3 часть (1081356), страница 74
Текст из файла (страница 74)
в = ~ ) . 13.196. и = — ~, . 13.19Т. и = -~24 1,) — .213 34 з 312 3 з 22 + 3/3 + 2 22 + /3 + 2 13.200. и =— 13.201. и = 22 — 3/3+ 2 22 — 3/3 — 1 )г+г г — 1 — 2 22+ Л = ~/ —. 13.202. и = . 13.203.и = ~/ . 13,204.и = 'г/ г — 2 2+ 22 — 2 3/ г — Л = 3/22+ 52.
13.205. Как внутренность круга )г! < Л при Л < 1, так и внешность круга ~г~ > Л при Л > 1 отобразятся на внешность элпг 2 линев 2 + ,, — 1. 13.206. Плоскость с разЛ+ — — Л вЂ”вЂ” ревом по отрезку [-1, 5/4]. 13.207. Плоскость с разрезом по лучам ( — оо, — 5/4], (1, +ос). 13.208. Один из ответов; и = — (г + -) — — + 81, 2) 4 Ответы н указания 505 1 / Л24 = ю4 оюгою ов1. 13.209. в = — 12+ — ). Указание. Произвести 2Л1 2) преобразование подобия в1 — — — и для отображения юг — — — ~ю1 + — ) Л 2~, щ) 1 проследить за преобразованием границы области.
13.210. ю = — х а+5 х (2+ ~/22 — ег), где с = ьсаг — Ьг. Указание. Производя преобразование подобия шг — — — и определяя Л из условий — ~Л+ — ) е 2[, Л) с' 2 — ~Л вЂ” — ) = —, находим юг = ш1+ Ую~ — 1 ива = — шг. 13.211. Е = 21, Л) а' Л = (ю(1пгш < О). 13.212. Е = (ш)Пеш > 0). 13.213. Е = (юбш! > 1, в ф [1, +ею)).
13.214. Е = )юрю) > 1, 0 < агбв < — ~. 13.215. Е = = (ю)1 < (в! < е, 1пг ю > О). 13.216. Если ю = рог", то прямая х = С отображается в окружность р = е~, проходимую бесконечное число раз, а прямая у = С вЂ” в луч ф = С. 13.217. Е = (в~О < 1птш < гг). 13.218. Е = (ш~йеш < О, 0 < 1гнв < л). 13.219. Е = (ю/Кею < О, 0 < 1пгв < 2х). 13.220. Е = (ш/О < Хгпш < 2н, ш 1Е и + Ы для и > 0).
13.221. Е = (ю!1гаю < О). г Представить созг гт 2 = -(е" + е '") в виде композиции отобРажений вг = 12 вг = е'"', 1 — ~ 2 1/ 1'1 ю1 = — ~юг + — ) (рис. 49). ~> 13.222. Прямые х = С преобразуются ) ш, Рнс. 49 г „г в эллипсы — + — = 1, где аг = — (е~ + е ~)2 = (сПС)2, Ьг = — х и х (ес' — е е')2 = (а)1С)2, а прямые у = С вЂ” в гиперболы созг С 506 Ответы и указания о = 1.
13.223. Так как область Р содержит точки с силлметри 1- в1п2 С ными мнимыми частями, то область значений Е имеет два прообраза; каждый из прямоугольников Рг — — (г! — я < ке 2 < я, — ь < 1т г < О) и Рг — — (г( — я < Пег < я! 0 < 1пл 2 < Ь) отобразится на нижнюю по- 112 ег лозину внутренности вллнпса 1 + — 1, о < О. (еЛ + е-Л)2 (еЛ е-Л)2 4 4 ЛЗ 13.224. — 1+ 21, 13.225. — — (2+31). 13.229. Указание. Оценить 2 интегральную сумму (1) и, учитывая, что ~игл~ <'Ьвл, перейти к пре- 2 8 делу при гоах глвл — ~ О. 13.230.
— 4 + гя. 13.231. — + 21. 13.232. —— 3 3 /8 1 — ~-+4я) 1. 13.233. — — —. 13.234. — 2, 13.235. (2яп1 — е) + л,з ) ' ' ' ЗО 3' 4000 глуЗ + 1(1 — 2сов1). 13.236. — 1(1+ ея). 13.23Т. — —. 13.238. — х 3 8 х (1+вЬ1). 13.239. — ((1гг — 4) — 4яг). 13.240. х сЬ1 г 101( 1)1 в 25 !гг + 4 20(ггг + 1) 51 2304, 1+1 х(1 яг + 2яг) 13241 1 13242 4 35 3 13.244.
— ( — ЛГЗ+1) 13.245. л/2(1 — ЛГ2+1). 13.246. —. 13.247. — 2я. Зл/3 .. 711 4 6 13.248. ( — 1)" . 13.249. е(е сов 8 — сов 1) + ге(еяп8 — вгп1). 2яг п+1 1 1 9 3'1 г' . 9 3 1 1л! 13.250. сов — сЬ вЂ” — сов — сЬ -) + 1' ~яп — вЬ вЂ” — яп — вЬ вЂ” ). 4 2 4 2) (, 4 2 4 2) !325!. 12 1 — ! !1<!!! л! — 2 л!1. !3252. — ! <Лл !!- ! + ( 0 при п~-1, +гагсЦ(181 1Ь1).
13.253. (г — го)" г(2 = '( 2яг' при и = — 1. '!<-<о~!=я указание. Произвести замену переменной г — го —— Пег . 13.254. ) (г — го) !!42 = о< <!* я< прн и= — 1, 0 при и = 2Й+ 1, Й Е Ж, Й ф — 1. 2 112 Л~-1 2Ь+ 1 — при я = 2гг. Ответы и указания 507 Зл Зл'з, з. пз' 13.255. 2 — — зЬ вЂ” ) — г(е — 1). 13.256.
— (1+41), й 6 К. Указа- 2 2) 2 1 и не. В качестве пути интегрированна взять часть окружности г = — + 2 1,. + -еги либо при О < гр < и/2, либо при — Зп/2 < 7г < О и добавить любое 2 число оборотоа. 13.257. а) О; б) — 8лг'.
13.258. а) 2зг; б) О. 13.259. а) О; б) и; а) — гг. 13.260. а) лг; б) 2нг. 13.261. О. 13.262. О. 13.263. гг. Злг ' Ззг. 13.264. О. 13.265. а) —; б) — —; а) О. 13.266. -а-зЬ1. 13.267. 2гг1. 13268 — -а(л + 2)з/2 13269 — зЬ1 13270 кз(. 13.271. О. 8 2 1 13.273.
Ук а за ни е. Рассмотреть функцию ггг(г) = —. У( )' Глава 14 14.1. Да; 3. 14.2. Нет. 14.3. Да; О. 14 4 Да; О. 14 5 Да; О. 14.6. Да; О. — з 14.7. Да; О. 14.8. Нет. 14.9. -(1+е зз — 2е гт). 14.10. — (2 — 2ре гав р 2рг т 1 2 — Зе ге + е зт). 14.11. -е "'(1 — т) + — (1 — е Я"). 14.12. — (р — 1 + р г ' ' ' з -г -з 1 + е гя(р+ 1)). 14.13. — (1 — е я — е ге+ е зя). 14.14. — (1— рг ' ' ' рг 1,, 2е е я')+ е г(1+с '") — — (1 — е "). 14.15. Указание. р(р' + 1) и ' 1+рг 4 — 4р+рз Воспользоваться теоремой подобин. 14.17.
з . 14.18. 3 2 -4рз+8рг 4р+2 рг+ 2 14.19. — + — + —. 14.20. . 14.21. р + 1 р + 2 рз (рг + 1)(4рг + 1) р(рг + 4) 1/1 б 1422. — ~- — — (рсоа2а — 2ззп2а)). 14.23. ' 2 1 р рг + 4 ) . ' ' (рг 1)(рг 9) 14.24. 14.25. 14.26. р +4' ' ' (р'+13)г-Збрг' ' ' (р' — 4)г' 14.27. г . 14.28. 4 . 14.29. з. 14.30.
14.31.. 14.32. 14.33. рг — 4р+ 5 (р+ 1)(рг + 2р+ 5) (рг — 4)з 14.34.. 14.35.. 14,36.. У к а з а н и е. 2(р + 1) 2(р + 1) р ' (рг + 2р + 2)г ' ' ' рг(р + 2)г ' ' ' рг(2р + 1)' Ответы и указания 508 У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой интегрирования по параметру, а 1 р — а затем теоремой интегрирования оригинала. 14.43. — 1п— р †14.44. (р4 + 4рз + 2р — Зр)Х(р) — —.
14.45. (р' + брг + р — 2)Х(р) — 1. р г е е гр 1446 (рг+ 5р 7)Х(р) + — — ор — о 1447 — 14 48 р ' р 1' ' ' 2р(рг ! 1)' ре !г '! 1449.. Указание. п(1 — 1)1е' = еб(1 — 1)((М вЂ” Це' '+ е' '). '(, цг' ~/2 . р+1 14.50. — е 5г —. У к а з а н и е, и ~! — — ) гйп! = ц ~1 — -) — х 2 рг+1 ~ 4) ~ 4) 2 х (а!и (1 — — ) + сов ~1 — — )). 14.51. -(1 — е "'). 14.52.
-(1 — е "')е г . -гт -Зт 1 14.53. — (1 — е гт — е гкт+е згт). 14.54. (1 — е 2 )(1 — ре ~ ). /1 е л '1 1 2рге" 14.55. Ь ( - — ). 14.56. — + 4 . 14.57. < Положим (р+ )) "+ уо(1) = ' Тогда уз(1) =)(1)-Я-!))(1 — !) (поскольку ! У(1), 0<1<1, ~0, !<й )'(1) = у(1 — !) при 1 > ! в силу периодичности). Переходя к изображениям, отсюда находим го(р) = Г(р) — е "Р(р), где го(р) = ~с е'~(1) ~й. о 1 — е Рг 1 — е-Рг / о Д ря 1+е "' 14.59. стЬ вЂ”. 14.60.
Ь Йе "' Ь ср 14.62. 14.63. — 1Ь вЂ”. срг р(1 — е ес) срг 2 ' Следовательно, Г(р) Рт 14.58. р(1 — е ет) 14.61. — 1Ь вЂ” . А ср р 2 0 г 2 1 е 0 тат =е а ей 14.37. г г . 14.38. рг(рг + 4) рг(рг — 2р + 2)' о г' 14.39. — — !и ~1 — — у!. Указание. Воспользоваться теоремой интегрирования изображения, а затем теоремой интегрирования ориги- ! 11 1,+! 1,г+,„г нала. 14.40. — !п '(1+ -у!. 14.41.
— !и —. 14.42. — 1п )' .— ° "+(1г Ответы и указания 509 14.64... 14.65, . 14.66. р+,Зе-5в сСЬ рт (р +СУг)(1 — е-Ь) Р'+1 (Р-и)"' (р — а)л+' ~, Г(Сг+ 1) / р — а 1 (р+ щ)и-ьс + (р С1;)л-й ( г — постоянная Эйлера). 14.69. + 8 )е+С вЂ” ( — УС)~+ 14 70.— 14.71. (рг + С)г)втг ' ' ' рг + фг рагсС — †,9'С вЂ” — )п (р + Д ) г г 14.72. 14.73.. — е ~". 14.74. Сег. г + С)г )С р вг 14.75. -(ев' — е ').
14.76.р г'вЬС. 14.77. 1 — е ' — Се '. 14.78. С вЂ” япС. 4 3 1 1 14.79. -(1 — е г'совС вЂ” 4япС). 14.80. -(сЬ2С вЂ” совС). 14.81. -Сяп4С. 5 5 4 14.82. — ейг сов — С+ — яп — С вЂ” е ' . 14.83. — вЬСяпС. 1 14.84. г1(С вЂ” 2)(С вЂ” 2). 14.85. -гС(С вЂ” 2)(С вЂ” 2)ге 0 г>, 14.86. ег' + 2 + тС(С вЂ” 1) + я(С вЂ” 4) яп3(С вЂ” 4). 14.87. сов2С вЂ” 2я(С вЂ” 1) сЬ2(С вЂ” 1). Сг Сг» 14.88. ~~~ ( — 1)" 14.89. ~~~ ( — 1)" Ф о Сг ь1 вЬт 14.90 в — — гСт. 14.91.
~~ + 1))(2я+ 1) / т 14.92. е'1о(2Д). Указание. Применить теорему смешения к оригиналу, полученному в примере 4 из В 2. 14.93. е г'(совС вЂ” 2япС). гг 1 14.94. — ег' — — е ' — — сов2С вЂ” — яп2С. 14.95. 7 е""'. 14.96. — х 3 1 7, 1 х (сЬС вЂ” совС) — -(вЬС вЂ” япС).
14.97. — СсовС вЂ” — вшС+ — вЬ2С. 8 10 50 50 1, 1 2 С Ст/3 1 14 98. -С(вЬС вЂ” япС). 1499. — сЬС+ — сЬ вЂ” сов —. 14100. -Сг совС + 8 3 3 2 2 8 + -Сяпг. 14.101. -(е — е). 14.102.С вЂ” 2вЬС+СсЬС. 14.103. — х 1 8 2 '3 1 1 х (сЬ2С вЂ” сЬС). 14.104. — (сЬС+ совС) — — сЬСсовС. 14.105. х(С) = 10 5 Ответы и указания 511 14.126.
х(С) = е' — 1 — (С+!п2)(е'+1)+(е'+1) )и(е'+ 1). 14Л2Т. х(С) =- 4 2 2+соя! зСиС С вЂ” — агсС8 — + соя!!п ,Гз,Гз 3 14.128. х(С) /с С(х, С) = ~/ — х 'У' 1. 14.14Т.н(х, С) = гС(С вЂ” хЯС) = Еьты(С вЂ” х~/1.С), Гс, х у(С-хчгЬС) = Е~/ — з!иы(С вЂ” хЛС), С > хЛС. а Предполагая, что Ч1, н(х, С) и 1(х, С) и их производные как функции переменной С являются оригиналами, и обозначая У(х, р) =' и(х, С), Цх, р) еь С(х, С), получим дУ(х, р) д1(х, р) операторные уравнения = — ТрЦх, р), = — СрсС(х, р) дх дх и — е !' "' з|п т Нт (этот интеграл не выражается через злементарныс о функции). 14.129.
х(С) = Сь + Ст я!и С + Сз соя С + С, уь — — С4 + Сз я!и С— ся — Ся созС+ —. 14.130. х = Сь + Ся зЬС + Сз сЬС, у = С4 — Сз яЬ!в 2 — СзсЬС+ сЬС+ соьС. 14.131. х(С) = е', у(С) = — е'. 14.132. х(С) = = !соя!, у(С) = -Ся!пС. 14.133. х(С) = зшС вЂ” сояС, у(С) =- яСиС + + созС. 14.134.
х(С) = я!и!+ яЬС, у(С) = соя!+ сЬС. 14.135. х(С) = СЯ = 1 + —, у(С) = ! — е'. 14.136. х(С) = — я!пС, у(С) = — соя С, я(С) = я!и С. 14 13Т. х(С) = (1+С вЂ” сйп С вЂ” соя!)-26 (х — -) ((С вЂ” — ) — я!п (С вЂ” -)) + 2 2 2 + я(С-л)( — !+(С вЂ” л)+соя(С вЂ” л) — зСп(С вЂ” л)), у(С) = (1 — С+ятС вЂ” сояС)— — 20(С вЂ” — 1! С! — соз ! С вЂ” — 1!) + 0(С вЂ” л)(1+ (С вЂ” л) — ЯСп(С вЂ” л) 1 — соя(С вЂ” л)). 14.138. х(С) = -(сЬС+ созС вЂ” 2) — 6(С вЂ” л)(сЬ(С вЂ” л)+ 2 1 + соя(С вЂ” л) — 2) + -у(С вЂ” 2л)(сЬ(С вЂ” 2л) + соя(С вЂ” 2л) — 2), у(С) 2 1 1 = -(сЬ С вЂ” соьС) — у(С вЂ” л)(сЬ (С вЂ” л) — соя (С вЂ” л))+ — гС(С вЂ” 2л)(сН (С вЂ” 2л)— 2 2 — соя (С вЂ” 2л)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
