3 часть (1081356), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Говорят, что функционал 7[у(х)] достигает на кривой у*(х),локального или относительного минимума (максимума), если для всех у(х) из некоторой с-окрестности кривой у*(х) выполняется неравенство э'[у'(х)] < э'[у(х)] (,7[у'(х)) > э'[у(х)]). (1) Локальные минимумы и максимумы функционала,У[у(х)) называются его локальными экстремумами. Если (1) выполняется для всех кривых у(х), принадлежащих некоторому множеству С С С„[а; 6], то говорят, что на кривой у'(х) достигается абсолютный экстремум функционала 7[у(х)] на множестве С. Пусть функционал э'[у(х)] определен на множестве С с Сс[а; 6]. Функции у(х) б С можно рассматривать не только как элементы пространства Сс[а; Ь), но н как элементы Со[а; 6]. Локальный экстремум н ) Под производной у~~~(х) нулевого порядка здесь понимается сама функция у( ) 6.
Варяационное исчисление 437 у(а) = уо, у(6) = у„ (2) найти ту функцию, на которой достигается слабый экстремум функцио- нала д[у(х)] = Г(х, у, у') дх. а (3) Другими словами, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании на множестве всех гладких кривых, проходящих через точки Мо(а, уо) и ЛХ1(6, у1), той кривой, на которой функционал (3) достигает слабого экстремума. При ре~цении простейшей задачи вариационного исчисления используется следующая теорема. Теорема 1. Для того чтобы функционал (3) достигал на функции у(х) б С1[а; 6] слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера (4) Решения (интегральные кривые) уравнения (4) называют экстремалями функционала (3).
Уравнение (4) в развернутом виле записывается следующим образом: уо(х)Г„„+ у'(х)Ров + Г,„— Го — — О. Если о'„„фО, то оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравйение второго порядка, поэтому его общее решение зависит от двух произвольных постоянных, которые находятся с помощью граничных условий (2). Отметим, что так как всякий сильный экстремум функционала является и слабым, то теорема 1 дает необходимое условие и сильного экстремума функционала (3).
Кроме того, так как абсолютный экстремум функционала (3) на мно- жестве С = ((х) б С1[а; 6][у(а) = уо, у(6) = у1) (5) функционала д[у(х)] в пространстве Со[а; Ь] называется сильным, а в пространстве С| [а; Ь] — слабым локальным экстремумом. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, а обратное, вообще говоря, неверно. Отметим, что всякий абсолютный экстремум функционала д[у(х)] является сильным и слабым локальным экстремумом, но не всякий локальный экстремум будет абсолютным. Сформулируем простейспую задачу вариационного исчисления.
Пусть функция Р(х, у, г) имеет непрерывные частные производные' до второго порядка включительно по всем своим аргументам. Требуется среди всех функций у(х) б С1[а; 6], удовлетворяющих граничным усло- виям Гл. 17. Методы оптимизации 438 является и локальным экстремумом (сильным и слабылэ), то теорема 1 определяет необходимое условие абсолютного экстрсмулга функционала (3) на множестве (5). Таким образом, решение краевой задачи à — — г' =О, ~(х р(а) = ро, р(5) = д1 позволяет найти все кривые возможного экстремума функционала (3) на множестве функций (5). Пример 1.
Найти гладкие экстремали функционала ,У[у(х)[ = (у' — 12ху) дх, о удовлетворяющие граничным условиям у(0) = О, у(1) = 1. з В данном случае Г(х, у, у') = у' — 12хр, поэтому уравнение Эйлера(4) гз имеет вил Ув + бх = О. Его общее Решение У(х) = — хз + Сгх + Сэ. Из условий у(0) = О, у(1) = 1 получаем систему уравнений для определения С1 исэ: р(о) =с, =о, д(1) = -1+ с, + с, == 1, откупа находим С1 — — 2, Сэ — — О. Следовательно, в рассматриваемой задаче существует единственная экстрсмаль у(х) = — хэ + 2х, г Решение задачи (б) существует не всегда, а если оно существует, то может быть не единственным.
Пример 2. Найти глалкие экстрсмали функционала .У[у(х)[ = у[ (2х — р)у Нх, 1 удовлетворяющие граничным условиям у(1) = 1, р(2) = 3. З Уравнение Эйлера имеет вид х — у = О. Так как функция р(х) = х условию у(2) = 3 не удовлетворяет, данная задача нс имеет решений. Пример 3. Найти гладкие экстремали функционала Л .7[у(х)] = ~ (у' — р~) Нх, о удовлетворяющие граничным условиям р(0) = 1, р(я) = — 1.
Гл. 17. Методы оптимизация 440 17.384.,7(у) = (у' + у~ — 4уа)ах) г)х; у(0) = О, у(6) = уы о 17.385. Показать, что функционал (р(х)у'+ гу(х)у + гх)~)г1х, а где р(х) Е С~(а; 6], о(х), г(х) Е Со(а; 6), не имеет экстремумов. Уравнение Эйлера (4) не всегда интегрируется в квадратурах, а в ряде случаев его решение может вызвать затруднения. Перечислим частные случаи, в которых решение уравнения Эйлера упрощается по сравнению с общим случаем. 1. Функция Г из (3) не зависит от у', т.с. Г = Г(х, у).
Уравнение (4) в этом случае принимает вид Г„(х, у) = О. Это конечное (н( дифференциальное) уравнение, его решение не содержит произвольных постоянных и, следовательно, удовлетворяет условиям (2) только в исключительных случаях. 2. Функция Г зависит только от у'. Г = Г(у'). Уравнение Эйлера принимает вид Гэ э у" = О, а его общее решение у(х) = С~х+С .
Таки~ образом, в данном случае экстрсмалями функционала 7[у(х)] являются всевозможные прямые. 3. Функция Г не зависит от у, т. е, Г = Г(х, у'). Тогда уравнение (4) 8 записывается в виде — Г (х, у') = О, откуда получаем первый интеграл 4 д уравнения Эйлера Г„(х, у') = См т.с. дифференциальное уравнение первого порядка, решив которое, найдем экстремали функционала. 4. Функция Г нс зависит явно от х, т.е. Г = Г(у, у'). Уравнение Эйлера принимает вид Гэ — Г„„у' — Г„э д" = О или (послс умножения обеих частей этого равенства на у ) — (à — у Г ) = О, откуда получаем бх первый интеграл уравнения Эйлера à — у'Г„= Сн Это дифференциальное уравнение первого порядва можно пройнтсгрировать, разрешив его относительно у' и разделив перемснныс, или путем введения параметра.
Найти экстремали следующих функционалов у(у), удовлетворякэщие указанным граничным условиям; 17.388, .У(у) = (2ев .— у ) дх; у(0) = 1, у(1) = е. о 1 17.387. Л(у) = (е™ вЂ” у — е4пх) дх; у(0) = О, у(1) = — 1. о 2 6. !Уариационнос исчисление 441 17.388,,/(у) = у' г!х; 9(0) = О, 9(1) = 1. 0 1 Г,„/1+ !/2 17.389.,/(9) = /, г!х; у( — 1) = О, у(1) = 1. 1/ -1 3/2 17.390.,/(9) = (р' + 2х) г!х; 9(0) = О., р — = 1.
~,2/ о 1 17.391.,/(9) = (х!/'+ у' ) г!х; 9( — 1) = 1, 9(1) = О. — 1 2 17.392.,У(9) = х"у' г/х, и Е И, и ~ 1; 9(1) = 1 — и 1 21-и Р(2) =, (у — !/~ ) г!х; 9(0) = у(1) = О. о 1 Г 1/1/'г/х; у(0) = 1, у(1) = т/4. 0 л/2 (29 + у~ — р'~) г!х; у(0) = 9 ( — ) = О. 0 17.393..У(у) 17.394.,У(у) 17.395.,У(р) В ряде случаев существование абсолютного экстремума функционала (3) на множестве функпий (5) и сто характср (минпмум или максимум) бывают очевидны из фиаическпх или геометрических соображений.
В таких случаях необходимое условие экстрсл1ума, сформулированное в теореме 1, позволяет найти функцию у(х), дающую абсолютный минимум или максимум фушсционалу (3) на множестве (5). !! р им е р 4, Найти гладкую кривую на плоскости, соединяющую две данные точки И/о(а, А) и М~(6, В) и имеющую минимальную длину. 442 Гл. 17. Методы оптимизации З Длина луги гладкой кривой, описываемой уравнением у = у(х) н проь ходящей через точки с абсцнссами а и Ь, равна 11 1+ у' дх.
еэ а Поэтому данную задачу можно сформулировать следующим образом: найти функцию у(х), минимизирующую функционал (6) в удовлетворяющую условиям р(а) = А, у(Ь) = В. Уравнение Эйлера для этой задачи имеет вид у" (х) = О, откуда у = Сьх + Сэ. Найдя Сь и Сэ из условий на функцию 9(х) при х = а и  — А х = Ь, получим р(х) = (х — а) + А, т. е. необходимое условие эксЬ вЂ” а тремума функционала (6) выполняется на прямой, соединяющей точки Мо и Мь.
Из геометрических соображений лспо, что среди гладких кривых, соединяющих данные точки, кривая минимальной длины должна существовать, а кривая максимальной длины — нет. Поэтому упомянутая прямая и лвллется искомой кривой. (> 1Т.396. Материальнан точка перемешается вдоль плоской кривой У = 9(х), соединнющей точки Мо(а, А) и Мь(Ь, В) со скоростью о = йу'. Найти гладкую кривую, времл движения вдоль которой из точки Мо в точку М~ будет минимальным.
17.39Т. Решить задачу 17.396, если Мо = (О, 0), Мь — — (1, 1), о=х. 17.398. Среди гладких кривых, соединяющих точки Мо(0, 1) и Мь(1, 1), найти ту, котораа при вращении вокруг оси Ох образует поверхность наименьшей плошади. 17.399*". Задача о брахистохроне. Найти гладкую кривую, соединяюшую' точки Мо(0, 0) и М~(хы 9~), при скатывании вдоль которой под действием силы тнжести материальная точка, зафиксированная первоначально в точке Мо, переместится в точку М~ за минимальное время (трением и сопротивлением воздуха пренебречь).
2. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. Ниже рассмотрены два обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. Первым из них являетсл задача на экстремум функционала 1(у(х)], зависящего от производных высших порядков функции у(х): Э 6. Вариационное исчисление 443 где функция Г(х, у, ..., урй) имеет непрерывные частные производные вплоть до (н + 1)-го порядка по всем аргументам, а у(х) б С„1а; Ь]. Граничные условия в этой задаче имеют вид »У(о) = Уо У (о) = Уо У (ц) = Уо (8) У(Ь) = Уы У01Я = »д~ ~~, ..., 1»~"1(Ь) = »д»0'~. Приведем обобшеш»е теоремы 1 применительно к рассл»атриваеь»ой задаче. Теорема 2. Дяя того чтобы функционал (7) достигал на функции у(х) е С„]а; Ь] локального экстремума, невыход»»мо, чтобы эта функция удовлеп»воряяа уравнению Эйлера -Пуассона дэ дп Р, — — Г, <1~ + —.
Р оо — ° . + ( — 1) в — Е ео = О. (9) »1х и дха дхч Подобно случаю простейшей задачи вариационного исчисления, решения уравнения 19) (экстрсь»али функционала (7)), удовлетворяюшие 'граничць»га условиям (8), являются кривыми возможного абсолютного экстремума этого функционала на множестве С = 1»д(х) Е С„1о; Ь]]у(а) = уо, ", у~"~(о) = уо, у(Ь) = уы ." (и)]Ь) (в)) П р и м е р 5. Найти экстремали функционала д]у(х)] = (120ху — ув) дх, о удовлетворяющие граничным условиям У(0) =У'(О) =О, У11) =1, У'(1) =б. З Запишеь! уравнение Зйлсра-Пуассона: У1»» = 120х. Его обшее реше- ние У(х) = х + С»х~ + Сгх~ + Сзх+ С».
Отсюда с помощью гРанич- ных условий получаем систему уравнений для определения постоянных С1,, С».' С»=0, Сэ=О, С» + Сг + Сз + С» = 01 ЗС» + 2Сэ + Сз = 1, из которой находим С» = 1, Сг = — 1, Сэ = С» — — О. Поэтому экстремум функционала может достигаться на кривой у(х) = хь + хз — хг. С 444 Гл. 17. Методы оптимизации В задачах 17.400-17.411 найти все зкстремали функционала ,У(у), удовлетворяющие указанным граничным условиям: 1 17.400. У(у) = уи сЬ; у(0) = у(1) = у'(1) = О, у'(О) = 1. о 1 17.401.,У(у) = (48у — уи ) Ыт; у(0) = у'(0) = О, у(1) = 1, о у'(1) = 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
