3 часть (1081356), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1 17.402.,У(у) = (уп — 24ту))Ь; у(О) = у'(0) = О, у(1) = —, о д'(1) = 1. иУ2 И.4ОЗ. ~)1) = У аи — Р')И; Р)О) =Р'(О) = ~, Р(-) = —, о у'Я =О. ь 17.404.,У(у) = (уи + у' ) 11Х; д(0) = у'(0) = у(Ь) = у'(О) = О. о 1 17.405.,У(у) = е *уи Нх; у(0) = О, у'(0) = 1, у(1) = е, о у'(1) = 2е. 17.406.,У(у) = (т+ 1) уи гУж; у(0) = 1, у'(0) = — 1, у(1) о 1, 1 2'' 4 т/2 ~ыи.~)р)=у )~ й~ *)~*;иа)=~,р)о)=~(1) о =О,у'(-) =-1.
З 6. Вариационное исчисление 445 1 17.408. 3(у) = уо' с1х; у(0) = у'(0) = уо(0) = О, у(1) о у'(1) = 4, уо(1) = 12. 1 17.409. Я(у) = (уо' — уо )Их; у(0) = уо(0) = О, у'(0) о у(1) = уо(1) = э)г 1, у'(1) = с)11. 17.410.,У(у) = (уо' — уо )Их; у(0) = у'(0) = уо(0) о у(к) = к, у'(к) = 2, уо(к) = О.
17.411. У(уг) = (уо' — у' ) гЕх; у(0) = у'(0) = уо(0) у() () ', () +. = О, = О, Другим обобщением простейшей задачи вариационного исчисления является задача об экстремуме функционала, зависящего от нескольких функций: д[уг(х), ..., у„(х)] = Е(х, уг(х). .. у„(х), у[(х), ..., у„'(х))сЕх, (10) где функция Р(...) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем своим аргументам и уь(х) Е Сг[а; Ь], й = 1, ..., и. Граничные условия в этой задаче имеют вид ув(а) = у„, ув(Ь) = у,, й = 1, ..., и.
(11) д Ä— — Р„=О Ь=1,... я. (12) Теорема 1 для данного случая обобщается следуюгцим образом. Теорема 3. Для того гтобьг набор функций уг(х), ..., ун(х) Е Е Сг[а; Ь] досглаоллл слабый экстремум функционалу (10), необходимо, чтобы эти функция удоелс~георяли системе диффене нци,альных ураенений Эйлера Гл. 17. Методы оптимизации Пример 6.
Найти функции у1(х) и уз(х) Е С1(а, Ь], на которых мозвет достигаться экстремум функционала к/г ./(У1(х), рз(х)) = (у1 + уг + 2 — 2У1уз) Пх о прп граничных условиях рз(О) = угО) = О, у1(т/2) = уг(л/2) = 1. 0 Систез1а уравнений Эйлера илзеет вид у~з~+рг = О, р,,"+у, =О. Исключая из второго уравнения функцию уз = — у,, получим 1/1~ и, РΠ— у1 — — О. Общее решение этого уравнения имеет вид у1(х) = С(е* + + Сзе * + Сз соз х + Сз гйп х.
Отсюда находим Уг(х) = — У" (х) = — Сзе* — Сге *+ Сз созх+ С1гйпх. Из граничных условий следует, что С1 = Сз = Сз = О, Сз = 1, ПОЭТОМУ р1(Х) = З1П Х, уг(Х) = 8!П Х. Ск В задачах 17412-17.419 найти функции у((х) и уг(х) Е С( [а; Ь], на которых может достигаться экстремум функционала /(у(, уг) при указанных граничных условиях: к/2 17.412../(У( Уг) = (У( +Уг +2р(уг)с(х; у((0) = уг(0) = о = О, у((зг/2) = 1, уг(зг/2) = — 1. ( 17.413.,/(у(, уг) = (у( + уг — 2У(уг) с/и; у((0) = уг(0) = О, о у((1) = зП1, уг(1) = — е!11.
к/2 17.414../(у(, уг) = (у(уг — у(уг) с/х; у((0) = рг(0) = О, о у((11/2) = 1, У2(зг/2) = -1. 1 17.415.,/(У(, Уг) = (У(У2+ У11/2) г/х; У((0) = Уг(0) = О, 'о у((1) = е, уг(1) = 1/е. З б. Вариационное исчисление 447 1 17.416. 7(уг, уг) = (У1уо+ бху1+ 12х ут) г)х; у1(0) =уз(0) = о = О, у,(1) = у,(Ц = 1. з 17.417.
У(у1, уо) = (ху1 + ут + хугуо) г]х; У1(1) = 1, ут(1) = 1 = ут(3) = О, у1(3) = !п 3+ 1. 17.418.,7(у1, ут) = (у', — у~а + 2угут+ 2У1 сов х+ 2ут) г[х, о у1(0) = — 1, уз(0) = уг(п) = О, 111(п) = 1 + и. 1 17.419.,7(у1, уз) = (у1 +уч +2уг)дх, у1(0) = ут(0) = 1, о у1(1) = 3/2, уэ(1) = 1. 3. Задачи с подвижными границами. В задачах вариационного исчисления с подвижными границами в отличие от ранее рассмотренных задач граничные условия на функцию у(х), х Е [а; Ь] на концах отрезка [а; Ь не зафиксированы. ростейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами состоит в определении функции у(х) Е Сг[а; Ь] и точек хо, хг Е [а; Ь], хо < хг, для которых функционал гг ,у[у(х)] = г'(х, у, у~) сГх во (13) достигает слабого 'э) экстремума при условиях у(хо) = уо(хо) у(х1) = Фг(хг).
(14) 12 ) Напомним, что слабым называется локальный экстремум в пространстве Сг [а1 Ь]. В задаче с подвижными границами нв кривой у (х) с абсциссами концов хо и х] функционал (13) достигает локального экстремума в С~ [о; Ь], если существует число е > О такое, что для всех кривых У(х) Е Сг[о; Ь] и точек хо и хм удовлетворяющих неравенствам ]]у* — у]]г < «, ]х„" — хо] < е, ]х[ — хг] < ж справедливо Г[у'(х)] <,у[у(х)) (локальный минимум) или у[у" (х)] ) .7[у(х)) (локальный максимум), (ЗдесыРо(х), сэг(х) Е Сг[а; Ь], г(х, У, «) — заданные фУнкцин и Е(х, у, «) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем аргументам.) 448 Гл.
17. Методы оптимизации Эту задачу можно сформулировать и следующим образом. Пусть на плоскости заданы гладкие кривые 7)) у = Ро(х) и уг) у = »))(х). х б [а; Ь]. Требуется найти такую гладкую кривую у = у(х), которая соединяет какую-либо точку кривой 7) с какой-либо точкой кривой уг и доставляет слабый экстремум функционалу (13). Приведем обобшение теоремы 1 для простейшей задачи варнационного исчисления с подвижными границами. Теорема 4.
Для того чтобы функционал (13) достнгал на функции у(х) б С) [а; Ь] слабого экстремума при условиях (14), необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера Р— — Г» 0 г(х и условиям трансверсальности (15) Таким образом, для определения экстремалей в простейшей задаче г подвижными границами необходимо найти обшее решение у(х, С), Сг) уравнения Эйлера, после чего из условий (15) и уравнений у(хо, С), Сг) = 'Ро(хо), у(х), С), Сэ) = эо)(х)) (15) определить постоянные Сг и Сг и концы отрезка [хо, .х)]. Если на одном из концов искомой кривой у(х) задано обычное граничное условие (у(а) = уо или у(Ь) = у)), то условие трансверсальностн (15) следует записать только для другого конца кривой. Частным случаем задачи с подвижными границами является задача, в которой задана абсцисса одного из концов кривой у(х), например хг = Ь, но граничное условие для х = Ь отсутствует.
Это означает, что граничная точка (Ь, у(Ь)) кривой у(х) может перемешаться по вертикальной прямой х = Ь, и вместо второго условия трансверсальности (15) следует записать естпесгпвенное граничное условие (17) Пример 7. Найти экстремали функционала в следующей задаче г подвижными границами: я) 3)у)*)) = 1» ) +»' »*; »)* ) =* » 2, у),) = яО < Так как функция уг(х, у, у') = ~/1+ у)~ зависит только от у', то обшес решение уравнения Эйлера имеет вид у(х) = С) х + С . (18) З 6. 12ариацнонное исчисление 449 Запишем условия трансверсальности (15): т/1+ у'2+ (2х — у') /1+уз с ! Ф + у'2 + (1 - у') — —, 1+ у" Из (18) находим у'(хо) = у'(х1) = С1.
Отсюда с учетом равенств (16) получаем систему четырех уравнений для определения С1, С2, хо и х1 „/1 + С2 + (2хо — С1 ) = О, ,/1+ С2 ь/Г+ С2 + (1 — С1 ) = О, /1+ С2 С1хо + С2 = хог + 2 С1х1 + С2 — — х1, решив которую, находим С1 = — 1, С2 — — 11/4,хо = 1/2, х1 — — 11/8. 11 Следовательно, уравнение экстрсмали имеет вид у(х) = — х + —, 1 11 ХО = -, Х1 = —. 2' 8 Отметим, что функционал /[у(х)] в данной задаче с подвижными границами представляет собой длину дуги кривой между точками (хо, у(хо)) и (х1, у(х1)), поэтому геометрический смысл этой задачи состоит в определении гладкой кривой минимальной длины, соединяюшей параболу у = х2 + 2 и прямую у = х.
Найденное решение позволлет определить расстояние л между уцазанныыи параболой и прямой: 11/8 Я = 1+ ( — 1)2 4/х = — = т/2. 7 8 1/2 Пример 8. Найти экстремали функционала в следующей задаче: ./[у(х)] = (у' — у )дх, у(О) = 1. о О В этой задаче отсутствует граничное условие при х = т/'4, следовательно, правый конец кривой у(х) может перемешаться по прямой х = и/4, и необходимо использовать естественное граничное условие (17) . 450 Гл. 17. Методы оптимизации Уравнение Эйлера имеет вид до+ у = О, а его общее решение у(х) = = С) совх+ Схсйпх.
Из условия у(0) = С) —— 1 находится постоянная , ггрт, л гг С), а из условия (17) 2у' ~ — ) = — ейп — + Сз сов — = 0 — постоянная 'г4р' 4 4 С~ = 1, откуда у(х) = сов х + гбпх. > Найти зкстремали функционала в следуюгцих задачах с подвижными границами: х) 1Т.420.
У(у) = у' )1х; у(0) = О, у(х)) = -х) — 1. о хг 1Т.421. У(у) = у' г)х; у(0) = О, у(х)) = 1 — х) о хг гг.ргг. г)р) = ) р)г гр р" рх р)р) = р, р) ,) = — ,. 1 х) о хг гр.ргг. 3)р) = ) р)гррррхр(щ)= г,р( )= — 5. о цг 17.424. 7(у) = (у — у' ) дх; у(0) = О. о 1 17.425.,7(у) = (у' + д) р1х; д(1) = О. о х/2 17.426.,7(у) = (у' — у ) г1х; у(0) = О. о хг 1Т.427. У(у) = (у' + у ) дх; у(0) = О, у(х)) = 1. а ),/Г+ у' 17.428.,7(у) = / дх; у(0) = 1, у(хв) = х) — 1. у о х/4 17.429.,7(у) = (у' — у + 4усовх) сЬ; у(О) = О.
о Э 6. Вариационнос исчисление 451 К задачам вариационного исчисления с подвижными границами относится и задачи Больна, состоящая в определении функции у(х) Е С1 [а; 5], доставляющей слабый экстремум функционалу д[у( )] = Р(х, у, у') дх+ у(у(а), у(У)), (19) где у(и, о) — заланная функция, имеющая непрерывные производные поиис. Необходимое условие экстремума функционала (19) формулируется следующим образом. Теорема 5. Длл того тиобы убуикиионал (19) достигал на функиии у(х) Е С|[а; 5] слабого экстремуми, необходимо, чтобы зти 1буикиил удиилетаорлли уравнению Эйлера Р,— — Г =0 и ( ц и условиям трансвсрсальности для задачи Больна Ä— =О, Ги + — =0 (20) Условия (20) используются для определения постоянных С~ и Сэ из общего решения у(х, Сы Сг) уравнения Эйлера. П р и м е р 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
