3 часть (1081356), страница 68
Текст из файла (страница 68)
У(у) = (ху'+ у' ) Ых, у(0) = О, у(2) = О. о 1 17.466..7(у) = (у~+ у' — 2узшх) Нх, у(0) = О, у(1) = О. о 1 17.466..7(у) = (у + у' + 2уе*)йх, у(0) = О, у(1) = О. о ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 11 11.1. Линии уровня — параболы уз = С вЂ” х. 11.2.
Линии уровня— гиперболы ху = С (при С = 0 — совокупность координатных осей). 11.3. Линии уровня — прямые у = Сх, х ф О. 11.4. Поверхности уровня — параллельные плоскости х+ у+ 2 = С. 11.5. Поверхности уровня — однополостные и двуполостные гиперболоиды х + ут— — 22 = ХС2 (при С = Π— конус х2 + уз — 22 = О). 11.6. Поверхности уровня — параболоиды вращения хз + ут = 2 + С. 11.7. Гиперповерхности уровни — четырехыерн),2е параллельные плоскости х! + хз + + хз+х4 = С.
11.8. Гипсрповерхности уровня — четырехысрн! )е сферы х2)+х22+хзз+х42 = С . 11.9. Окружности хе+у = С2. 11.10. Гиперболы ху = С (при С = Π— совокупность координатных осей). 11.11. Пара- Х У 2 болы уз = 2(х+С). 11.12. Прямые — = — = —. И.14. Линии псресече- 1 т п' ния гиперболических пити!дров уз — х2 = С! с такими жс цилиндрами 22 — х = С2. 11.15.
Окружности, нвлнюшиесп линиями пересечения сфер хз + у2 + 22 = С2 с плоскостпми х + у + - = С2. 11.16. Прямые четырехмерного пространства, перпендикулярные к оси Охз и ее псре- Х! Х2 Х4 секаюшие: — = — = †; хз — — С. 11.17. х = сов!, у = зш й 2 = ()й 11 12 14 1 1 1 1 11.18. — — — = 1, — + —. = 4. 11,19. з) 1юнические поверхности с х 2 ' х 2у2 вершинами в начале координат, направлпюшитш которых служат заданные замкнутыс кривые; б) тороидальные поверхности, образованные окружностями с центрами на прямой х = у = 2, лежащими в плоскостнт х+ у+ 2 = С, сеченилми которых служат заданные замкнутые кривые. 11.24. — = . 1123.
—. 11.26.. 11.27. )6, ) 4 6), ). 11 26 2) ) — 2), ) . 1131.13)3. 11 32 4)63. 11 3314)3. 11.34. 1)) ) . 11.23. 6) 622 4 4 4 4 г. И .36. 1 = — 47 41. ди 1 .. 1 11.37. — = 2т/6, и = — (2! + 1 + 14), 11.38. — (2! + 31 — 214). дн т)76 т)'17 Ответы и указания 468 11.46. хг — уг = С, хг — гг Сг 11.39. Р(З, 3, -3). 11.45.
ху = С. 11.47. У=Сгх, г = Сг/х. з/5+ 3 11.49. 1п 11.48. т/2 + 1. 11.50. О. ь'"' 21 с +— г // — — + 1+— откуда ~ (а, Ыг) = Л 2 / 1+с+сг 2Л2 2С+ 1 2кЛ2 — агсс — с' т/3 т/З т/3 ' 11.77. 2каг. 11.78. 2т/2 — — аз. 11.79. 4гз/3. 11.80. -4п. 3/ 11 81 лгз/2 11 82 1 11 83 аз/6 11.84. 42са. 11.85 4НЛз/15 11.51.
— аз 11 52 †((1 + 4з.г)з/г 1) 11 53 11 54 з а гзг 1 аз/ГО 15 3 т/2 9 9, й~~/3 11.55. — Ьгаз. 11.56. 2Ссхат/2а. 11.57. Ьпа . 11.58. 64 2 М2ПС 2 4 11.59' г з/г ' 11.60. огг. 11 61. -/Зг~. 11 62 т/3/360. 3 з ВСгаз 11.63. 2з/2п/3. 11.64. 4п, 11.65. -лаз 11 66 †(т/2 + 1) 4 15 11.67. —. 11.68. — (Зт/3 — 1). 11.69. — Сга . 11.70. — а~ь/а(зз/2— ла з/2 йка~ 27 з лСг 2 3 2 4 — !п(1+ з/2)). 11.71. — каЬ. 11.Т2. а) 2/3; б) 0,7; в) 0,7; г) 1; д) 1. 2 Лг 11.73.2пЛ2. 11.Т4.91/60. 11.75.222агЬ. 11.76.
2™ . < г = Л вЂ” х — у, ъ/3 хг + уг + (Л вЂ” х — у)г = Лг, или хг + ху + уг = Л(х + у). Положим Л(1 + с) Л(с + сг) Л у = Сх. Тогда имеем: х = ~У= = Л— 1+ С+ С2' 1+ С+ Сг 1+ С+ С2' Лс г . Значению с = 0 соответствует точка А(Л, О, 0), значс1+с+сг ниим С = хоо — точка В(0, Л, О), значению С = — 1 — точка С(0, О, Л). Обходу в положительном направлении относительно оси 02 соответствует обход ВСАВ, т.е, изменение с от — оо через — 1 и 0 до +ос. Палее, Л(с' + 2с) Л(2с + 1) Л(с' — Ц дх (1 1 С+ С2)2 ' (1+ С+ С2)2 ' (1+ С+ С2)2 сс, су= й, гС2 й. Лг(1+ 2С + ЗС2 + 2Сз + Са) Лг й Получаем 2 ах+ хну+ у аз— (1+ с+ сг)з й= 1+ с + с2' Ответы и указания 469 11.86. тЛ4)2. 11.87. пЛгН]З.
11.88. пЛСН]4, 11.89. хЛгНг)З. 11 90 пЛ478 11 91 О 11 92 пЛ4 11 93 ЛгН~З 11 94 О 11 95 х + + у+я. 11.96. — 2/(х+у+г)з!з 1197 14 11.98.8. 11.99.0. 11.100.0. 11.101. О. 11.103. аз, 11.104. 4пЛг. 11.105. — 2пЛз. Указание. Замкнуть поверхность, добавив основание параболического сеглсснта, и вычесть соответствУющУю смУ часть потока. 11.106. Если а = а л+ ав,С, то поток вектора а через дугу АН определится формулой (а, н) сСз = АВ а, сгх — ав сгу. Теорема Гаусса-Остроградского для плоского поля: АВ уз, )4 =у .су — „4.= с) ( — ' «)сус*. ь С сз / с" ссда, да„лс 11.107.)л ахсСх+а„сСу= ~( ~ — в — — *)с(хсСу (формула Грина). Укв,у/ [лдх ду) ь сС зание. Положить в предыдущей форлсулс (задвча 11.106) а, = ага а = — а .
11.108. —. 11.109.. 11.110. х(г — у )л + у(х — г )1+ г г 3 2 ссдС;С дРлс +з(уг — хг)1с 11 111 — — — 1с. 11.113. — 2у1+ 2х) — 2(Зх+ 2у)1с. ' [,дх ду) 11.114. О. 11.115. гас 44 = 2сп. Указание. Скорость 44 точки Р(г), вращающейся с угловой скоростью ы вокруг оси, проходящей через начало координат, равна [сп, г). 11.118. а) аг. Указание. Перейти к параметрической форлсе, положив у = Сх; петле соответствует излсе- 3 аз бе 4 3 пение С от О до +со. б) -гг —.
11.119. -пЛз. 11.120. -пЛ4. 8 с'г 3 2 Лз 11.121. —. 11 122. сйсч(си) = (с, Вгас)и), сйт(аи) = ис)гка+(а, ВгасС44). 3 11.123. Вгас1(а, с) = [с, гоСа) + (с, лт)а, ВгасС(а, Ь) = [Ь, гоСа]+ + [а, гог, Ь) + (Ь, лу)а + (а, ч)Ъ. а Найдем предварительно [с, гоС а). Имеем: [с, гоСа) = [с, [л', а)] = (а, с)З7 — (с, ч)а = С7(а, с) — (с, лу)а. Отсюда лт(а, с) = [с, гоС.а] + (с, лу)а, далее, Вгас) (а, Ь) = ~7(а, Ь) + + л(Ь, а) и используем предыдущий результат. С> 11.124. сССг [а, с] = = (с, гоС а), сССг[а, Ь) = (Ь, гаса) — (а, гоСЬ). 11.125.
гоС(си) = [ВгасСи, с), гоС(аи) = игаса+ [ВгасСи, а], гоС[а, Ь] = (Ь, лг)а — (а,з7)Ь+ ас)СнЬ— — ЬсСьча. Указание. См. решение примера 5. 11.126. с(Счбгаби = 470 Ответы и указания дги дги дги, д(йч а), д(сПн а) . = 17~и = — + — + —, бгас)йча= н(Ч, а) = г+ 1+ дхг д, г дгг ду + 1с, госгоса = [й, [и, а[[ = T(н, а) — нга = йгас1сПча — н а, д[с)И а) г . г, н ~а = зч ~а 3+ '5г~ичу + н ~а,)с.
11.127. бг = 6[х)+ У1+ г1с). 11.128. О. 11.129. 4г = 4(х) + уз + г)с). 11.130. исйнрас) и + 2(бгас) п, рас! с) + + и сйн бгас) и. 11.131. 8гас! сйн [ис) = (с, зУ) рас1 и, бгад сПн (на) = ибгас)йна+йч абгас1и+ [бгас)и, гога)+(бгас)и, и')а+ (а, и) дгас1п. 11.132. госгос(ис) = (с, н) бга<1и — снги. 11.133. хзу — хуз + С. хгу уггг 11.134.
2 соэгхгбпгу+ з1п хсоэг у+С. 11.135. хуг — — + — +С. 2 2 х 11.136. — + — + — + С. Указание. За начальную точку А принять х у точку (1, 1, 1) или любую другую точку, нс лежащую на осях коорди- уг хз ху нат. 11.137. — + — — — + С. Указание. Сьь указание к прс- хг уг гг дыдущей задаче. 11.138.
з Если бы во всюду непрсрывнолс потенцп- альном поле могли существовать замкнутые векторные линии, то циркуляция по такой линии не могла бы быть равной нулю, так как произведение (а, с)г) вдоль всей линии сохраняло бы постоянный знак, и поэтому ~(а, с1г) ф О. С 11.139. Особая точка 0[0, О), циклическая постоянная равна 2к. 11.140. Указание. Взять два произвольных замкнутых контура, обходящих данную особую точку: АМА и ВМВ. Соединить точки М и сн отрезком прямой и к сложному контуру АМЫВуч'ЫА применить формулу Грина. 11.141. Указание.
Использовать при определении потенциала пути, обходящие по нскольку раз и в различных направлениях особые точки. 11.147. Указание. Применить теорему Гаусса-Остроградского и учесть, что на боковой поверхности трубки (а, и) = О. 11.149. Увазание. Применить теорему Гаусса — Остроградского и учесть, что для гармонических функций 'нги = О. 11.150. Нет. 11.151. Нет. 11.152. Да. 11.153. Тольао при .4 + С = О.
11.154. Только если А + С = В + О = О. 11.155. Да. 11.156. Только при ам +агг+азз — — О. 11.157. Только если ам~+аьгг + + асзз = о11г + оггг + огзз = омз+ оггз + оззз = О. 11.158. Линии У вЂ” Уо г — га х — хо У з — го х: 1 О О ' О 1 О линии у: линии х — хо У вЂ” Уо — 11.159. Линии г; у = до, г = го (лучи, О 0 1 Ответы и указания 471 ди '! д ), дг т д„,» д»» ди 1ди ди 1 11.167. — е„+ — — ее+ — е,. 11.168.— дг" гд!з д» ' ' 'т 1 !'д(тат) дат да, ! сс1 да- дат'! 11.169.
— ~ — + — ~ + т — ). 11.170. ( -= — — ) е, + т <, дт дср д») ~,т д~р д» ) ссдат да,'! 1 с'д(га ) да„! ди 1ди + ~ —" — — 'т! е„, + — ~ — — ) е.. 11.171. — е, + - — ед + 1 ди + — е„. 11.172., в!п 0 — т» — + — яп 0 — + гв!пддср ~' т»в!пВ ~ дг <, дг) дВ ~,' дВ) 1 д»и! г + —,— . 11.173. —, ~в!п — (г»ат)+г — (адв!пВ) + т — и). в!пВ дсз») ' ' ' т'в!п0 <, дт ' дВ дд ) 11.174. ~ — (а, в!пВ) — — ) е„+ — < —,—" — — (тае) ее + гяпВ 1,дВ д!з) " т 1,в!пВ др дт 1 с' д дат'! + — ~ — (гав) — — ) е„.
11.176. а) сдче =-, тосе„=О; б) й!чег = О, т ~дт дВ) ' -т 2 О. 11.177. а) йч е„= —, тосе„= 0; т с18 0 в) йче„= О, го!е„= — е,— т ес гоСег — — —, в) йче, = О, тосе, = г' с!80 ет б) йчед = —, гас ее = г т 1 — -ед. 11.178. а) и = Сс !и г+ С»! 'б) т и = Сс~р+ Ст, 'в) и = Сс» + С». исходящие из точек оси О», лежащие в горизонтальных плоскостях); линии ср: т = то, » = »о (окружности с центрами на оси О» радиуса то, лежащие в плоскостях» = »о); линии»: г = то, р = !оо (прямые, параллельные оси О»). 11.160. Линии т: 0 = Во, ~р = ~ро (лучи, исходящие из начала координат); линии 0: г = то, ~р = до (полуокружности радиуса го с центром в начале координат, лежащие в полуплоскостях р = ро, проходящих через ось О», т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
