3 часть (1081356), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так как множество Хо состоит иа единственной точки х~о~ = О, то найдем только Вз(0) и ий~'(О): В1(0) = щах (Вз(0+ и00) +,71(иф~)). оо>е(о; 4!Ое |о ) Напомним, что символом (а) обозначается полая часть числа а. 5. Дискретное динамическое программирование 431 Для опрелеления максимума в правой части последнего равенства составим таблицу 5.6 значений функции Лт(О,ий~) = Вз(и(О) +,У1(ийй), которые найдем с помощью таблиц 5.1 и 5.4. Таблица 5.6 Из таблицы 5.6 видно, что Вг(0) = 20, причем и01'(0) = 1 или и(О'(0) = 2, т. е. в данной задаче сушествует два оптимальных управления и две оптимальные траектории.
Этап П (безусловная оптимизация). Ш а г 1. а) Пусть и01* = 1. Тогда хн~' = хш~' + ини = 1. б) Пусть он~* = 2. Тогда х01' = хш>' + ин~' = 2. Ш а г 2. а) Для хО~' = 1 имеем и~т~* = и~з~'(1) = 2 (см. таблицу 5.5), х<4' = хй~* + и~т1* = 3. б) Для хО~' = 2 получаем и~т~" (2) = 1 (см. таблицу 5.5), х~т~' = = х~О" + и<т~* = 3. Шаг 3. Так как для обеих оптимальных фазовых траекторий х~т~* = 3, то из (31) находим и~з1' = и~з>'(3) = 1, х~з~" = х~т1' + + и~з~" = 4. Окончательно получаем й* = (1, 2, 1) или й* = (2, 1, 1) и соответственно х' = (О, 1, 3, 4) или х' = (О, 2, 3, 4). Таким образом, существуют два оптимальных варианта распределения средств предприятиям.
Первый вариант: первому предприятию выделяется 1 млн руб., втором — 2 млн руб. и третьему — 1 млн руб. торой вариант; первому — 2, второму — 1 и третьему — 1 млн руб. В обоих случаях суммарный доход препприятий составит Вг(0) = = 20 млн руб. 1> В условиях задачи 17.340 решить задачи 17.350 — 17.352 об оптимальном распределении средств предприятиям со следующими исходными данными: 17.350. Я = 5 млн руб., М = 4.
Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 1 млн руб. Функции,уь(и), й = 1, ..., 4, заданы следующей таблицей: Гл. 17. Л!етоды оптиивзации 432 17.351. Я = 5 млн руб., Х = 5. Средства распределяются в количествах, кратных 1 млн руб. Функции Уь(и), й = 1,..., 4, заданы таблицей из условия задачи 17.350, а функция Уа(и)— следующей таблицей: 17.352.
Я = 100 тыс. руб., М = 4. Средства каждому предприятию выделяются в количествах, кратных 25 тыс. руб., но не могут превосходить 50 тыс. руб. Функции Уь(и), й = 1, ..., 4, заданы следующей таблицей: В условиях задачи 17.341 решить задачи 17.353-17.357 об оптимальном выделении средств предприятию в течение М лет со следующими исходными данными: 17.353. Я = 500 тыс. руб., М = 4.
Средства, выделяемые в течение каждого года, кратны 100 тыс. руб. Функции,4(и) представлены в таблице. 17.354*. Найти решение задачи 17.353, если начальная сумма Я а) уменьшена на 100 тыс. руб.; б) увеличена на 100 тыс. руб. при следук~щих дополнительных данных о прибыли предприятия при выделении ему в течение й-го года средств в размере 600 тыс. руб.; з 5. Дискретное динамическое программирование 433 17.355. Я = 400 тыс. руб., М = 4. Выделяемые в течение Й-го года средства кратны 20 тыс.
руб. и не могут превосходить 200 тыс, руб. грункции Уь(и) заданы таблицей 17.356. Я = 300 тыс. руб., Ж = 3, функции,уа(и), У4 = 1, 2, 3, определяются следующим образом: а) .71(и) =,Уз(и) = Уз(и) = 10 — 10 з (и — 100)~; б) Х1(и) = Яг(и) = 24 — 6 10 4(и — 200)~,,7з(и) = 16 — 4 х х 10-4(ц 200)т 17.357. Я = 150 тыс. руб., Лг = З,,Х~(и) = 0,12и, Ут(и) = = 0,0012и~, Лз(и) = О,Зби — 0,0024ит, 17.358. Найти решение задачи 17.342, если М = 3, Я = 9. 17.359. Найти решение задачи 17.342 с произвольными исходными данными.
17.360. Найти решение задачи 17.343, если и (и) = си, с > О. 17.361. Найти решение задачи 16.343 при следующих исходных данных: и (и) = 0,1и~, А = 5, а = 4, М = 3. 17.362. Найти решение задачи 17.344, если и'(и) = си, с > О, Азо > 5 17.363. Найти решение задачи 17.344 при следующих исходныхданных: Г(и)=0,1и~,А=5 а=4,5=5,М=З.
17.364. Найти решение задачи 17.345 со следующими исходными данными: М = 4, Я = 200 тыс. руб, Уг(и) = О,Зи, .7т(и) = 0,4и, Х1(и) = 0,8и, Яи) = 0,5и. 17.365. Найти решение задачи 17.345 при следующих исходных данных: М = 3, Я = 120 тыс. руб., У1(и) = 0,4и, Яи) = = О,би. Выделение средств предприятиям происходит в количествах, кратных 20 тыс. руб., а функции,Х4(и) и,уз(и) заданы следующей таблицей: 434 Гл.
17. Методы оптимизации 17.366. Найти решение задачи 17.346 со следующими исходными данными: Р = 10, )з' = 4, а = О. Коэффициенты сгь и Д, Й = 1, ..., 4, представлены в таблице: Считать, что к концу рассматриваемого периода база должна быть освобождена от продукции. 17.367. Найти решение задачи 17.346 при следующих исходных данных: Р = 12, )1( = 4, а = 5. Значения коэффициентов ггь, )Уь, й = 1, ..., 4, приведены в условии задачи 17.366.
Считать, что к концу рассматриваемого периода на базе должно остаться 4 т продукции. Используя результат решения задачи 17.349, решить задачи целочисленного линейного программирования 17.368-17.371 методом динамического программирования: 17.368. Р(н) = — 4и(г) — Зи(т) — ~ ппп, 4и(1) + и(э) < 10, 2и(~) + Зи(э) < 8, и00 и(-) >О и(') и(г) ЕЯ. 17.369. Р(п) = -и(1) — и(э) -+ пнп, 2и(1) + Зи(э) < 5, и(1), и(~) > 0; и(~) и(э) ~ У. 17.370.
Р(н) = — 9и(1) — 11и(э) -+ пнп, иО) <5 4и(1) + Зи(~) < 10, и(~) + 2и(~) < 8, и(') и(э) > 0; и(1), и(э) е Ж. 17.371. Р(п) = — и(1) — 2и(э) — Зи(з) — + пнп, би(1) + 4и(') + Зи(з) < 25, 5и(') + Зи(э) + 2и(з) < 15, и(~) >О; и(~) ЕЖ, Й=1,2,3.
17.372. Имеется 7 т сырья, пригодного для производства изделий трех видов. Для изготовления одного изделия каждого вида требуется соответственно 1, 2 и 3 т сырья. 3 6. Вариационное ис гигление 435 Расходы Уь (и) на производство и изделий й-го вида, гс = 1, 2, 3, приведены в таблице (значения,уь(0) характеризуют штраф выплачиваемый в случае, если изделие Й-го вида нс производится): Спланировать выпуск изделий так, чтобы затраты на их производство были минимальны. 17.373. Судно грузоподъемностью 10 т загрулгается контейнерами трех типов. Массы контейнеров различных типов и стоимости грузов в них составляют соответственно 860 кг, 720 кг, 600 кг и 516 руб., 360 руб., 240 руб. Найти количества контейнеров каждого типа, которые необходимо загрузить, чтобы стоимость грузов на судне была максимальной. 17.374.
Имеется 9 однотипных станков, каждый из которых можно наладить на производство изделий одного из трех видов. Зависимость количества изделий каждого вила, изготовленных за смену, от количества станков, занятых для их производства, приведена в таблице: Найти количество станков, которые необходимо использовать для изготовления изделий каждого вида, чтобы общее число произведенных изделий было максимальным. 3 6.
Вариационно е исчисление 1. Предварительные сведения. Простейшая задача вариациаинага исчисления. Существует ряд прикладных задач оптимизации, в которых качество выбранного решения не удается охарактеризовать с помощью целевой функции. Числовой показатель качества в этих задачах зависит Гл. 17. Методы оптимизации 436 от функции (а не от одной илн нескольких переменных), определить которую необходимо так, чтобы этот показатель принял минимальное или максимальное значение. Числовыми показателями в указанных задачах являются функциоиальь Определение. Если каждому элементу у = у(х) множества С из некоторого функционального пространства Х поставлено в соответствие определенное, число у, то говорят, что на множестве С С Х задан функционал .7(у) = — у[у(х)!. В качестве функциональных пространств Х в вариационном исчислении используются пространства С„[а; 6), которые определяютсн следующим образом. Линейное нормированное пространство С„[а; 6), и = О, 1,..., состоит из функций у(х), имеющих на отрезке [а; 6] непрерывные производные УОО(х) до и-го порядка включительно "), с нормой [[у[[„= ~~ твх [у~ 1(х)[.
ве(ы Ь! Расстояние р(уы уэ) между функциями (кривыми) уг(х) и уэ(х) в пространстве С„[а; Ь] определяется формулой я Р(уы уэ)п [[уг уз[[я ~ твх ]ус (х) уг (х)] я О 1 (в1 ОО вг(ы 6) в=о Пусть функция у*(х) й С„[а; Ь) и г > Π— произвольное число. Множество функций (кривых) у(х) б С„[а; 6), для которых выполняется неравенство Р(у ~ У)я < г~ называетсн г-окрестностью и-го порядка припой у" (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
