3 часть (1081356), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Для аппроксимации граничных условий в узлах (О, п) и (Й, и) привлечем еше узлы вертикальных рядов, соответствуюшие т = — 1 и из = (с+ 1 (см. рис.53), и запишем следующие соотношения: иц — и 1п 25 + б!пио,п пп~ иьт㠄— иь — цп + огпий, п — Гп. (пп) Схема (*) имеет второй порядок аппроксимации на решении, обладающем ограниченными четвертыми производными, з Заменим входяшие Ответы и указания 557 Рис. 53 Разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальное уравнение задачи 16.122 в узлах (О, и) и ((с, п), имеют вид Ао,пно,п+~+Во,пцо,п-г+ Со,пвцп+Во, и-цп+Ео,пио,п=уо,п, Ат,пил,птг+Вь,пиь,п г+Сь пиььцп+ Вь,пиь цп+ Еьживп — — уд„.,п.
Исключая из этих уравнений и г „, иь.ьг и с домошью выражений (**), получим Ао,пио, и+Во,пио, -г+(Со,о+Во, *)иц .+(Ео, *+2(г5н 0о,. )ио,п = = Уо,п+25Во, Хцп~ (и "' и) Аь,пиь пег + Вь пиь и ~ + (Ст,п + Вь,п)иь цп+ + (Еь,п — 266гпСь, )цып = уж — 26Сь, Ег,п. Значения решения в узлах (О, 1) и ((с, 1) определяются из (* * и) црн п = О. Исключая величины ио ы иь г с помощью начальных усло- иом — ио, г ныл - иь, вий ' ' = гро, ' ' — — ф„, получим выражения для 2т ' 2т определения ио ы ив г: (Ао, о + Ва о)ио г = Уо о + 2тВо офо + 21с0о,офо— — (Со,о + Во,о)рг — (Ео,о + 2ЬбгоВо, о)~ро, (Аь,о + Вь,а)иь, г = Б,о + 2тВь,огра — 2ЬСь,оГо— — (Сь,а + Пь,о)уь-г — (Еыо — 2"бгоСь,о)~рь. с> Ответы и указания 558 16.126.
Порядок аппроксимации равен двум. Указание. Длн замены частных производных и,"и, и,"„использовать ревностный оператор из задачи 16.108. Положить т = Ь. 16.127. 1) 1 1(1 Л 1 Ип1,п-1-1 ~ + 1) И~п,п + Пп!-1,п~ Тли!, = ЛЬ ' Ь~,,Л ) ' Ь ,о, 2) Шаблон изображен на рис. 54. 4) Схема неустойчива при любом Л.
16128 1) Сли1, = о — ЛЬ" "" Ь |Л !" " )"'" '"' !э и и.,о. 2) Шаблон тот же, что и в задаче 16.127. 4) Схема устойчива при Л < 1 пт,о~ 2) Шаблон изображен на рис. 55. 4) Схема неустой'Рп~. Ьв чива при любом Л. 16.130. Схема устойчива при условии т < 2ит ль! ж ! п! т жь! Рис. 55 Рис. 54 16.131.
Схема устойчива при любых Ь, т. 16.132. Схема устойчива при условии ит < Ь. 16.133. Схема всегда устойчива. 16.134. Прого- н! п Ьч1„ ночные коэффициенты Я! „= — ', Н1 „—— ~1,. — ж1,п ' !У1,п — ж1,п 559 Ответы и указания и = 1,..., э. Значение решения на правой границе, необходимое для обратной прогонки, ог,пН«,п + АФг и«,„= п = 1, ..., э.
сгг,1(1 Я«,п) + Мг,п з Аппроксимируем граничные условия задачи 16.134 разностными соотношениями и㠄— ио,п +А ио,, = Фц„ и* „— и«цп сгг,п ' А ' +)гг,пи«,п = Фг„„п =О,..., э. (пп) Полагая в формуле (25) т = О, запишем следующее равенство: («п«) ио,п = Юц.иц ° + Нц„, п = 1,..., э. Сравнивая равенства (*) и (* * и), получим начальные значения прого- ночных коэффициентов оцп ЬФ, „ 'пцп Ад 1 Нцп Для обратной прогонки необходимо знать значение решения на правой границе и« „. Для определения этого значения запишем равенство (23) в узле (Й, и): (и и и и) и«-цп = 0«.~-пи«, п + Н«,п я=1, ..., э. Заметим, что все прогоночные коэффициенты определены по формулам (24).
Сравнивая равенства (** *и) и (*и), получим систему линейных уравнений Ф:,.и«,.-и«,„= Н ,« + Мг,«)и« „ — сгг,«и« , „ и« „получим как решение этой системы. ~> Ответы и указания 560 16.135. 6 = 0,02; т = 0,01; 16.136. 6 = О, 01; т = О, 01; 16.137. 6 = 0,02; т = 0,01; 16.138. Ь = О, 01; т = О, 01; Ответы и указания 16.139. 0 = О, 02; т = О, 01; 0,80 1,20 0,0 0,40 1,60 2,00 16.140. 6 = О, 02; т = О, 01; 16.141. 6 = О, 02; т = О, 01; 16.142. Ь = О, 02; т = О, 01; 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00 5,00 5,30 5,65 6,19 7,26 9,61 6,60 6,79 6,98 7,15 7,32 7,57 8,20 9,80 8,39 9„99 8,58 10,17 8,74 10,33 8,89 10,46 9,01 10,57 11,40 11,59 11,77 11,92 12,04 12,03 13,00 13,12 13,18 13,18 13,09 12,87 Ответы и указания 562 16.143.
Ь = О, 01; т = О, 01; 16.144. 5 = О, 02; 16.145. й = 0,02; 16.146. Ь = 0,02; Ответы и указания 16.147. Ь = О, 02; Глава 17 17.1. сГ' = У 17.2. 1У* = 10, 1). 17.3. сГ' =, Й 6 )ч 1 2/с — 1 ' 17.4. ЬГ' = [-1; 1). 17,6. /. = О. 17.7. /. = — со. 17.8. /. = — оо. 17.9. /. = — л/2.
17.10. /. = — со. 17.11. а) /. = — со; б) /. = О. 17.20. [ — 1; О), (О; Ц, [1; 2]. 17.21. Ь = 2,5. 17.22. Да. 17.23. Указание. Воспользоваться результатом задачи 17.19. 17.25. х' = 1,4142, = 2,8284. 17.26. х' = 1,156, /* = 0,6609, 17.27. х* = 0,6605, /' = — 0,4501.
17.28.х* = 0,6565, /" = 1,4653. 1Т.29. х' = 1,6702, /* = = — 33,5064. 17.30. х' = 1,2963, /" = — 1,7557. 17.31.х' = 0,8241, /" = = — 1,6421. 1Т.32.х' = 3,3532, /' = — 47,1447. 17.33. х' = 1,8411, /* = М Ь вЂ” а — б = — 6,0016. 17.34. бв < — (Ь вЂ” а).
17.3Т. и > 1обт 17.38. Да. 2н 2е — б 17.39. Мд = 32, зУ„= 100001; зУ„/Фд — — 3125. Указание. Использовать результат задачи 17.37, полагая б О. 1Т.40. х = 1,2599, /' = 1,8899. 17.41. х' = — 4,4934, /' = — 4,8206. 1Т.42. х* = 1,6030, — 2,1376. 1Т.43.
х* = — 0,7549, /' = — 3,6347. 17.44. х' = 0,3822, /" = — 3,7491. 17.45. х' = 1,7556, /' = 2,4154. 1Т.46. х* = = 0,3684, /* = 2,4154. 17.47. х = 4, /' = — 8,9169. 1Т.48. х' Л-1 — 1,5, /' = — 1,6519. 17.51. б) хз — а = Ь вЂ” хз = (Ь вЂ” а). 2 1752 г5д = ~ 1753 Хд = 32 за = 24' Лд/за (,/=-й" ' 2 = 1,33. 17.54.
х' = 0,7071, /* = 2,8284. 17.55. х' = — 0,6823, /' = — 0,5814. 17.56. х* = -2,2340, /' = 61,1806. 17.5Т. х* = 0,6488, Ответы и указания 564 1 (хго>) 1 — 3,( (о)) 4 2 4 — 1, Г'(х60) 3 1 1 1, Г'(х~о~) = 5 1Т.113. Г1 = 17.114. г., = 17.115. Я = 17.116. Я = 17.117. а) х00 = (0,0611; — 0,1389), г(хггг) < г(х®); б) хО> = ( — 1,4881; — 2,0181), г(х0>) = г(хааа>); в) х0) = ( — 3,6945; -4,6945), г(хОг) > Г"' = — 2,3675. 1Т.58.
х' = 0,5110, Г"' = — 2,5054. 17.59. х' = — 2,3247, г"' = — 7,7290. 17.60. х' = 1,5160, у ' = 20,4415. 17.61. х' = О, г"' = — 3. 1Т.62. х' = 0,7339, у" = 1,6796. 17.65. а) Ь = 5; б) Ь = 135. 17.67. у' = 1,152 х 10 з. 17.68. г"* = — 10,006. 17.69. г"* = 0,523. 17.79. г" = 2,387. 1Т.71. Г"* = 1,393 х 10 з. 17.73. а Уравнение касательной к графику у(х) в точке (хо, ((хо)) имеет вид о = Г'(хо) + + ('(хо)(х — хо). По формуле конечных приращений У(х) = ((хо) + + у'(с)(х — хо), где с заключено между х и хо. Поэтому ((х) — у = = (('(б) -г" (хо)](х — хо) > О, так как г'(х) не убывает.
с . 17.76. х* = 1, Г'" = 1, 17.77. х' = 0,4502, Г"* = -0,2325. 17.ТВ. Г'" = -0,3855, Г"' = = 0,7852. 17.79. х" = О, г'* = -1. 1Т.ВО. х' = 0,6501, г"' = 1,6951. 1Т.81. х' = 0,7035, г"" = 3,4422. 17.82. х* = 3,8708, г" = 1,3702. 17.83. х' = 0,5283, г" = 0,6675. 17.84. х' = 0,351734, г"* = 0,827184. 17.85.
х' = — 0,693147, г" = 0,6137064. 17.86. х' = — 0,835430, г'* = = — 0,879073. 17.87. х' = 0,738835, г"' = 0,284712. 17.88. х' = — 0,175203, 7* = 1,908524. 1Т.89. х* = — 0,443931, г' = 0,765751, 1Т.91. Да. 17.92. Да. 17.93. Да. 17.94. Нет. 17.95. Да. 17.96. Да. 17.97.Нет. 17.98.Да. 17.99,Да.
17.100.Нет. 17.107.бг = ((хы хз)/хз > > О). 17.108. 5Г = ((хы хт)/(21г — 1)л < хг + хт < 2Ьг, й Е Ц. 17.109. 5Г = Ьз. 17.110. бг = ((хд, хт)!хг + хз > О) ()((хы хт)!хг + хт < < — К2). 17.111. а > О, 4ас — Ьз > О. 17.112. а б ( — 2; 2). Ответы и указания 565 ) Дх<~>). 17.ИВ. а) х<'> = ( — 0,1; — 0,1), Дх<'>) < у(х<о>); б) х<1> = = ( — 0,5; — 0,5), У(х<'>) = Дх<~>); в) х<'> = ( — 1; — 1), 7(х<'>) ) Д(х<о>) 17.119. х<'> = ( — 0,1; 0,8; — 0,1), у'(х<'>) С у'(к<о>); б) х<'> = ( — 0,638; — 0,276; — 0,638), Дх<~>) = 7(х<о>); в) х<1> = ( — 10, — 19, — 10), у(х<'>) ) ) <(х<о>) 17.120.
а) х<'> = ( — 0,1437; 0,4; 0,4), у(х<'>) ( <(х<о>). б) х<'> = ( — 1,4323; — 0,2761; — 0,2761), У(х<'>) = У(х<о>); в) х"> = ( — 10,4366; — 5; — 5), 7(х<'>) ) <'(х<~>). 17.122. Указание.
Воспользоваться необходимым условием минимума функции Фь(а) = у[к<в>— — аГ'(х<">)] в точке а>с Фс(ав) = О. 17.123. ао — — 0,5. 1Т.124. ао = = 0,333. 17.125. ао = 0,113 17.126. ао = 0 25 17.127. ао = 0 236. 17.128. ао = 0,119. 17.129. х = (-0,2206; 1,0441), у' = -5,3309. 17.130. х* = (0,3333; 0), 7' = 0,3333. 17.131. х* = (0,3846; — 0,1923), 7' = -0,4877. 17.132.х' = (0,1667; 0,1667),7* = -0,1667.
17.133.х' = = (2,55; — 0,85), у' = — 21,675. 17.134. х" = (О; 0,5), У'* = — 0,75. 17.135.х* = (0,9677; — 6,4516), <* = — 32,2581. 1Т.136.х* = ( — 0,5; 0), у'* = -0,25. 17.13Т. х* = (-0,1053; 0,0789; -0,0639), У'" = -0,1207.
17.138. х* = (-0,1538; 0,1154; 0,3077), у' = — 0,5385, 17.139. х' = = (-2,6028; -0,0198; 0,1050), у' = -6,4658. 17.140. х" = (-1,5865; 0,3221; 0,2981), 7' = — 5,8029. 17.141. х' = ( — 0,1112; — 0,0292; 0,0308), 7' = -0,4435. 17.142.х' = (-0,5236; 0,2028; -0,1698), у' = -1,3939. 17.143.х* = (-1,2867; 0,2317; -0,2569), у'* = -4,6319. 17.144. х* = = ( — 0,0732; — 0,2195; 0,6830),7 = — 0,4146. 17.148.х* = (0,1; — 1; 1), >" = — 3. 17.149.
х* = (0,2310; — 0,3160), Х* = 0,5565. 1Т.150. х* = = ( — 0,7071; 0,7074), у'* = — 0,7071. 17.151.х' = ( — 0,7592; — 0,4053), у' = — 1,4428. 17.152.х = (О; 0),<* = 1. 1Т.153. х' = (0,2420; 0,1829), 1,7814. 17.154. х' = (-0,1918; -0,9596), у' = -2,3843. 17.155.
х' = (0,7358; — 0,8580), <* = - 1,4001. 17.156. х* = (0,2400; — 0,3267), у'* = — 0,4504. 17.157.х* = (О; 0), у'* = 0,6931. 1Т.158.х" = = (-0,6132; -0,6633), у' = — 1,805. 17.159.х* = (-0,3015; -0,6031), у' = 3,3166. 17.160.х' = (-0,2990; 1,4952), У' = -4,7299. 17.161.х* = = (1,2248; 0; 1,2248), у'* = 2,4495. 17,162. х' = (О; 0,1555; — 0,4119), у' = 0,6949. 17.163.х' = ( — 0,3016: 0,6030; 0),<" = 3,3166. 17.164.х' = = ( — 0,4446; — 0,5778; 0,0010), у' = — 0,7668. 17.165.х* = (О; 0; 0), у" = = 1.
1Т.166. х" = (О', 0', 0), у'* = 2,3863. 17.167. х' = ( — 0,1907; Ответы и указания -0,0954; 0,9535), у* = -2,4321. 17.168. х' = (-0,6300; 0; -1,5811), = 1,1087. 17.169. х" = (0,2300; 0,4600; — 0,1150, у = — 0,4131. 17.1ТО.х' = (1,0610; 0,3539; 0,0011),у* = 2,8284. 1Т.1Т1.х' = (-0,4041; 0,2235; 0), у' = 0,6600.
17.172.х' = (-0,1912; -0,4081; -0,3602), у" = 3,5056. 1Т.173. х* = (-0,2136; — 0,3328; 0), У' = 1,4461. 17.174. х' = = (-0,1154; -1,1544; 0,3463), У'* = -8,3670. 17.182. у'(х) = 4х! + бхг — 3 ппп, 0,1х3+0,1хг (2 О, 1х! + О, Зхг > 3, 0,8х! + О, бхг ) 7,2, 0,8х! + О,бхг < 12,8, х3, хг >О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
