраясение конформно. 13.169. Отображение не конформно. 13.162. 2о = — 1, а = О, гс = 2. 13.163. 2о = 2(1 + г), а = 1 я гг Ус = 1. 13.164.
2о —— — — — — ст8 —, а = —, 9 = 1. 13.165. При 2 2 8' 4' Ь о ф 1 2о — — —, а = агба, Ь = Са~. 13.166. Прямая и = — 3. 1 — о 13.167. Прямая и — 2и = О. 13.168. Окружность 552 + из — и — и = О. ,2 — С 13.169. Окружность и + г3~ + 2и + 2и + 1 = О. 13.171. в = 3 2 — 1 (с'+ 1)2 — с (5 — Зс)2 — 4 13.1Т2. в = 13.173. в = 13.1Т4.
2сд = 4* — 5 — 34 — 4 5 С вЂ” 43' 4 45. , *, = а 5 С вЂ” 43' 4 45 = 5. 5 2с удаленная точка является неподвижной только при с = О, т.е. для ли- 1 нейной функции. 131Т5. а) -(1+ 5); б) 4+ с. Указание. Точка 1+ 3 1+ 2г и центр круга с лежат на прямой у = 1. 13.1Т6. а) в! 81 — 2г 1 д б) ю) .= .
13177. а = —, д = гг. 13178. а = О, д = — —. 65 2' ' 2 Зп Зя 13.179. а = 2о д = —. 13.181. а = 5 0 = О. 13.182. а = 2г 0 = —. 2 ' 2 13.183. а = 2о, 0 = и. 13.184. Е = (вССю( < 1, 1тю < О) (нижняя гг1 1 с с/2 полуокружность). 13.185. Е = в в — ~ — — -3( ) —, 1шю < О с2 23) 2' (рис. 47). Указание. Луч О < х < +ос преобразуется во внешность в М Рис. 47 отрезка О < и < 1, причем точки верхней полуплоскости (2) отображаются в точки нижней полуплоскости (в). Прямая р — х = О отобра- 1+5 1 — г жается в окружность юю — в+ ю = О, т.е.
в окружность 2 2 /1 1Л ~/2 1 1, в — ~ — — -г( = — с центром в точке сео = — — -5'. 13.186. Е = с2 2( 2 2 2 Ответы и указания 503 Рис. 48 3 2 — < и < 2, а прямая у = х — в прямую и+о = 1 (рис. 48). 13.187. Е = 1 1 3 11 = (ю~1шю > О, Нею > О). 13.188. Е = ю~ ю — — < —, ю — — > -~.
2 2' 4 4) ( ! 4 < агдю < — 1. 41 г + < 1 — г' ) 1 — г' з < 1/2) И при г<1, 13.190 Р = (з/Не при г= 1, < гт г 4 з — > — при г >1. гт — 1 гз — 1) З Поскольку (ю) < г, то из соотношения ю(1 — з) = з получаем (з! < < г~1 — з~. Возводя обе части этого неравенства в квадрат, запишем по- лученное неравенство в виде зг < гт(1 — з)(1 — Г), откупа получаем (г~.— 1)гз — гз(з — г) + г~ > О. Если г < 1, то из (*) имеем аз+ (а+Т) < гз гг' (*е) гт / гз 'г / гз ~ гз Но зГ+ (а+а) = (з+ — ) (з+ ) — . Далее, 1 — гт ~, 1 — гл ) ~, 1 гз ) (1 — гз)' .4 г' г' таккак, + =,тоиз(*а)получаем з+ — < (1 — гз)з 1 — гт (1 — гт)з 1 — гт 1 т ю — < ри — Ц < 1, — — < агб(и1 — 1) < 0 .
Указание. Окружность )г) = 1 отображается в окружность )ю — 1! = 1, окружность (з! = 1 = 2 — в окружность )ю — 1~ = —, отрезок 1 < х < 2 — в отрезок 2' Ответы и указания 504 (причем выбирается та ветвь, которая точку круга Ц < 1). Указание. вг 2 3 4 г = 0 переводит во внутренность 1 / 11 Зиг — 1 = — ~г+ -), иг = ~ из 2~, 2)' 3 г з 2 г < ), т. е. Р = 2~ 2+ < — (внутреиность круга), ~1 гг) ' ' ' ( 1 тг 1 — тг! г2 гг Аналогично в случае г > 1 найдем 22 — (г + 2) > —, т.е. г2 — 1 — 1' гг тз гг тг 2 — — ~ >, — — . Следовательно, Р = гг — 1 ~ (тг — 1)2 гг — 1 (т2 — 1)2 т т — > (внешность круга).
Наконец, если г = 1, тг — 1 г' — 11 1) то из (*) получаем г+ г < 1, т.е. Р = а~Нег < -3 (полуплос,,„)з,,/3 ', „3 кость). ~> 13.191. и2 =— — — — 2 —, 22 — — — +2 —. (2 — гг)з' 2 2 ' 2 2 (гг+ 1~ г + 1т ~,2 тг 13.192. и = ет гэ. 13.193. и = — ) . 13.194. и = — ~ 32 — 1 г — 1 / 4+16~2 / 2/3+ Яз 13.195.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
