3 часть (1081356), страница 70
Текст из файла (страница 70)
3 3 12.174. Сходится абсолютно в области )г! < 4, сходится равномерно в области !х! < т < 4, в точках х = ж4 расходнтсн. 12.175. Сходится абсолютно в области )х! < 1. Сходится равномерно в области (г! ( т < 1; расходится на окружности )г! = 1. 12.176. Сходитсл абсолютно в области (х! < 1; сходится равномерно в области )г! < г < 1; расходитсн на окружности (х! = 1.
12.177. Сходится абсолютно во всей плоскости, равномерно — в любой ограниченной области. 12.178. Сходится абсолютно в области )г — 1! < 8; сходится равномерно в области !г — 1! < т < 8; в точках х = — 7 и х = 9 расходится. 12.1Т9.
Расходится во всех точках, кроме точки ео = 1. 12.180. Сходится абсолютно в области !х — 3! < т/3, сходится равномерно в области )г — 3! < г < х/3, в точках х = Зж ~/3 расходитсн. 12.181. Сходитсн абсолютно во всей плоскости, равномерно— 477 Ответы и указания в любой ограниченной области. 12.182. Сходится абсолютно в области )г — Ц < 1; сходится равномерно в области (з — Ц < т < 1; на окружности )з — 1! = 1 расходится. 12.183. Сходитсн абсолютно в области (з — 3! < 4; сходится равномерно в области )з — 3! ( т < 4; в точке х = 7 сходится условно, в точке х = — 1 расходитсл. На любом отрезке -1 < 1 < х < 7 сходитсн равномерно.
12.184. Сходитсн абсолютно во всей плоскости, равномерно сходитсн в любой ограниченной области. 12.185. Сходится абсолютно в области )з! < 2; сходится равномерно в области )з) < т < 2. В точке х = — 2 расходится, в точке х = 2 сходитсн условно. На любом отрезке -2 < 1 < х < 2 сходитсн равномерно.
12.186. Сходитсн абсолютно и равномерно в области (з( < 2. 12.187. Сходится абсолютно в области (з — 2Ц < 2, сходится равномерно в области ~з — 21! < т < 2. 12.188. Сходитсл абсолютно во всей плоскости, равномерно — в любой ограниченной области. 12.189. Сходится абсолютно и равномерно в обла- 1 сти (г+ г! < —. 12.190. Сходитсн абсолютно во всей плоскости, равнот/2 мерно — в любой ограниченной области. 12.191. Сходится абсолютно в области (з — 1~ < 9/4; сходится равномерно в области )з — Ц < т < 9/4; в точках х = -5/4 и х = 13/4 расходится.
12.192. Сходится абсолютно в области ф < е; сходитсн равномерно в области )з) < г < е; в точках х = же расходится. 12.193. Сходится абсолютно и равномерно в области )г — 3! < 1/~/2. 12.194. Сходится абсолютно и равномерно в области )с+ 3! < 1. 12.195. Сходится абсолютно и равномерно в области (з — 3! < < 1/2. 12.196. Сходитсн абсолютно в области )з + 3( < 1, сходитсн равномерно в области (с+ 3) < т < 1; в точках х = — 2 и х = — 4 расходитск. 12.197.
Сходитгн абсолютно в области )х! < 1; сходитсн равномерно в области )з! < г ( 1; расходится на окружности )з! = 1. 12.198. Сходитск только в точке з = 5. 12.199. Сходится абсолютно и равномерно в области )з! < 1. 12.200. Сходится абсолютно в области )з) < 1/2; сходится равномерно в области ф < г < 1/2; расходится на окружности (з! = 1/2. 12.201. Сходится абсолютно и равномерно в области )з — 2! ( 1. 12.202.
Сходится абсолютно и равномерно в области )з+ Ц ( 1 ъ'2 ~~ 1. 12207 ~~~ — (з1п2)", )з! <+со. 12.208. — ~ ~( — ц .ь1 и.' 2 и! я=о =о 478 Ответы и указания !х! < +оо. 12.209. 1 + — ~~а ( — 1)п ,, !х! < +со. 12.210. х + (2п)! ' и=1 з 16 О я + — ха + — хв +..., )2! < —.
Указание, радиус сходимости этого 3! 5! 2 ряда определяется путем применения следствия из теоремы Тейлора. 1 5 т 2 16 в 12.211. 1+ — 2~+ — 24+..., !х! < —. 12.212. х — — ха + — ха + ..., 2! 4! ' 2 3! 5! !2! < —. 12.213. 1+ 2 — — х — — 2 +..., ф < +со. 12.214. 1 — х + я 2 4 2 2 3! 4! 4 2п 1 па (2 )2п + — — ... + ( — 1)и — +..., !х! < +оо. 12.215. — г ( — 1)и+' 2! и! 2 ~-' (2п)! ' и=! 22!!+1 4псааз ! !2! < +со. 12.216. ~ ~( — 1)и,, !а! < 2. 12.217. ~ ( — 1)" л.=о 3 2 2 5.8...
(Зп — 4) !2! < —. 12.218. 3 — — — ~ ~ха!, !х! < 27. 4 27 п!3" п п=2 1 а х 1'3 4 л1'3 ° ° (2п 1) ~л 12.219, — 1 — — + 24 + + ( — 1)и 3 ~, 18 2 182 л!18и 7п+ 1 32+ 1 )2! < 3. 12.220. ~~а — 2", )х! < 2. Указание. 2"4 2 (х — 2)2 и=о СО = — (32 + 1) (у — . 12.221.
~~а (1+ ( — 1)и2и"')Х", !2! < 12 — 2) 2 л=о 2" ~(г! + 2) хгп 12.222. ~~ (-1)" 2", !х! < +ос. 12.223. ~ —, !2! < =о ( па диз-1 сю < +со. 12.224. ~~ ( — 1)и(2п+2), !2! <+оо, 12.225. ~~. ( — 1)и х и=о (2л+ 1!) ' п=о 24пз-1 1)аа+!2п 1 х,стиг!, (2! < +со. 12.226. ~ хла !х! < —; при (2л+ 1)! — л 2' аа=! 1 п х = — сходится условно. 12.227. !п2+ ~~~ ( — 1)л+'(1+ 2 и) —, !х! < 1: и=! (2 1) и Оп+1 при х = 1 сходится условно. 12.228. - + ~~ (-1)и 2п.л! 2п+1 п=! 2 и+1 < 1; при х = х1 абсолютно сходится.
12.229. ~ ( — 1)п 2п+1 (2л — 1)!! 22и+' !х! < 1; при х = х1 сходится условно. 12.230. 2+ ~~ 2пп! 2п+ 1 п=1 480 Ответы и указания 12.253. Указание. Представив /(2) в виде ряда по степеням (2 — а), т. г, в виде /(2) = ~~ сп(2 — а)", из непРеРывности /(2) в то1ке 2 = а Убеп=о диться в том, что со=О. Зто означает, что /(2) =(2 — а) ~~оп(2 — а)п ' = п=1 = (2 — а)/1(2), где /1(2) — аналитическая в круге ~2 — а~ < л функция и /1(зь) = О, й = 1, 2, ...
Отсюда вывести заключение, что с1 — — 0 и т.д. 12.254. Нет. 12.255. /(2) = 2/(2+ 2). 12.256. /(2) = 22. 12.257. д(2) = /(2) = 1/(2 — 2) в общей части кругов )2! < 2 и )2 — 1( < < 1/5. 12.258. д(2) = /(2) = )п(1+2) в общей части кругов (2( < 1 и )2 — 1 — 21( < 2ъ~2. 12.259. 10000 при х = 1 или 10 при х = — 0,5. 12.260.
Два члена, предельная абсолютная погрешность е < — ~ — ) 24 ~18) = 0,0000386 < 0,0001. 12.261. 0,0002. 12.262. !х! < 0,9067. 12.263. 0,002. 12.264. 1,6487. 12.265. 0,3679. 12.266. 0,5878. 12.267. 0,2094. 12.268. 0,5403. 12.269. 0,8269. Указание. Учитывая, что 1000 = = 318 3,1415926+1,5707963 — 0,5971963, приводим аргумент к величине 0,5971963 Е [О, и/4) и находим сбп 1000 = сбп (1,5707963 — 0,5971963) = = соз0,5971963. 12.270. 8,0411. Указание. ОО520 = (512+ 8)112 = 1УЗ 11'2 = 8 1 + †) . 12.271. 3,8730.
х/15 = х/Г6 — 1 = 4 ( 1 — †) 64) ' ' 16 Зх !" 12.272. 5,1437. Указание. ~/700 = (625+ 75)'1~ = 5 1+ — ) 25) 1+х 12.273. 0,6931. Указание. Использовать разложение 1и 1 — х Хгп 4.1 1 = 2 5 — прих = —. 12.274.0,5236. 12.275.0,9385. 12.276.1,1752. 2п+1 3 п=о хгп 12.277. 1,1276. 12.289. ~~1 (-1)п+' 2пг 2п 1-1 Х4п4-1 12.290. Ъ (-1)п * . 12.291. 7 (-1)п (2п + 1)! (4п + 3) ~~ (2п)! (4п + 1) (2„+ цП з -1 . 224-2 2" п!(3п+ 1) 12.293. ~ ~( — 1) 2214-1(5+ 1)151 п=о ьпо 2п-~-1 12.294. 1 (-1)п ,.
12.295. 0,2800. 12.296. 0,1991. (2п+ 1)(2п+ 1)! п=о Ответы и указания 481 12.297. 0,4802. 12.298. 0,6225. 12.299. 0,7714. 12.300. 0,9461. 12.308. Указание. 1 (гг+ 9)(а+ 1+ 1)(гг+ )г+ 2) 1/ 1 1 2 1,(43+ Й)(43+ lг+ 1) (гг+ Й+ 1)(гг+ Й+ 2) 12.309.Указание. Скг. задачу 12.308.
12.310.У|4азание. Разложение в степенной ряд функции )п(1+х) при х = 1. 12311. Указание, Разложение в степенной ряд функции агс18х при х = 1. 12.312. 1п2. 1 . гуУЗ 12.313. Уо(2). 12.314. е — 1. 12.315. — (п2. 12.316. в!гг1. 12.317. сов —. 2 3 1 12.318.ег. 12.319.1,0767. Указание. у — = Ц2) — ч(4)-~ ч(6)— пг!1 11=! ОО ОΠ— И8)+,'>. .
12.320. 4,3226. Указание. ~~2 с4пг — = ха 4,(2)— пв(пг + 1)' п у „г — — ч(4) + У ~вйп — — —,, + †. — ). 12.321. 0,5071, Уназание. 3 п угг 3 и4) — = ДЗ) — 2г,"(6) + 4 ~~ 1 1 из+2 пв(пв + 2) 12.322. 0,0939. УказаО=г О=1 ( — ц "~' = — ( 1 — -) 4,(2) — — ( 1 — -) 4,(3)+ — х п(5и+ 3) 5 3, 2) 25 3, 4) 125 (! )2441 —, г 4-1)" . 12.323. 3,1243 У„ 8) 125 и4 (5и + 3) ' 1 1 2/ 11 4 УУ 11 ние. ~ ~( — 1)О4 ~ — = — !п2 — — (1 — — ) Д2) + — ~1 — -) ч(З)— — — 1 1 — -! й4) + — ~ ( — 1)"+' 81 1, 8,/ 81 пв(333+ 2) /1 2 5 . 6... (4п + 1) (4п + 2) 12.325. у(х) = ~ О=о 2 3 6.7... (4п+ 2)(4п+ 3) 12.326. у(х) = ~~3 (Зп + 4)хв"+г, х Е К.
" (1.4.7...(З +1))г (Зп+ 2)! =о г 5 .в 3 .4 12.327. у(х) = 1+ 2х — — — — — — + ... 12.328. у(х) = 1 + х— 2 3 4 482 Ответы и указания хг хл хе хг хг хэ бхе — — — — + — +... 12.329. у(х) = 1+ — + — +— 3 6 45 2! 3! 5! б! ( 1) п1.1-1 12.330.
у(х) = ~ ~хгтп = 1 — е * 1~, х, 6 К. 12.331. у(х) = п|=1 2 '(т — 1)! — ' хг тг,х 6 К. 12.332.у(х)=х+- 2 ' ' х (2т+1)1 ' 2 ~-, (2т+1)!! гпп-1 ЭШ Х СОЯ Х х х +', х 6 К. 12.333. у(х) = С1 — +Сг —. Указание. Общее х х решение должно содерл1ать две произвольные постоянные, поэтому из равенств т(т + 1)ао — — О и (т + 1)(т+ 2)а1 — — О выбираем т = — 1, тогда оо ф О и а1 11 О. 12.334. у(х) = С1 соэ1/х+Сгащ1/х.
12.337. 1112(х) = = 1/ — Кпх, 1 112(х) = )/~ — соэх. Указание. Использовать равен- Ч ство Г а+ -) = „, 1/я. 12.338. у(х) = С11,(ах) + С21,(ах), если и — не целое число и у(х) = С11„(ах) + С2М„(ах), если и = ив целое число. 12.339. у(х) = С11о(2х) + С211о(2х). 12.340. у(х) = С11112(2х) + С21 112(2Х). 12.341. у(х) = С112(ХЛ) + С212(хт/3). 2 — 2 12.342. у(х) = С1111ь(ЗХ) + Сг1 11э(ЗХ).
12.343. 112 — 2! > 1; ' 2 — 3' 12.344. )г + 1! > 2; . 12.345. О < ф < +со; гге11'. 12.346. 1 < ' (г -,)г' < (2 — 1( < +оо; 1/22. 12.347. 1/3 < )2+1( < 1/2. 12.348. 2 < (х-21! < 3. 12.349. ф > 1/е. 12.350. )2+ Ц > 1/4. 12.351. 1/2 < (г! < 1/3. 12.352. — — ~ ( — 1)"(2 — 1)", О < !г — Ц < 1; у у( — 1)"+ 2 — 1 (2 1)п-1-! ' 1 1 < (г — 1( < +ос. 12.353.
~~ —, )г( > 1. Указание. Произвесгп' п=2 1 ти замену 2 = 1/и и разложить по степеням и. 12.354. 5(2 — 2) 5" — — (-1) 1 ), О < )г — 2) < 5; ~~ (-1)в к=о В=о 1 1 12+31 (2 — 2)>5. 12355.— — — ~ ( ),0<(2+3)<5; 5(2+3) 25 „~ ~, 5 5" 4" 1 , (г+3( > 5.
12.356. — ~ „, )г! > 2. 12.357. —— а=о я=о Ответы и указания 483 1 1 — 2 ~ ~(» — 1)к, О < )« — 1) < 1; + 2 ~ , (» — 1~ > » — 1 (« — 1)к" « к=о к=о > 1. 12.358. + 2 ~ ~( — (« — 2)«к + (« — 2)«к+'), О < /» — 2/ < 1; « — 2 к=о 1 2 1 (, 2),к (, 2)«к+~,~ — + 2~~~ 1 — ~, (« — 2( > 1. 12.359. ««С «к' к=о к=1 1 < ф < +оо. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
