3 часть (1081356), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Раса' ~- гг ! 6 32Г/2 смотреть рнд в точке хо — — 1/4. 12.502. Х2/12. 12.503. к2/6. х 12.504. Указание. Умножив и разделив Ю„(х) на 2яш —, получим Ответы и указания 491 б ° 211+! гп+1 2 Ягп — ! 2 / Япг ]Е![ < 2 йт— 2 Ж я з(да ц,/ 2 2г 2 2 гг(д+цу 2 .
26 2 о ып о я!п Далее в силу непрерывности Е(х) имеет место неравенство [/(х)[ < М при х Е [-гг,т]. Поэтому 1 /' 1 2Мх /' сЫ 2Мтг ]Ег[ < (4М г!гт — ! — < я(и+цап /2 !'12 д+1/ Р (д+цбг б 2( — -) б ~гг 2) 2 Маг 1 я Выбирая д столь большим, чтобы бг и+1 2' — < —, находим [Ег] < —, 2' т.е. ]а„(Е, х) — Е(х)] < я.
)> яп тх яп пу яп тх яп пу 12.509./(х, у) = тг-2т~т — -2т~~г — +4 ~~! т 11 тд т=! п=1 т, п=1 2 пп ( цт „и" ( цп 12.510. /(х, у) = — + — ~~! я!птх + — ~~! ятпу + 4 2 д 2 д и!=1 п=1 ( цт+и 4 ( цпбг + ~~! яп тхет ну. 12.511. /(х, у) = — ~~! к тд Згг д т,п=1 п=г а ду 16 ~ ( — Цт+и+' !гду х яп — + — Г соя тгдхзп! —. 12.512. /(х, у) = д а.я с-~ ~т2п 2 пз, п=! 2!г ~ ( — Ц +', 2,~ ( — Ц +и+' я)п ттх + — 7 яп ттх соя ну.
3 т ,дг и!=1 и!, п=1 12.513. !у[я)бп (2 — а) — я)бп (! — 5)] = 2 я!и ти(5 — а) ,— и!и(а+6) ти я!пг тиа 12.514. $[/] = 6 4ти 4тги яп— аг — 4тгиг 2а з а 12.515. 3[/] = а Ф 2т' а 2гг -тй. ~/21г 1 2а ' аз+!г при и при и 2япгти 12.516. гу[Е] = . 12.517.
Юс г 2 По заданному я > 0 выберем б столь малым, чтобы для 0 < г < б выполнялось неравенство; ]/(х + !) + /(х — !) — 2/(х)[ < я. Тогда Ответы и указания 492 .~-Ос 1 = — 7 е 'соаьг1Ысо. Указание. Для вычисления ес ~ иса~ ат + 12] о пользовать соотношение (*) из примера 3 на с.
248. 12.518. ггс (аз + 1з = ~(-е ', = е ~'з1пы1йи. Указание. Использовать со- 1/ 2 ' ат + 1т о отношение Я, ~ = — — ~, ~ ~, где интеграл Я, ~ ' (аз+1з~ с5л ],а'+1т~' с ~аз+ 1т р ы в с вычислен в задаче 12.517. 12.519. $,[1е ' ] = — е ч, 1е ' 2 ~Г2 = ~/ — / — е г з(п~л с5в. л 2~/2 о )2,„(,„т+,3з+„,т) 12.520. ос(е ' сов ф] = ~/ 2 е-а)О сов )3г. а2 +,32 +,2 е ' сов)31 = — ] сов го1 с5л.
о гг в 4г Зв гг 3 4 ! Т Ф а 2 О г~ гг гз г4 Рнс. 41 О при й = 4п, Ф(иь) = — при 8 ~4п, п Е Я (рис. 41). 12.523. Я(иь) = г й 2 12.522. Я(иь) = — — згп лиьТ, иь = —, р(иь) = — е4п лиьТ, тив 4Т' л]г ь] 493 Ответы и указания ягп 2яиь — 1(1 — соя 2яиь) и 2( я!п ггиа! к ив иь = —, р(иь) =, Ф(иь) = 3 я(иь! ! яиь прн !с=1,2, Ф(иьаз) = Ф(иь) (рнс. 42).
12.524. Б(и) = ( О прн Й=З, я!п 21гаи ! язп 2лаи( ( О, если Я(и) ) О, р(и) = Ф(и) = зги ' я~и) ' ~ -гг, если о(и) ( О 2 совки 2 1 совки (рнс. 43). 12.525. Б(и) =, р(и) = — ~, Ф(и) я(1 — 4ит)' зг ~1 — 4из ' ~ О, если 5(и) > О, (рнс. 44). Указание. Прн вычислении ( — зг, если о'(и) ( О Р 2а з Г а з зГ 2а 2а а 2а Π— — ! 1 2 з з Ф О О вЂ” — 1 г з з Рис. 43 Рис.
42 1/2 интеграла соя тзе 2'"'12! функцию соя я! представить по формуле — 112 Эйлера. 12.526. 5(и) = ., Р(и) =, Ф(и) = О (рнс. 45). Ответы и указания 12.527. з(и) е!и 4яи + 1(сое 4яи — 1) 2 , р(и) = — ~вш2ки~, Ф(и) = ки к(и! ( О, если и = 0 и и = 1/2, / 1'! — агдБ(и) = ' ' Ф1 и+ -) = ф(и) — 2яи, если О<и<1/2, ~, 2) (рис. 46). Р г к Ф О 4 9к О ! 2 Рис. 45 Рис. 44 8 Зм О 1 1 2 Рис. 46 495 0 1 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 — 1 0 0 0 1 0 0 — 1 0 0 0 1 0 0 -1 0 Я 0 0 0 0 0 0 0 0 1 О О дг — 1 0 Π— ()2 0 — 1 0 0 0 -!) г 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 — 1 (ХО + Х.!) + (Х2 + Хб) (ХΠ— Х4) + Ч (Хг — Хб) (ХО + Х4) — (Х2 + Хб) (ХΠ— Х4) — 4) (Хг — Хб) (Х! + Х5) + (ХЗ + Х7) (Х! Х5) + () (ХЗ вЂ” Х7) (Х1 + Х5) — (ХЗ + Х7) (Х! Хб) — !) (ХЗ Х7) т(2) 12.528.
И'! = 12.529. х(!) = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 О 1 0 0 0 1 0 0 О 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ХО + Х4 ХО Х4 Х1+Хб Х! — Хб Хг + Хб Х2 Хб ХЗ+Х7 Хз — Х7 Ответы и уквзаиия 0 0 д О О яг 0 0 0 0 -!) 0 О -дг 0 0 0 0 0 ,З 0 0 0 — !) Ответы и указания 496 (Хб + Х,1 + Х2 + Хб) + (Х! + Х5 + ХЗ + Х7) (ХΠ— Х4 + Д Х2 — Д Хб) + (ДХ1 — ДХЗ + Д ХЗ вЂ” Д Х7) (ХО+Х4+Х2 Хб)+(Д Х1+Д Хб — Д ХЗ Д Хт) (ХΠ— Х4 — Д ХЗ + Д Хб) + (Д Х1 — Д Х5 ДХЗ + ДХТ) (ХО + Х4 + Х2 + Хб) (Х1 + Х5 + ХЗ + Хт) (ХΠ— Х4 + Д Х2 Д Хб) — (ДХ! — ДХ5 + Д ХЗ вЂ” Д Х7) (ХО + Х4 Х2 — Хб) — (Д Х1 + Д Х5 1? ХЗ вЂ” Д Х7) (ХО Х4 Д Хг + Д Хб) (Д Х1 Д Хб ДХЗ + ДХ7) В<З? Глава 13 13.1. Внутренность круга с центром в точке го радиуса Л; односвязна.
13.2. Внутренность кольца между окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке го = 1; двусвязна. 13.3. Внешность круга радиуса 2 с центром в точке го = 1 с выколотой бесконечно удаленной точкой; двусвязна. 13.4. Внутренность горизонтальной полосы, заключенной между прямыми у = — 1/2 и у = О; односвязна. 13.5.
Внешность круга радиуса Л с центром в точке го, односвязна. Бесконечно удаленная точка г = оо является внутренней точкой этой области. 13.6. Внутренность круга с выколотым центром го = — 1' радиуса 2; двусвязна. 13.7. Открытая полупласкость, определяемая прямой х = 1 и содержашая начало координат. 13.8. Внутренность круга радиуса 2 с центром в точке (2, 0); односвязна.
13.9. Прямая х — у+ 1 = О. Указание. Заг+1 (»+1)(г+1) (г+1)(г+1) писать, в виде =, 2 . 13.10. Внутрен» вЂ” 1 (г — 1)(г + 1) )г — 1(2 х2 у2 И ность эллипса — + — = 1. 13.11. Окружность ф = — 2, кроме точки 3 4 г = — 21. 13.12. Часть плоскости, лсжашая справа от левой ветви ги- 2 „2 перболы — — — = 1. 13.13. Прямая, проходящая через точки »1 и 9 16 »2, с вырезанным отрезком, соединяюшим эти точки. 13.14.
Внутренность отрезка, соединяющего точки — 1 и 1. Указание. Воспользоваться равенством зг8( — г) = я+ а»8». 13.15. Пег > О, 11пг > О. 13.16. Ке г < О. 13.1Т. )Пе г! < 3. 13.18. 1» — (1 + 1) ) + )г — (3 + 1) ! < б. 13.19.
Зя/8 < агб (г — го) < 5л/8. 13.20. и = 2хэ — 2уг+ у, о = 4ху+ х. Ответы и указания 497 13.21. и = — 2ху — х, и = 2 — у+ хг — уг. 13.22. и =— х — (1+ у) = х+(1+у) 2х(1+ у) у х и 13.23. и = — у —, и = — х + г+(1+ )г' ' ' »2+у»' х2+у2' 1 13.24. и = хг — уг, и = 2ху — 1. 13.25.
и = (2ху+ у+ хг— 2(х — у) 1 — у» + х+ 1), и = (2ху+ у — хг+ уг — х — 1). 13.27. »г + 22» — 1. 2(х — у) 1 13.28. »+ —. 13.29. 4»/(»г — »'). 13.31. Любая область, лежашая внутри » угла с вершиной в начале координат и раствора не более я/и. 13.32. Любая область, лежащая в полосе, параллельной действительной оси и шириной не более 2я.
13.33. Любая область, лежащая в полосе, параллельной мнимой оси и шириной не более 2к/3. 13.34. Любая область, лежашая либо внутри единичного круга ф) < 1), либо вне его Щ > 1). 1 1 Указание. Равенство»1 + — = »2+ — при»2 ф»2 возможно только »2 »г 1 2 1, в случае, когда»г = —.
13.35. 32. 13.36. -1/2. 13.37. — — + -1. 5 5 5 12 2 2 13.38. — — — 2. 13.39. Ось Ох отображается в окружность и + и = 1. 13 13 Ось Оу отображается на ось Ои. При этом тачка » = 1 переходит в точку ю = оо, а точка» = со — в точку ш = 1. 13.40. Прямая х = С отображается в параболу аг = 4С»(С2 — и); окружность ф = Й— в окружность ~ю) = Л~, проходимую дважды; луч агб» = а — в луч агбш = 2сй полукруг ф < г, 1т» > Π— в круг )гя( < гг с разрезом по отрезку положительной действительной оси. 13.41. з Точки, лежашие на прямой х = С, записываются в виде» = С+ (у, а потому ю = с с 2 Отсюда и = Ю= С+гу С»+у» С»+у» Сг+ уг С'+ уг 1 и и~+и = —.
Следовательно, образом прямой х = С является Сг+ уг С окружность и»+от — — = О. Образом окружности (») = Я является окруж- С 1 ность )ш) = —. Луч агб» = о, т.е. луч (О, оо е' ) отобразится в идущий й из бесконечности луч (О, оо. е ' ). Полукруг )»( < г, 1гп» > О, ото- 1 бразится в нижнюю полуплоскость с вырезанным полукругом )ш! < —, ~/2 .
~/2 1тш < О. ~> 13.42. ша = — (1 — т/2+1), ш2 — — — ( — 1 — ч'2+1), 2 ' 2 Ответы и уквваиия 498 тв сов 2р — 4 «'Т6 4 — Я 2« Зт зш р Я!Пг() =- 13.51. — + Яг(п+ 2Й), п, = О, 1, й Е Е, гр т — 2 — т соз (р 2 сов 2!)— 9тв з!пз (() + (тв — 2 — т соз р) в 13.53. Веш =е' *сову, 1гпш = — е' *япу. 13.54. Всш = с* О в) х х соя2(1 — у), !п)ш = е* !' "! з(п2х(1 — у). 13.55. Веш = в!пх х х сЬ(1 — у), ?шш = — созх.вЬ(1 — у). 13.56. Веш = зЬхсов(у+2)4 1шш = сЬхз!п(у+2).
13.57. Веш = в!п2(1+ х) 1гп и сЬ2у+ сов2(1+ х) ' вЬ 2у у 13.58. Веш = 3'+Яг соз, 1гпш = сЬ2у+соя2(1+х) хв+уз — З.~+Яг я!и у 13.62. сЬ1соз1 — гвЬ1вш1. 13.63. соз1. х2 ! у2' 13.64. — вЬ2соз1+ гсЬ2вш1. 13.65. (2Й+ 1)яг, к Е Е. 13.66. — 2. 2 1«) 13.67. 2?г+ -) ггг, й 6 Е. 13.68.
я'с?Ья. 13.69. О. 13ЛО. Агсв!пя = 4) = — 2'?.п(!» + ~/1 — вв), Агсз!пг' = 2йя — г!п(~/2 — 1)1 ?г 6 Е. ~/2, «г(2 1+г шв = — — (1+ ~/2+ г), шв = — (1 — ~/2 — 1). 13.43. шо = 2 ' 2 2 — г/2 ш) — — 1 — — (1 — г). 13.44. и1) = гГ2+хГ2~ соя — +Явш ~/'2 ? . т — — г (р) 2) '«2 2!' шз — — — ~г2+ ~/2 (сов — +Яз!п — ), Рг = и — агс!8(~/2 — 1); шз , 'т") .
'Рг 1 2 2!' 2~2 — 2~2 (сов = + 2 з!п =!, шв = — «Г2 — ЯГ2 (сов — + 2 в!п — !, 2 2 !' ~ 2 2 !' (ря — — агс?8((г'2+1). 13.45. шг = О, шв = 1+ г, шв = — (1+ 2). 1 13.46. 2((р+ Ь~), )г 6 Е. 13.47. ЗВ2+ 2?гя, /с 6 Е. 13.48. т(2!) + 42 ( '..22)), =6,1,2,162, 1 Я=, Я= 1; 42 — 12.46. 4 ( 4 24), = 6, 1, Я 6 2 6" 6 = Ф 1.« .«2 2 т сов(р — 8 СОВ Я(2 = 13.50. — + 644 — 16 6' «464.« — 116 6 ««2 тз з!п 2(р + я(п + 28), п = О, 1, ?6 6 Е, з!пф = , созф = Ответы и указания 499 г 1+ге г 13.71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
