3 часть (1081356), страница 71
Текст из файла (страница 71)
После замены « = 1/и воспользоваться ра- 1 1 венством 1 / = (1 «. 12.360. 1)к+с 1 « ф -1. 12.361. « — 1 + ~ , 1 < Ц < +оо. 12.362. к 2(« — 1) к=1 1 . с (-21)к гк ( — /, О < (« — г( < 2; — — 1~,, (« — с! > 2. » — 1 (« — 1) к+« к=о к=о 12.363. ~~~ гк„. Ф > 1. 12.364., « ~ к к=о к=! 1 2к О < (» — г! < 2; — — ~ (/с + 2)(-1)к „, 2 < )« — с) < +ос. У па за- 2 (» — 1) к+' к=о 1/ ние. = -- ~ . Для второго разложения воспользо- ( '+ 1)' 2 1»'+ 1/ ' 1 к(с+1 ваться заменой « — 1 = 1/ц. 12.365. — ~~~ (-1),, 1 < Ц < +со.
«с ««А к=а ОО « -з ОО < ф < +ос. 12.362. ~ ~(-1)",, О < («) < +оо. 12.368. «(-1)" х (2я)! ' 1 1 х, О < (« — 2! < +ос. 12.369. ~ ~—, О < (2п + 1)!(» — 2)«" "' ' я.'«" я=о <~ ~ + . 12.376.~, „,,О ~ (<+ 1 к=о т „4«" / со»1 4ейп1 1 (2п)' 1,(« — 2)с" (2п+1) (» — 2)""ж« я=о цк( цк 12.372. ~( — 1)к(« — 1) (1 — —,), (» — Ц < 1; ~ „, + к=а к=о Ответы и указания 485 12.408.
выч 2п(2и — 1)... (я + 2) (и — 1) г 1 2' (1 — е ') 12.409. выч ( 2+Цг'' 2п ; 1 ( 1)п' 12.410. выч ;0 22(22 + 4)2' 1 04 12.411, выч ! ;О 2(1 е2г)' 2Ьгг' 12.412. выч 9=~1, ~2, РЯд ~ спгп — вне кРУга )2! > 21. 12.382. Точки яг — — е и'ГС и 22 —— и=-ос = ез"гс — полюсы 3-го порядка.
12.383. Точки яг —— О и 22 = — 1 — полюсы 1-го порядка, а тачка 22 —— 1 — полюс 3-го порядка. 12.384. Точки гь = Йя, й Е К, — полюсы 1-го порядка. 12.385. яа = — 1 — полюс 1-го порядка, гг — — 2 — полюс 3-го порндка, 22 — — — г — полюс 5-го порядка. 12.386. ягг1 = Π— полюс 2-го порядка, гь = 1 + гсн, й Е Е, — полюсы 1-го порядка. 12.387. 2ггг = — 1 — полюс 3-го порядка, яь = 2йнг', Й б К, — полюсы 1-го порядка. 12.388. 2а = 0 и «2 —— х — устранимые особые точки, яь = ~й/2, lс = ~1, ~2, хЗ, х4, ..., — полюсы 1-го порядка.
12.389. га — — я/4 — устраниман особая точка, яь = я(45 + 1)/4, й = ~1, ~2, ..., — полюсы 1-го порядка. 12.390. Точки аь = н(2/с+1)/2, )с Е К, — полюсы 2-го порядка. 12.391. Точка яо = Зг — существенно особая. 12.392.
Точка яа = — 22 — существенно особая. 12.393. Точки 2 аь =1+ , й Е Е, — полюсы 1-го порядка, а точка 2 = 1— н(2/с + 1)' предельная для полюсов. 12.394. В точке 2 = 1 устранимая особеня(2)с + 1) ность а в точках гь — — 1 + 2 , Й Е Ж, — полюсы 1-го порндка. 12.395. В точке яа = О устранимая особенность. 12.396. В точке ха — — О— полюс 4-го порядка.
12.397. В точках гь — — 1п3+ 2Ьи', lс Е У,,— полюсы 1-го порядка. 12.398. Правильная точка. 12.399. Полюс 3-го порядка. 12.400. Правильная тачка (нуль 3-го порядка). 12.401. Полюс 2-го порядка. 12.402. Существенно особая точка. 12.403. Существенно особая тачка. 12.404. Полюс 2-го порядка.
12.405. Правильнан точка. 12.406. Правильная точка. 12.407. Существенно особая точка. Ответы и указания 486 к'" 6 ; ( — 1) — +Ьг ВШ2 —— 2 12.413. выч 12.414. выч выч 2 ,Гз' = ( — 1)" —, Й Е Е. в!и 22 и ) гг — 2 я 2 '2 (--) -» 2 вш 22 ;1 ( 2) 4вш2 (а — 2)2 12.415. выч 5 12.416. выч; О (22(2~ + 9)' 12.417. выч 12.418. выч [ 12.419. выч 12.420.
вгпч 12.421. выч выч 12.422. выч выч 4сов2 3 1 е5 1 газ) выч ~ ;Зг~ = —, 9' (22(22 + 9)' ~ 54 ' ; -з ;-з(~ =- —. ,г(,2 + 9)' ! = 54 15г $82; К+ -) и = -1, Й Е Б. 2) сг82 2; Ьг~ = О, гг Е 25. СОВЗ2 ~ 3 ;О =О, выч;1 =1. ; О, выч ) 2(1 — 22)' 1' (2(1 — 22)' 1 2' (1 — )' ,Π— О, выч 2 — 2 22 25) 1+ 25))3 6 1 — 1ь/3 6 ; 2~ = — — вгп8. 12.424. 1.
12.425. О. 12.426. 1. ! сов 42 1 128, (2 — 2)в ' ~ 15 1 12.428. О. 12.429. — -5ЬЗ, Указание. Воспользоваться 3 12.423. выч 12.427. — 1. второй теоремой о вычетах. 12.430. О. 12.431. ит. 12.432. — 1. автг)2, 2гг5 2 я 5 12.433. —. 12.434. 2аг'.
12.435. —. 12.436. — вЬЗ. Указание. 2 ' ' 9 ' 3 Ответы и указания 487 Воспользоваться второй теоремой о вычетах и результатом задачи 12.429. „п(п+ 1)... (222 — 2) 2хг 12.437. ( — 1)",, 12.438. О. Указание. (п — 1)! (Ь о)2п-1 ' Воспользоваться второй теоремой о вычетах и соотношением выч[/(в); оо] = О. 12.439.
2в(. 12.440.0. 12.441. — 42гг'. 12.442. 2хг',и = 2" ь г хс' = 1; О,п = О, 2, 3,... 12.443. . 12.444. 2(1 — е ')хг. 12.445. 2хг. (п + 1)! 12.446. (сов1+ып1+г(гйп1 — сов1)) —. 12.447. О. 12.448. О. 12.449. хг. 2 12.450.. 12.451.. 12А52.. !2.451.
О. 2 2 ( -14 -1' ' ' à — Ь4'' ' ' 1 — ' ' 2 гг 12.424. — ( — '2 — 1'2. 12.451. 1. 12.456. 2. 12.451. х . 12.458.. 12.459. —. 12.460. — —. (п — 1)! 2аЬ(а + Ь) 4а 27 4 я хе 12.461. -гг. 12.462. 3 1баз/тбв/т 2 12.463. — (вш2 + 2сов2). 12.464. — е 5/ / ~~/3 вгп — — сов -/г.
12.465. -е ' . 12.466. хе сов 2. в 2 ' -аб -3 2/3 (, 2 2,/ 2 и -в — " -з 2е — 1 12.467.-(е '+е в) 12.468.гг(е в+е в). 12.469.— е в. 12.4Т0.2г —. 2 б 12ет 12.4Т1. 2 корня. Указание. р(22) при изменении 1 от +со до — оо приращения не получает. 12.4Т2. 2 корня. 12.473. 3 корня. 12.474. У н а з а- ~Ф) г ние.
Воспользоваться тем, что агб /д = агб/'+ агбд и агб 1+— л )/ и(ч) при обходе точкой х контура Л приращения не получает, ибо — < 1. 4 ('4) чеь 12475.Указание. Рассмотретьфункции/(х) =аох" и ~о(г) =агг" ' + + ... + о„на окружности ф = Л достаточно большого радиуса Л. 12.476.
а) в круге ф < 1 один нуль; б) в кольце 1 < (х! < 2 четыре нуля. Указание. Положить /(з) = 8х в случае а) и /(х) = хв в случае б). 12.47Т. а) в круге ф < 1 один нуль; о) в кольце 1 < < (х! < 2 нулей нет; в) в кольце 2 < ф < 3 два нуля. 12.479. Для г/т 4 / 2х/сх четной: //ь = О, сгь = — // /(х)сов — дх, а для нечетной: аь о г/г 4 г, 2х/сх 1 = О, /)ь = — / Дх)в!п дх (Ь = О, 1, ...). 12.480. ~(х) = — + 2 а Ответы и указания 488 + — ~ ~, Я(я) = — (рис.
38). 12.481. Дх) = ~~! 2 еги (2т — 1)х 1 е4п йх я 2нг — 1 ' 2 й гд=! и=! Я (-) = — (рис. 39). 12.482. 1'(х) л ! гг 1 4 сов я(2иг — 1)х 2) 4 2 яз (2т — 1)з т=! Рис. 38 Рис. 39 Рис. 40 Ответы и указания 489 4 (-Ц'- ' Я(1) = 1 (рис. 40). 12.483. — + — ~~! сов 2йх. 12.484. — + л. гг 4йг — 1 3 к=! с ( — 1)к 4 1, (2й+ 1)лх 2 + 4~ совйх.
12.485. — ~ ~яп 12.486, —— йг гг 2й+1 т гг к=! к=о йл.х ОО 2 яп 2йлх 10 з!" к=! к=! к=! 2в!лагг . кйяпйх 12.489. ( — 1), если а — не целое; яп ах, если а Е К. л аг — йг гс=! 2япал / 1 з касозйх! 12.490. — + г ( — 1), если а — не целое; совах, ~2а ~ .г йг) к=! к=! касоа йх ! 1 2(-1)к — 1 йлх + г ( — 1) . 12.493. а) — + 21п2~~ сал —, аг+ йг). !п2 1пг2+ йглг ! 2 к=! к=! б) 2л в!п —. 12.494. а) -+ — ~ Е (2(-1)к — 1)й, йлх 1 2 л / соз(4й+ 1)х !пг2+йглг !п2 2 гг ~ 4й+1 сов(4й+ 3)х 4 з- 1, г йл, 1 4 б) — ~ — з!п — яп йх.
12.495. а) — — — х 4й+3 ' гг й 4 2 лг ! к=! 1 8 ( — 1)к (2й+ 1)ггх соз (21 — 1)лх, б) — ~~! ~ш к=! к=о (-1)" 1 гг 16 в й 12.496. а) 1+2 ~ ~— сов йх — — сов х, б) — япх — — г х йг — 1 2 ' 2 л (4йг — 1)г к=г к=! 1 4 ( — 1)к 2 / ( — 1)кг' х яп2йх. 12.49Т. а) — + — ~ ~совлйх, б) — ~~! ~ + 3 ггг йг к=! к=! 2((- 1)к — 1) ! 4 1 + яплйх. 12.498.
а) л — — ~ ~сов(2й — 1)х, йз.,г ) гг (2/г — 1) г к=о б) " згп йх. 12.499. а) — ~ ~сов (2й — 1)х, 1 — З(-1)к, 4 1 к=о к=! 1, / 4/ 1 (2й — 1)лх б) ~ — вгп 2йх. 12.500. а) — — — ~ соз , й 2 лгк (2й — 1)г Ответы и указания 490 х, 2х+1 21 — 1 1 *Š— 2 1 — 4( 4 17 1 2 2 2 х„(х) = 1 2(п+ 1) вш ;пя и+1 соя (гг + 1)х)— 1 — соя(п+1)х 1 4(п+ 1) япя — п+ 1 2я!п 2 2 Х ~~2 (СОВ кХ— а=о 2п+ 1 1 1 1 12.500. — / /(х+1) — 2 — й = — / (/(х+1) + 77 —,/ 2 я!ив 1 й.
12.50Т. 1 (/(х + г) + /(х — ю)) к Гг(п+ 1) / о т" 12.505. —. 90 2п+ вш + /(х — г)) 2яп— 2 277+1 яп 2 — 2 — 01. 12.808. У гг(п + 1),/ 2яп о 2 и+1 яп й= 1, 2яп 2 2 можем записать о.к(/, х) — /(х) = 2 и+1 1 яшт — ! к(и+ 1) / / (/( ) + /(* - ) - д*ц ~, а = 2 'и о 2 б п+1 1 в!п (/(х + 1) + /(х — 1) — 2/(х)) й + гг(п+ 1) о 2 , яп+1 1 г яп + к(и+ 1) / / (/(х + Г) + /(х — 1) — 2/(х)) й = уг + 12. 2 в!п2— б 2 21 в „,1, гскх т2 772 б) — 7 ( — 1)" Уг — яп —. 12.501. а) —, б) . Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
