3 часть (1081356), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Длина любого участка МгМг струны в момент времени ! выражается формулой я2 г ~М!Мг~ = 1+ — !1х, т1 г /д ! атаккак ~ — ! аа О то )МгМг! хг — х! —— Ьх. Согласно второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на участок струны МгМг, равна по величине и по направлению вектору ускорения этого участка, умноженному на его массу. Вычислим все силы, действующие на этот участок. Плотность распрепеления внешних сил обозначим через Р(х, 1), тогда внешняя сила, действующая на МгМг, равна г(х, 1)Ьх. Далее, силы натяжения Т! и Тг, действующие на концах М! и Мг, направлены по касательным к дугам в соответствующих точках. Из малости колебаний и из того, что равнодействую- щая атих сил вызывает только вертикальные перемещения, заключаем, что горизонтальная составляющая равнодействующей равна нулю, т.е.
— Т, сояа! + Тгсояаг = О. Так как сова! сояаг 1, то отсюда выводим равенство Т! = Тг = Т. Следовательно, вертикальная составляющая сил натяжения дается выражением Те!наг — Тя!па! и сумма всех сил Еы, м„действующих на участок М,Мг, равна Ем,м, = Т(я!пах — жпа!) + Р(х, 1)Ьх. Но в момент времени ! а = а(х) = асс!пи'„а потому я!пах яп!а! я!па(х! + Ьх) я!па(х!) = сова(х! + 9 гдх)(а(х! + гдх) — а(х!)) = = сова(х! +бах)(агс!би',)',! я д Ьх = (О<В<1, О<В! <и. 524 Ответы и указания При наших предположениях сова(хг +дух) 1 и (и,') ~,, в О. Таким образом, ГМ1м Т г Ьх + Р(х 1) Ьх (В) дги(хс + 61 Ьх, 1) С другой стороны, считая участок М1Мг материальной точкой (при до- статочно малом Ьх), имеем дги гм,м, — Рьхх.
(ьь) Приравняв согласно закону Нькпона выражения (э) и (ьь) и переходя к пределу при Ьх -+ О, для искомой функции и(х, г) получаем дифференциальное уравнение и,", = — и,", + -Р(х, 1). ~> 16.2. Найти функцию и(х, г), определенную при 0 < х ( 1, и 0 ( 1 < +ос, являющуюся решением уравнения дги г дги 1 — = а — + -Г(х, г) д1 дх (аг = Т/р, Т вЂ” натяжение струны, р — плотность струны, Г(х, 1)— плотность распределения внешних сил) и удовлетворяющую условиям и(0, 1) = и(1, 1) = 0 (граничные условия), и(х, 0) = ~р(х), (начальные условия). ди(х, 0) д1 16.3. Найти функцию и(х, г), определенную при 0 < х < 1 и 0 < 1 < дги гдги г г Т < + ос, являющуюся решением уравнения — = аг — ~аг = —, Т— дтг дхг ~ р натяжение, р — плотность струны) и удовлетворяющую условиям и(1,1) =О, (граничные условия), ди(0, й) дх и(х, 0) = ~р(х), (начальные условия).
ди(х, 0) дг Ответы и указания 525 Указание. Граничное условие при х = 0 получить из отсутствия на атом конде внешней силы и, следовательно, равенства нулю силы натя- ди(0, ~) женин Т, пропорциональной ' . 16.4. Напряжение и(х, $) и сила дх тока ((х, 1) в точках линии в любой момент времени г должны удовле- творять волновому уравнению да (х,~) д' (х,С) ( )д (х'С) ЛС ) дхт д~т + + дС + з Рассматриваем двухпроводную линию как систему равномерно распределенных индуктивностей, сопротивлений, емкостей и утечки Ркс. 50 (см.
рис. 50). Согласно первому закону Кирхгофа (алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю) имеем г(х, с) — г(х+ Ьх, с) = С Ьх — + С Ьхи(х, г), ди дп где С Ьх — — ток через конденсатор, а С Ьхи(х, г) — ток утечки. Раз- дх делив это равенство на Ьх и переходя к пределу при Ьх -ь О, получим уравнение дг(х, с) ди(х, г) Далее, согласно второму закону Кирхгофа падение напряжения и(х, г) на участке между х и х+ Ьх состоит из падения напряжения на индуктив- д((х, с) ности ЬЬх и из падения напряжения на сопротивле- дс Ответы и указания 526 нии ССС5хС(х, С), т.е. и(х, С) — и(х+ Ьх, С) = С Ьх + СССьхС(х, С).
дС(х, С) Разделив на Ьх и переходя к пределу при Ьх — > О, получим уравнение ди(х, С) дС(х, С) (эв) Уравнения (*) и (**) называются уравнениями длинной линии. Исключая из зтих уравнений С(х, С), приходим к уравнению д~и д~и ди — = ЕС вЂ” + (ЬС + ВС) — + СССи, дхг дСг дС (в в в) а исключая и(х, С) — к уравнению д21 дг( дС вЂ” = Х,С вЂ” + (ЬС+ ССС) — + НОС. дхг дСз дС (в в в в) Уравнения (* в *) и (* * л *) называют также телеграфными уравнениями. с 16.5. Найти функции и(х, С) и С(х, С), определенные при 0 < х < < + со и 0 < С < +со, являющиеся решениями уравнения д в(х, С) д~ю(х, С) дхг дСг и удовлетворяющие условиям (начальные условия), и(0, С) = Ео, (граннчные условия) и(+оо, С) = С(+со, С) = О (условия при х = +со следуют из физических соображений).
16.6. Найти функцию и(х, С), являющуюся решением уравнения и(х, 0) = у(х), С(х, 0) = ф(х) ди дги — =а— дС дхг Ответы и указания 527 и удовлетворяющую условиям и(х, 0) = ио (начальное условие) и(0, 1) = ио, (граничные условия), и',(1, 1) + у[и(1, г) — ср(г)] = 0 где 7 — коэффициент теплообмена между стержнем и средой. У к а ван- нее. Для получения граничного условия при х = 1 заметим, что коли- чество теплоты, проходяшей через конец стержня за время Ьг, равно ди Ьд = -Iс — Я гз|, где Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня, а дх,, й — коэффициент теплопроводности материала стержня.
С другой сто- роны, Ьд пропорционально произведению разности температур и(С 1)— — <р($) на площадь Я и на времн Ьг, т. е. сну = 6[и(1, т) — ~р(г)]з' гзг, где я ) 0 зависит от качества теплоизоляции конца стержня от окружающей Ь среды. Сравнивая оба выражении для Ьд и обозначая т = —, приходим й' к написанному граничному условию. 16.7. Пусть система координат вы- брана так, что ось Ог параллельна образующей. Область, ограниченную кривой Ь в плоскости Оху, обозначим через О. Найти функцию и(х, у), которая длн всех точек М(х, у) Е Р удовлетворяет уравнению дги дги — + — =О, дхг дуг т.
е. нвляетсн гармонической в области О, а на границе области, т. е. на кривой Ь, удовлетворяет условию и(х, у)[ = у(х, у), где у(х, у) — заданная на Е непрерывная функция. Для установивди шегосн теплового процесса — = О. 16.8. Гиперболический, и~' — — О. д1 4я 16.9.
Параболический. Выбирая С(х, у) = 2х — у и п(х, у) = х, после преобразования получаем уравнение и"„+ Зи'„= О. 16.10. Эллиптический, и'„'„+ и'„', = О, где д(х, у) = — Зх — у = Пес(х, у) и и(х, у) = 2х = = 1ш((х, у). 16.11. Параболический. Выбирая ~ = /у — ~/х и ц = х, дти после преобразования получаем уравнение — = О. 16.12. ПараболичедЧ2 528 Ответы н указания ский. Выбирая ( = хг + уг, О = х прн б ф г1~, т. е. при у ф О, получаем 2( дг„ уравнение и" + и' = О.
При у = 0 имеем уравнение — = О, а чч ~,г с О г при х = 0 — уравнение и'„', = О. 16.13. В области Р = ((х, у)(х ф О, у ф ф 0) гиперболический, и „вЂ” г и — и„= О. ри х = 0 нли у = 0 параболический. 16.14. В области Р = ((х, у)!х > > О, у > 0) эллиптический, и~с + и'„'„= О. При х = 0 или у = 0 параболический. 16.15.
Гиперболический, и~'„— — О. 16.16. В области 1 Р = ((х, у)!х ф О) гиперболический, и" — (и' — и'„) = О. б(с — О) При х = 0 параболический. 16.17. В области Р = ((х, у)(х ~ О) эллиптический, и" + и" + — и' = О. При х = 0 параболический. зу " 16.18. Параболический. Выбирая с(х, у) = у/х и г!(х, у) = у, после преобразования получаем уравнение и'„'„(б, г!) = О. 16.19.
и(х, у) = = ~р(4х — у) + Ф(х — у), где !г(и) н гу(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. г Выбирая Ях, у) = 4х — у и г!(х, у) = х — у, приводим уравнение к виду и~ — — 0 (см, задачу 16.8), последовательно интегрируя которое, находим и~ — — !ао(б) н и(я, г!) = / яго(4) ~К + + ь(у) = чг(у) + г(г(гг). Подставив сюда выражения для б(х, у) и у(х, у), получим искомое решение. 16.20.
и(х, у) = ф(2х — у)е г*+ у(2х— — у), где ~р(и) и Ф(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. 16.21. и(х, у) = хсг( /у — ~/х) + Ф( /у — ~/х), где !г(и) и Ф(и)— произвольные дважды дифференцируемые функции. 16.22. и(х, у) = = Ф(у — х+соях)+Ф(у — х — соях), где Ф(и) н Ф(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. 16.23. и(х, у) = сг ~ — г! у + !У ~ — г!, ~х~ х где у(и) и Ф(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. х ебп х соя аг — аг соя х я!и а! 16.24. и(х, 1)— хг аз1г х я1п х соя а1 — ат.соя х я!и а! 1 1 + (х + а!)г 16.25. и(х, г)— + — !и хг агат 4а 1+ (х — аг)г 1! х+! х — ! 16.26.
и(х, 1) — — ~ г + г + сйпхсбпг. 2 (1+ (х+ г)г 1+ (х 1)г 1 2 (1+ (х+ !)г 1+ (х — 1)г Ответы и указания 529 -С- (х ь С)т 16.28. и(х, С) = е С* +' ) сЬ 2хС+ — !п Х2 12 1 1 4 1 + (х — С)т 16.29. Если О < С < —, то 2а' 1 -(х+ аС) 2 1 — аС 21 — х и(х, С) = 1 С вЂ” -(х — аС) 2 О 1 -(х+ аС) 2 1 1 — -(х+ аС) 2 С вЂ” аС и(х, С) = 1 -(х+ аС) 2 1 С вЂ” -(х — аС) 2 О Если — < С < +со, то а и(х, С) = Если — < С < — то 2а а' 1 -(х + аС) 2 1 С вЂ” -(х+ аС) 2 1 2 -(х — аС) 1 С вЂ” -(х — аС) 2 О при — аС < х < аС, при аС<х<С вЂ” аС, при 1 — аС < х <1+аС, при 1+аС<х< 21 — аС, при 21 — аС < х < 21+ аС, при остальных х. при -аС <х <1 — аС, при 1 — аС<х<аС, при аС<х< 21 — аС, при 21 — аС < х < С+ аС, при С+ аС < х < 21+ аС, при остальных х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
