3 часть (1081356), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Эти функции называются координатными. 5. Прямые методы вариациониого исчисления. Обычные методы вариационного исчисления, при использовании которых задача минимизации функционала сводится к интегрированию уравнений Эйлера- Лагранжа, как правило, приводят к трудоемким вычислениям и поэтому нвлнютсп малоэффективными.
Приближенные численные методы, дающие непосредственное решение вариационной задачи, называютсн прямыми меглодами вариаиионного исчисяен я. Основная иден прямых методов заключаетсп в том, что варнационнал задача рассматривается как предельнал для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Наиболее известными среди них пвлпются меп!оды Рооп!а, Канторовича и Г леркина. Следует отл!етитсн что прямые методы вариационного исчислении квллютсп также и приближенными методами решения краевых задач дифференциальных уравнений.
М с т о д Р и т ц а. Пусть требустсп найти минимум функционала Гл. 17. Методы оптимизации 460 На функциях вида (31) функционал (30) превращается в функцию, зависяшую ат и переменных С!, См ..., Сьл У(у (х)) = Ф(С!, Ст, ..., С„). Значения С!, Ст, ..., С„выбираются так, чтобы функция Ф(С!, Ст,..., ..., С„) достигала зкстремума, т.с. С!, Сз,..., С„определяются из системы уравнений дФ вЂ” =О, л=1,2,...,п. дС! (32) При найденных из системы (32) значениях С,", 1 = 1, 2, ..., и., приближенное решение вариационной задачи (30) запишется в виде п у„*(х) = ч!о(х) + ~ ~С р,(х). 1=1 (33) Вопросы сходимости минимизируюшей последовательности (у„"(х), х Е И) являются сложными.
Они изучаются в специальной литературе. Для оценки точности результатов, полученных ллстодом Ритца или другими прямыми методами, обычна пользуются следующим практическим правилом. Вычислив у„*(х) и у„'л!(х), сравнивают их между собой в нескольких точках отрезна [о, б]. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой вариационной задачи (30) равно у„*(х). Если же значения у,',(х) и у„*л!(х) хотя бы в некоторых из выбранных точек отличаются значительно, та вычисляют у„'л (х) и сравнивают теперь значения у„*л!(х) и у„*лз(х).
Этот процесс продолжается до тех пор, пака значения у„"ч л(х) и у„'лл лл(х) не совпадут в пределах заданной точности. Пример 12. Найти зкстремаль функционала ,У(у) = / (у' + у' + 2 у) с1х о (34) уз(х) = Сл(х~ — х) + Сз(х~ — х~) у,'(х) = С!(2х — 1) + Сз(Зх~ — 2х). (36) (36) при граничных условиях у(0) = О, у(1) = 0 методом Ритца. з Полагаем до(х) = О. В качестве координатных функций выбираем ~рл(х) = хье' — хл, Й е И. Эти функции удовлетворяют граничным условиям рь(0) = !рь(1) = О. Выберем и = 2. Тогда в соответствии с (ЗЗ) г 6.
Вариационное исчисление Пасло подстановки (35) и (36) в (34) и интегрирования получим 2 11 1 2 Ф(Сы Сг) = у(уз(х)) = Сг~ + — СзСз + — Сз — — С! — Сг. 30 30 7 6 10 Воспользовавшись необходимыми уславилми экстремума функции Ф(СО Сг), находим дФ 11 11 1 — = — Сз + — Сз — — = О, дС~ 15 30 6 (37) дФ 11 2 1 — = — Сз+-Сг — — =О, дСз 30 7 10 Решал систему (37), получим С; = 69/473, Сз = 7/43. Следовательно, приближенное вьгражение уз(х) для экстремали у(х) имеет вид уз(х) = — (х — х) + — (х — х ) = — (77х — 8х — 69х). 69 з з 1 з 473 43 473 В данном случае сушествует точное решение поставленной задачи: у(х) = (е' — е ') — х. Сравним полученное методом Ритца приближенное решение уз (х) и точное при некоторых значениях аргумента; Сравнение показывает, что точное и приближенное решенип совпадают с точностью до 0,0002, с.
В задачах 17.456-17.460 методом Ритца найти приближенное решение задачи об экстремуме указанных функционалов; 17.456*. /[у(х)) = (у' +уг+ 2ху) Нх, у(0) = у(2) = О, а г г 17.467'.,У(у(х)) = ху'г — ' уг — 2хгу г(х, 1 у(1) =у(2) =О, о=2. Гл. 17. Методы оптимизации 462 17.458*.,7[у(х)] = (у' — у — 2ху) дх, у(0) = у(1) = О, д 2 д 2 17.459*. Уи(х, у)[ = — + — г(хну, !э Р = ((х, у)[х 3 О, у ) О,х + у < 1), и[г = х2 + уз,и = 3. 17.460*.,7[и(х, 1/)) = ~ — ) + [ — / — 2и г(х Иу, дх ду 0 Р = ((х, у)! — 2 < х < 2, — 2 < у < 2), и[го — — О, и = 2 Метод Канторовича. Этот метод применяется для приближенного решения вариационной задачи, когда функционал зависит от функции нескольких переменных. Пусть ди ди''! Э[и(х, у)[ = Р х, у, и, —, — ! Йхйу, ' дх' ду( (38) Р = ((х, р)~а (» х < Ь, а!(х) < р < оэ(х)), и[го = ф(х, р).
Прн применении метода Ритца к функционалу (38) (см, задачи 17.459-17.460) выбирается следуюшая система координатных функций: !ро(х, р), ~р!(х, у), ..., Ч!„(х, у). Решение ишется в виле в и„(х, р) = е!а(х, у) + ~ Сьу!ь(х, р), ! — ! где Сь — - неизвестные постоннные. В методе Канторовича выражение для экстремали берется в виде и„(х, р) = ~ иь(х)рь(х, р), ь=! (39) где иь(х) — неизвестные функции, определяемые таким образом, чтобы функционал (38) достигал экстремального значения. Отыскание реше- ния в виде (39) позволяет расширить класс экстремалей. 17.461. Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального уравнения уп + хэу = х., у(0) = у(1) = О.
Определить у,*(х) и у2(х) и сравнить их значения в точках х = 0,25 и х = 0,5. 6. Вариационное исчисление 463 ,У[и„(х, у)] = Ф(х, иг(х), ..., и„(х), и,(х), ..., и'„(х)) дх. а Функция и,*,(х), 6 = 1, 2,..., и, должны удовлетворять системе уравне- ний Эйлера-Лагранжа с( Ф ° — — Ф ° =0 е„' ( и," ,— х 6 = 1, 2, ..., п, в приближенное решение и*„(х, у) вида (39) — заданным граничным условиям на прямых х = а й х = 6.
Пример 13. Методом Канторовича найти экстремаль функционала ,У[и(х, у)] = — + — — 2и Пх Пу, (40) В где В = ((х, у)[ — а ( х ( а, †( (у ( 6),и[г = О, и = 1. Решение будем искать в виде иг(х, у) = иг(х)(6 — у ). Граничные условия на прямых у х 6 выполняются. После подстановки и1(х, у) в (40) и интегрирования по у получаем а 3[и|(х)] = ( ( — Ь и' + -Ь и — -Ь и1 Их. ГГ16г,г 8гг 8г /115 ' 3 ' 3 — а Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид 5 5 и",(х) — — иг(х) = — —. 26г 46г' Находим общее решение этого уравнения: и1(х) = С1 сЬ |/2,5 — + Сг зЬ |/2,5 — + 0,5.
Постоянные С1 и Сг определяем из граничных условий, т.е. и1( — а) аг -г = иг(а) = О, откуда Сг = 0 и С,* = — (2 сЬ |/2,5 — ) После подстановки (39) в (38) и интегрировании полученного выражения по у получается следующий функпионал: Гл. 17. Методы оптимизации 464 Окончательно получаем следующее приближенное выражение длн экстремали функционала (40): .х сл |/2,5— и",(х, у) = и,'(х)(5' — у') = 0,5(5' — у ) 1 — а сЬ |/2,5— В задачах 17.462 и 17.463 найти приближенное решение метода Канторовича. Положить и = 1: 17.462*. У'(и(х, у)) = (и",~+ и'„'т — 2и) Пхну, где Р В = ((х, у)цх! < 1, )у! < 1), и)г = О.
17.463*..7(и(х, У)] = (~и~с + й~ — 2хУ) Пхг)У, где Р В = ((х, у)/О < х < 1, О < у < 1), и/г = О. Метод Галеркина. Этот метод применнетсн длн отыскания приближенных решений как вариационных задач, так и краевых задач длн обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, в частности, уравнений Эйлера-Лагранжа. Пусть неизвестнан функция и(Р) удовлетворяет в некоторой области Р следующей краевой задаче: Х(и(Р)) = у(Р), Р Е С, Г(и(Р)) = О на у (у — граница С).
Здесь Ь вЂ” некоторый линейный пифференциальный оператор, à — линейный оператор граничных условий. Приближенное решение краевой задачи (41) ищется в виде суммы где сь — неопределенные коэффициенты, рв(Р) — система линейно независимых непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям. Обозначим бу невнзку бу = Ци„(Р)) — у(Р).
Коэффициенты сь определнютсн из условно ортогональности в области Р невязки бу к функциям ~рь(Р), х = 1, 2,..., и; (Ци„(Р)) — ~(Р))рь(Р) г)Р = О, к = 1, 2, ..., и. (42) о з 6. Вариационное исчисление 465 Так как оператор Ь линеен, то (42) запишется в каноническом виде, удобном для вычислений с;: ~ йю О') ьь ээ л' = ~ ! ( Р э ээ л', с с или в виде где ~,(Р) г— е Цу,(Р)). Э а м е ч а н и е. Моя~но использовать ортогональность невязки к другой линейно независимой системе функций фь(Р) выбираемой из удобства вычислений получаемых интегралов (см.
решение примера 14). Пример 14. Найти экстремаль функционала 1 ,У(у) = (у' — 2ху) Нх е при граничных условиях р(0) = О, р(1) = О. а Составить уравнение Эйлера Р— — Р = О, имеем Ых Ву = у(х), т.е. уо = — х. (43) Краевые условия остаются прежними; у(0) = О, р(1) = О. Исходная задача сводится к эквивалентной краевой задаче: у" = — х, р(0) = О, р(1) = О. Решение будем искать приближенно методом Галеркина, записывая ис- комую функцию в виде у(х) = х(1 — х)(А+ Вх) = Ах(1 — х) + Вх (1 — х), (44) где у~ (х) = х(1 — х) и уэ(х) = х~(1 — х).
Вычисляя ув и подставляя в левую часть уравнения (43), запишем выражение для невязки б: бу = — 2А + В(2 — бх) + х. Вместо условий ортогональности невязки бу' к функциям у~ (х) и дэ(х) коэффициенты А и В определены из условия ортогональности бу к функ- Гл. 17. Методы оптимизации 466 циям чч(х) = 1 и фт(х) = х (функции бч(х) и фт(х) линейно незави- симы на [О, 1] с у~ (х) и ут(х): 1 1 1 А — 24х+В (2 — бх)дх = — хбх, о о о (45) 1 1 1 А -2хдх+ В (2 — бх)дх = — х с(х.
о о о Вычисляя интегралы в (46), получим систему уравнений 2А+ В = 1/2, А + В = 1/3. Решая зту систему относительно А и В, получим А=1/б, В=1/б. Подставив найденные коэффициенты А, В в формулу (44), найдем иско- мое приближение для зкстремали: 1 .(1 .2) у*(х) = -х(1 — х) + -х (1 — х) = б 6 б Заметим, что в данной задаче найденное приближение совпадает,с точ- ным решением у = х(1 — хт)/б. с Методом Галеркина найти решение следующих вариационных задач. Ограничиться приближениями искомой зкстремали в виде у„(х) = ~р(х)(ао + о~х+ азх + + а„х"), где 1о(х) выбирается из условия выполнения граничных условий, ап=1: 17.464.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
