3 часть (1081356), страница 69
Текст из файла (страница 69)
меридианы). Линии ух т = то, 0 = Во (окружности радиуса то япус с центром на оси О», лежащие в горизонтальных плоскостях, т.е, параллели). 11.161. с., = Ьч = Ь, = 1. 11.162. Х„ = Ь, = 1, У„, = г. 11.163. Ь, = 1, Ьд = г, Е„, = тяпу. 11.164. йв, = йх, йвч = с!у, йв.- = й»; йо, = = йуй», йоч — — йхй», йо, = йхйу; йо = йхйуй». 11.165. йв„= йт, йвг = тйх, йв, = й»; йо„= гйсрй», йо = йгй», йа, = тйгйсз; йв = тйгйрй». 11.166. йв„= йт, йвв = гйВ, йве = гв!пуйр; йа„= = т»в!пуйуйср, йств = тяпуй Щ йог = тйтйВ; йи = т»в!пВйтйуйр.
Ответы и указания 472 11.179. а) и = — + Сг, б) и = Сг!пс8 — + Сг, в) и = С~~Р+ Сг. С В т 2 11180.и = тг в1п2гРсов2В, бгас(и = 2г в1п2~Рсов2Вет — Яп2РЯп2Вев + сов 2вг сов 2В +, ее, ~т~и = 2вш2Вг(1 — 2сг8~В). 11.181. и = г яп2~р+ япВ + гсов2гг, бгаг1и = (вягг2у+ сов2Вг)е„+ 2(гсов2р — вш2у)е~ + Зи + гвш2~ре., 17 и = — —. 11.182. а = япде„, г)1ча = О, гога .г ' 1 = — (2совВе„— япдев). 11.183. а = гг(е„— е,), 65ха = 2в — г, т г гог,а = (т+ г)е„, 11.184.
8гас)и =,7'(г)е„= )'(т)-, вуги = у "(г) + т + . 11.185. ради = )'(г)е„= 1''(т)-, ~7ги = 1' (г) + —. 27" (т),, г г „У'(т) г г ди 1дГ д~Е 2дР 1 дгР сгбддР 11.186.8габи = — е„+- — ев, ~7ги — — +- — + — — +— дт " гдВ ' дт' т дт тг дВг гг дВ' дь дР дгР 1 дь дг с 11.187. 8габ и = — е„+ — е„хгги = —. + — — + —. дт " дг " дтг г дт дгг' Глава 12 1 23 1 11 3 бе — ег — 1 12.1.
—. 12.2. —. 12.3. —. 12.4. —. 12.5. — . Укв- 4 45 2 12 2 (Зе — 1)(З вЂ” е) и+ее зание. Использовать формулу Эйлера сов1и = . 12.6. 1+ С 2 12.19. Расходится. 12.20. Сходится. 12.21. Сходится. 12.22. Сходится. 12.23. Расходится. 12.24. Расходится. 12.25. Сходится. 12.26. Сходится. 12.27. Расходится.
12.28. Сходится. 12.29. Сходится. 12.30. Сходится. 12.31. Сходится. 12.32. Расходится. 12.33. Сходится. 12.34. Сходится. 12.35. Расходится. 12.36. Сходится. 12.37. Сходится. 12.38. Сходится абсолютно. 12.39. Сходится абсолютно. 12.40. Сходится. 12.41. Расходится. 12.42. Расходится. 12.43. Сходится. 12.44. Сходится.
12.45. Сходится. 12.46. Сходится. 12.47. Сходится абсолютно. 12.48. Сходится абсолютно. 12.49. Сходится. 12.50. Расходится. 12.51. Расходится. Ответы и указания 473 12.52. Сходится. 12.53. Сходится. 12.54. Сходится. 12.55. Сходитсн. 12.56. Сходится. 12.57. Расходится. 12.58.
Сходится. 12.59. Сходится. 12.60. Сходитгя. 12.61. Сходитсн. 12.62. Сходится. 12.63. Сходится. 12.64. Сходитсн. 12.65. Сходится. 12.66. Расходится. 12.6Т. Сходится. 12.68. Сходится. 12.69. Сходится. 12.ТО. Расходится. 12.Т1. Расходится. 12.72. Расходится. Указание. и„.ь,/и„> 1. 12.73. Сходится. 12.74. Сходится, 12.75. Расходится.
12.76. Сходится. 12.Т7. Расходится. 12.ТВ. Расходится. 12.79. Сходится. 12.80. Сходится. 12.81. Сходится. 12.82. Расходится. 12.83. Расходитсн. 12.84. Сходитсн абсолютно. 12.85. Расходится. 12.86. Сходится абсолютно. 12.87. Если р > 1, то ряд сходится при всех и, а если р < 1, то расходится. Если р = 1, то ряд сходится при о > 1 и расходится при а < 1. 12.88. Если р > 1, то ряд сходится при любых а и !У, а если р < 1, то расходится.
Если р = 1, то рял сходитсн при а > 1 и любых !у и расходитсн при а < 1. Если юе р = а = 1, то рял сходитсн при Д > 1 и расходится при ~3 < 1. 12.90. Сходится условно. 12.91. Сходится абсолютно. 12.92. Расходится. 12.93. Сходится абсолютно. 12.94. Расходится. 12.95. Сходится условно. 12.96. Сходится абсолютно. 12.9Т. Сходитсн абсолютно. 12.98. Сходится абсолютно при а > 1, условно— при 0 < а ( 1 и расходится при я < О. 12.99. Абсолютна сходится.
12.100. Условно сходится. 12.101. Абсолютно сходитсн при всех а б К. 12.102. Расходится. 12.103. Сходится условно. 12.104. Сходится абсолютно. 12.105. Сходится условно. Указание. Рассъютреть частичные суммы с номерами Вп, в которых сгруппировать члены с номерами 8!с+1 и 8!с + 5, Вй+ 2 и 8!с+ б, Вй + 3 и 81 + 7.
Убедиться в существовании предела !!ш Яз„. Лалее, как и при доказательстве признака Лейбница, 1 хп воспользоваться соотношением !пп — зш — = О. 12.106. Сходится я 4 условно. 12.10Т. Расходитсн. 12.108. Абсолютно сходится. 12.109. Расходится.
12.110. Расходитсн. Указание, Рассмотреть частичиыс суммы с четными номерами. 12.111. Сходится условно. 12.112. Сходится абсолютно. 12.113. Расходится. 12.114. У к а з а н и е. Воспользоваться неравенством (а 5! < — ()а! + )Ь! ). 12.115. Сходится. з Оценим с„. 3 2 2 Ответы и указания 474 Имеем [1[ с„= ~ 1 1 — + У 1г Зв-вы ь=[-",]-гг 1 (сг . 2 — ь-ьг < 1 1 Аг Аг < — 2[1) Злы 1 Полученные слагаемые являются членами сходящихся рядов А1 у 1 и Аг ~~ — г. ~> в=1 ( 1)п -/се! 12.116. Сходится. Указание. Для оценки с„ г ~ (сг(п гс 1 1) ь=г " 1 воспользоваться разложением дроби на простейшие кг(п — к + 1) 1 1 /1 1 + [ — + и показать, что числа б„= = ( — 1)"+' — г — монотонно убывают по абсолютной величине.
и+1 Гг ь=г 12.117. Расходится. У к а з а н и е. Воспользоваться разложением дроби из 1 ~" 1 предыдущей задачи на простейшие и оценить члены д„= п+1с Йг ь=г 1 1 снизу. 12.118. Расходится. Указание, с„= ~ >— ~-~ lсь(п — /с+ 1) и при п > 2. 12.124. (О, +ос); абсолютно сходится при х 6 (1, +ос). 12.125. К; сходимость всюду абсолютная. 12.126. Расходится во всех точках. 12.127. КЦ вЂ” 3); сходимость всюду абсолютная.
12.128. (-со, — 1); сходимость всюду абсолютная. 12.129. ( — 1, — 1/2[ 0 (1/2, 1); сходится абсолютно при х 6 ( — 1, — 1/2) 0 (1/2, 1). 12.130. [О, +со) 0 (1ся[й = = — 1, — 2, ...); сходимость всюду абсолютная. 12.131. ( — 2, 2); сходимость всюду абсолютная. 12.132. (О, +ос); сходимость всюду абсолютная. 12.133. [1/е, е); сходится абсолютно при т Е (1/е, е). 12.134.
[г — 2[ > 1. 12.135. [г+ Ц > 1. 12ЛЗ6. [з — 31[ > т/2. 12.137. Полуплоскость Ке з > О. 12.138. (г[ — я/4 < аг8 г < л/4 и Зя/4 < агбз < Ответы и з казакия 475 < 5х/4). 12.139. Рте«< О. 12.140. Вс«> 1. Указание. Сравнить вырааюнис (( — 1)"и -! с членом и " рида Дирихле.
12.141. 1щ«> О. У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что дробно-линейная функция и = о««о = ем отображает верхнюю полуплогкость во внутренность еди— «о пичного круга. 12.142. («( > 1. Указание. При (а! > 1 функции и « ю = с'е отображает внешносп единичного круга ((«( > 1) на 1 — а« внутренность ((п~! < 1). 12.143. («/(1 — «)! < 1, т.с. Вс«< 1/2. Указание. См.
задачу 11.190. 12.144. Сходитсн при х 6 (О, +со), равномерно сходптсн при т 6 (а, +со) длп ли~бого а > О. 12.145. Схо- дитсн прп х б ( — ю, — 3) 0 ( — 1, +ос), равномерно сходится при х б б ( — са, — 3 — б) 0 [ — 1, +со) для любого Б > О. 12.146. Равномерно сходится на всей оси. 12.147. Сходитсн на всей оси, кроме точек ж — 1, — 2, ... Сходится равномерно на множестве, получающемся из оси поглс удалении интервалов ( — бь — А, -9 + Б',), 9 6 И, где бь и б' сколь угодно ма.чы.
12.148. Во < О; сходимость всюду равномсрнап. 12.149. (« — 1( < 1; сходимость всюду равномерная. 12.150. Сходится при Вс «> 1, равномерно сходится при Вс «> а > 1. 12.151. Сходитсн вне круга («+ 2! > 1, равномерно сходится вне любого круга («+ 2) > 00 г х > а > 1.
12.152. Указание. Вычислить Л„(х) (1 Е т«)ь Й=п-ь1 и показать, что Вщ Лв(х) = 1 ф Л„(0) = О. 12.155. Рнд сходитсп в .с — ~о области, состоящей пз внутренногти единичного круга («! < 1, точки « = 1 и внешности единичного круга («( > 1; рлд равномерно схо- дится в объединении замкнутого круга )«( < 1 — у и замкнутой внеш- ности круга ф > 1 + б длн любых 7, б > О. Сумма рида Л(«) 1/2 при («( > 1, — 1/2 при ф < 1, 12159.Указание.Воспользоватьслутвер- 0 при «=1.
ждснием задачи 12.158. 12.162. Если степенной ряд (1) сходитсн в точке « = «~ ~ «о, то он абсолютао сходится в круге (« — «о! < («~ — «о( и рав- номерно сходитсн в любом замкнутом круге )« — «о( < г < ( ~ — «о!. Если рнд (1) расходится в точке « = «о, то он расходится и вне круга (« — «о! > > («« — «о(. 12.163. Указание.
Для доказательства утверждений а) и б) воспользоватьсн теоремой Абели и теоремой Всйерштрасса, а для доказа- 476 Ответы н указания тельства утверждения в) — теоремой Абеля, утверждением задачи 12.188 —.Г1с4 —.. г— и учесть, что !пп ~! ' = !пп ~(!сл!. 12.164. Указание. Восполь« — ~ я+1 ни зоваться утверждением б) задачи 12.163. 12.165. Сходится абсолютно и равномерно в области )х — Ц < 2. 12.166. Сходится абсолютно и равномерно в области !г + 1! < 2.
12.167. Абсолютно сходится, если !г + 2! < 1; равномерно сходится, если !л + 2! < г < 1. В точках х = — 3 и х = — 1 сходится условно. На отрезке — 3 < х < — 1 сходится равномерно. 12.168. Абсолютно сходится в области !г — 4! < 1/2; равномерно сходится в области )г — 4! < г < 1/2.
В точке х = 9/12 сходится условно. в точке 7/2 расходится. На любом отрезке 7/2 < т < х < 9/2 сходится равномерно. 12.169. Сходится абсолютно в области !г-2! < 1/ь/2; равно- 1 мерно сходится в области !г — 2! < г < 1/~/2. В точках 2ж — расходится. ь/2 12.176. Сходится абсолютно в области !г — 3! < т/3; равномерно сходится в области (г — 3! < т < ь/3.
В точках х = 3 ж ь/3 сходится условно, и на отрезке 3 — т/3 < х < 3+ ~/3 — равномерно. 12.171. Сходится абсолютно в области !е! < 3, равномерно сходится в области !х! < г < 3, в точк< х = -3 сходится условно, а в точке х = 3 расходится. 12.172. Сходится абсолютно в области !е! < 1, сходитсн равномерно в области !х! < г < 1, в точках х = ж1 расходится. 12.173. Сходится абсолютно в области )х + 1! < ь/2/3, сходится равномерно в области !е + 1! < г < т/2/3, охот/2 ь/2 дится условно в точке х = — 1 + — и расходится в точке х = -1 + — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
