3 часть (1081356), страница 75
Текст из файла (страница 75)
14.139. 2 я!и С. 14.140. сЬ 2С вЂ” — зЬ 2С. 14.141. е . 1 2 1 Г(1-а) С +д-' 14.142. сЬ С. 14.143. —. 14.144.. 14.145. з(х, у) = 1 =усоях+ха(пх. 14146. л(х, у) = — ~~~ зЬа(х — С)1(С)гСС. о 512 Ответы и указания Еьс с граничными условиями сс(С) Ф Сс(0 Р) = Ссс(Р) = |г | с„сг' . Исключая сСг(С(х, Р) С(х, Р) из первого уравнения и считая р паралсетром, находим = ЬСРг!с(х, Р). Отсюда (с(х, р) = А(р)е«'Гсд*+В(р)е «'"с*. Изфизических соображений следует, что при х — с +со решение (С(х, р) ограничено, а потому при Пер > 0 коэффициент при первом слагаемом должен Еьс быть равен нулю, т.е.
А(Р) = О. Далее, из условия (С(0, р) = ,, г + „,г — ьс* 1 следует, что Сс(х, р) = е «'сьс*, а тогда Г(х, Р) = — — х Рг+ сг ВР д(С(х, Р) /С Еьс х е «~~~*. Применяя теорему запаздывания, дх Ч С.рг+ьсг находим отсюда искомое решение. С> 14.145. и(х, С) = Ее "'С"~*(«С(С вЂ” х ПС) — сС(С вЂ” х|с'С С вЂ” т)); с(х, С) = С /дг | уг — Ее "'~ьс*(«С(С вЂ” х|IХС) — (С вЂ” х ЯС вЂ” т)).
14.149. !и 1 ГГ'(Р+ 1) 14.150. — ~ — (пес . Указание. Использовать решение сс«+с ( Г(Р + 1) сг 1 Ст Гт задачи 14.67. 14.151. -е '*'. 14.152. -)/ —. 14.153. ( — (|Гд — тсса). 2 2)/ С '(/од 14154 |Г2т(с)ст — |Гд). 14.155. ~х~;Д3 — |Гсс). Указание.
В ааданном интеграле предварительно положить хг = и. 14.156. 2. <г Имеем Р Г е ' =' С э)с —; Сс = 1. Поэтому по формуле (9) В = /, С х Рг о 1 Г + х вЬ вЂ” с!С= - / Се гсСС= — (Се +2е г)! =2. С> 2 2,/ о о 3 9 1 1 1 14.157. -т. з агссд — = агссд — агссд . Но агссб —,=' 4 иг и — 1 и+1 р ' а|пС 1,апС 1,эп|С Ф вЂ”, агссп — сне ' —, агссп — Ф е' — (по теореме омер+1' С ' р-1 С 2 е' — е' шенин). Следовательно, агссп — ы Г(С) = сбпС; й = 1. Поэта„|э с Г е с е' — е с Г1+е му по формуле (9) 5 = / э|пСССС = / эш С|!С. / 1 — е-с С ! С о о Ответы и указания 513 е 'япх 1 — 2е-ссовх+е гс 1 — =' г!(Г) = Г(Г), Г!(Г) = 1 при Г > О.
Находим по формуле (10): р' Т Е ГГГГ (е ' — совх)г+яп х о + 00 е Гв(пхй Т(х) = = ядх 2е-Г сов х + е-гс о + 00 е — сов х = — асс!5 0 1 — сов х агсгд( — сг5х) + асс!5 внг х з и, так как — агсг5( — с!5 х) = агсг5(сг5х) = — — х, 2 1 — совх Г хх х агс15, = агсс5 (15-г! = —, в!их ( 2Г' 2' > 14.163.
— ! и (~св — !) . Указание. 2 7Г Х 7à — Х то Т(х) = — — х+ — = 2 2 2 Использовать разложение 1+ гсовх 1+ 2!совх+ — ~( — 1) 1 сових, =о 1+е' 1 1 Но япс,=' агсс5 — + агс15 — = т(р), т'(О) = агсГ5(+ос) + 1 ' р р+1 .~-00 3 Г1+е ' + агсг51 = -л. Следовательно, по формуле (6) / в)ивам = 4 ,! 3 1 2р+1 1 = -я. Г> 14.158. —. Указание. 4 2 (рг + 1)(рг + 2р + 2) рг + 1 1 х 3 1 — 14.159. —.
Указание. агсг5 г = агс15 —— рг+2р+2 2 пг+ 3п+ 1 и 1 — агсг5; см. решение задачи 14.157. 14.160. агсг5х. Указание. и+3 х Положить Ф(Г, х) = 14.161. агсяпх. Указание. Положить 1 + хгс' Ф(Г, х) = . 14.162.. 0 Используем производяшую функ- ~/1 — хгГ 2 8в!пх пню Ф(Г, х) = = г С" яппх. Имеем 1 — 21 сов х+ 1г ~7 ° Ответы и указания 514 гг 1 й, 1,( Ее гпхТ 1 — — С) при — = —; Ее гпх1 сЬ вЂ” х 2йй! ) йг 4йг ' й й ' ' ' й' | й' 2Л ЗС 1 2ййС 4йСйг 2йЛС )) ' Е 14.171., Сйог и'+ЛзшвгС вЂ” йвгсозогС). 14172.
— х Лг+йг,,г ~ Л г 'д х е еп ~С вЂ” — ). 14.1ТЗ. ,Х С~ Е в, г 2 е с 2С вЂ” С вЂ” х 2) 1 Лг 1 дг С 4й дг 4 г1 1 Лг х яп — — — С+ яп йС 4Сг 1 Лг 2 йС 4йг / йС 4йг 14.1Т4. ед(ед — е созд) 14.175. ед(ед — а созг7) егд — 2ед+д созСТ+ ега егд — 2аед созСТ + аг 14 1Т6 14 177 14 178 У а (ед ео)г ' (ед — а)з (ед — 1)"+' 1+ С сов х Š— ио положив Ф(С, х) = 1— 14.164. е — ои', 1+2Ссозх+Сг Л Ег вз Š— ио,. 1 Л 14.166.
— ~1 — е х'). 14.166. е 'яп й йС 4йг йС 4йг Х """ йС 4йг 4йг йС Л 1 Лг х з)г — — — С при — ( —. 14.167. Ее 'лз1 г соз — х 4йг йС йС 4йг ~ йг й, 1 й, 1 '1 й, х — — — С— зш — — — — С при — ) —; йг 4Лг йс 1 йг йг 4йг ) йг 4йг' 2Л Ответы и указания 515 в1п)3п 3 е» яп)3 г(г) 3 ед вгп (3 г(г) и ' з' е»д — 2ед сов(3+ 1 3 гг(ед — сов)3)» + ед — сов)3 = агсгб яп (3 яп )3 яп = згсгб ед — сов)3 с ед — сов)3 »г ед — сов)3 в!п(3 ) так как агс(8, = — — агс(6 = агс(6 яп)3 2 япД ед — сов)3(' д 1 1 1 2"-'(3+ (-1)"-в) — 1»-з 14.181. Дп) = — -1" + -2" + — (-2)"— 3 4 12 3 пл и+1 Зп+ 1 14.182.
3(п) = яп — сов к. 14.183. г" (и) = (~/2)"+1 сов »г. 2 4 4 Указание. Использовать формулыдля изображения функций а" яп)3п (»-~-1) и а" сов)3п (пример 3 и задача 14.175). 14.184. = С,',+'. (г+ 1)! 2 14.185. (яп)3 — 2" 'вшп(3+ 2" яп(п — 1)(3) при и > 1, 5 — 4 сов)3 п(п» вЂ” 1) 14.186.. У к а з а н и е. Использовать формулу умножения изо- 30 1+ АЗ 2 бражений. 14.187. — .
14.188.. 14.189. х„= 2 Р— (1гЗ+ 1 1 — (+ (» = -(5"+' + ( — 2)" г'). 14,190. х„= — вш 1 „ 1 „ , 2 , 2(п + 1)дг 14.191. х„= (и+ 1)л = яп 6 14.192. х„ = (2хо — х1)1" + (х1 — хо)2" = С1 + С . 2". 14.193. х„ = 2" — (и + 1). 14.194. х„ = (х1 — 2хо — 2)3" + (1 — х1 + + Зхо)2" + 4" = С1 3" + Св 2" + 4". 14.195. х„ = (-1)" + 2" + 3", уе = 2( — 1)" — 2" — 3". 14.196.
хе = 2" + 3" = 5 5 = С1 2~+С» 3 = 2" + 3 = — С1 2 + +С» "З~+ 5 5 (тл-~-1)д (пь»-1)д з а н и е. По свойству 3, а). 14.179., при тп ( й; (ед — 1)1+' (ед — 1)" т' п| — 1 — Сге( ")» при т > Е Указание. По свойству 3, 6). »=1 яп (3 14.180. агс(6 . < Применяем формулу интегрирования изобраед — сов)3 женил (свойство 5, б)): Ответы и указания 516 Глава 15 15.4. У(х) = ех — 2х — 2ху(Г) й. 15,5.
У(х) = 2х — 9+ (2 — х + Г) х о г йи — 1 Йп-2 ° ° ° У(1) й = (Х вЂ” !) У(1) й. 1 х х 15.10. У(х) = х+гг+ гя!пу(С)й. 15.11. У(х) = х — х+1+ у (1) й. х 1 хг 15.12 У1(х) = 1 + уг(1) й, уг(х) = +2+ у21(г) й ° 15 13 уг(х) = а о — 3+ Уг(С) й, Уг(х) = 1+ Уз(Г) Й, Уз(х) = — 1+ — Уг(Г)й. 2,/ о о о 15.14. У1 (х) = 1 + уг(С) й, о + Су~~(1) й — уг~(С) Й.
15.15. У(х) = ех(х + 1). 15.16. У(х) о о х 2 1 1 = е' 12. 15.17. У(х) = + хагсгбх — — !п(1+ хг). 15.18. У(х) = 1+хг ' 2 = сояхе <*+21"*!. 15.19. У(х) = 2ех — 2гоях+ 52!пх. 15.20. У(х) = — е *. 15.21. У(х) = —, ех+Зсоях+ЗеЗпх — 4е *1 соя — х — х г 6( 2 ) -х 2 15.22.
У(х) = 1. 15.23. У(х) = хсЬХ. 15.24. У(х) = -ех + — е хгг х 4 4 х х2 Уг(х) = Уз(г) й, Уз(х) = — + о х у(1) Й. 15 6. У(х) = ех(х — 1) — гбпх+х+ (я!пх — ех(х — Г))у(1)й. о 2 х 15.7. У(х) = е' — х — — / х(х — 1)~у(Г)й. 15.8. У(х) = — — х— 6 о (х — 'С)з '! — х — à — ! У(Г)й. 159.Указание.
Воспальзоватьсифор- 6 о мулай Ответы и указания 517 1, л/7 >/7 х — яп — х+Зсов — х . 15.25. у(х) = е*. 15.26. у(х) = х. ~ л/7 2 хгв-~.1 15.27. у(х) = 1. 15.28. у(х) = 1+ха~1 = 1+хе* >г / е 1 >г 1!1, (2й+ 1)П в=о е 2 ви1 15.29. у(х) = е 2 . 15.30. у(х) = е +' . 15.31. у(х) = япх. 15.32. у(х) = = сЬ х. 15.33. у(х) = (2е)*. 15.34. у(х) = (1 + хг)е 1*. 15.35.
у (х) = 3 т 2 — — — 15.36. уг(х) = х+ хсовх — япх. 15.37. уг(х) = 1 — е т. 3 63 *г-р з,з ,з,з 15.38. ел!1 — *> 15.39. >ел* г 15.40. хгел г' 15.41. хмел' з 15.42. хвгел — '„" 15.43. е!л>1>!*-1> 15.44. 2'ь* 'ь1ел1*-1> 15 45 + * ел! — 1> 15 46 ел>*-1> 15 47 тел>* — 1> 1+гг хг — х+ 1 сЬ1 ,г в 1„1 2 15.50. е гт. 15.51. хе 1 . 15.52. -ег' — — совх+ — в!пх. 15.53.
е*с>гх. 5 5 5 15.54.. 15.55. е'(х — 1) + 1. 15.56. сЬ х — 1. 15.57. ег* — е'. 1+ хг ,/ЗЗ 15.58. — '- е*1гяп — х. 15.59. 2е* — х — 1. 15.60.2япх — х. 15.61. у(х) = ',Гз 2 1, 2 ., 1'л/3 и! 1„, 1 4 = -е* — -е г яп — х+ — . 15.62. -ег*(2х+ 3) + —. 15.63. —— 3 3 ~2 6) 4 4 3 1 — — сов>ГЗх. 15.64. 1. 15.67.
2 — е '. 15.68. сЬх+ совх. 15.69. е ' х 3 . / л/5 ') л/2 х 1+ — ). 15.70. -е г 1+4сЬ вЂ” х . 15.71. 2 — сов — х + 2) 5 ~ 2 ) 2 Л + л/2в!п — х. 15.72. у1(х) = 1 — 2совх, уг(х) = 2вшх. 15.73. у1(х) = 3 6 1 1 1 „ = — — -х — — е*(З сов 2х — 4 яп 2х), уг(х) = — — + -е*(сов 2х+ 2 в!п 2х). 25 5 25 5 5 ., 1' л/3 1 л/3 ') 15.74. у1(х) = х+е * — е'1г сов — х — — яп — х, уг(х) = -е * + 2 л/3 2 /' 2,, л/3 + — е*~г в>п — х.
15.75. у1(х) = (х+2) в>их+(2х+1) сов х, уг(х) = л/3 2 = — ~ — +х) вшх+ ~-х+1 совх. 15.76. у1(х) =2япх, уг(х) = 12 ) >2 .г = 2совх — 1, уз(х) = х. 15.78. е*. 15.79. х — —. 15.80. 1 — х!пЗ. 2 , /1 15.81. 1. 15.82. х. 15.83. 3. 15.84. Решения нет. 15.85. е ' ( — — в!их >,2 518 Ответы и указания 15.86.
хе* . 15.8Т. 3(2х — 1). 15.88. сЬ х. 15.89. хг б + — хг 2 гх 15.90. 2япх. 15.91. 2совх — 1. 15.92. Решения нет. 15.93. -(ег* — 1). 2 г 15 15 94. е* 1+ -хг). 15 95.1. 15 96.1. 15 9Т. — х. У и а а анис. Восполь- 2 ) 4 2 зоваться формулой Г(в+1) = гГ(г). 15.98, Зх. 15.99. —. 15.100. 1 — х. 2 3 1 15.101. 4япх.
15.102. — совх. 15.103. )г(х,1, Л) =, у(х) = 1 — хЛ 1 2!п2 — 1 ЗЛ = япх. 15.104. Л(х, 1., Л) = 2*+', у(х) = 2'ь'+х. 1 —— 2!п2 хе' 15.105. Л(х, й, Л) = тяп 2хй, у(х) = сов 2хх. 15.106. Л(х, й, Л) = 1 — Л' 2 у(х) = е *+ х. 15.107. В(х, 1, Л) = япхсовх, у(х) = 1+ 2вшх. 2 — Л 1 1 15.109. 1+ -х. 15.110. +- сов 2ях.
15.111. х — я сов х. 15.112. 7+ бхг. 4 3 1 15.113. яп х — -х. 15.114. яп х+ сов т. 15.115. Решения нет. 15.116. х + 6 + С(1 — хг). 15.11Т. х. 15.118. совгх + . 15.119. Сх. 2(2 — 1п 2) 15.120. О. 15.121. сов2хх. 15.122, х+ —. 15.123. С(-х+хг). 2 ~,2 15.124. Решения нет. 15.125. 1 + ~/х. 15.126.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
