3 часть (1081356), страница 80
Текст из файла (страница 80)
2с1 )Уь = —,( ), Й б уз. Следовательно, ад~1 Гдз и(т, 1) = асов — 1о ~ — г)— ~1) ч 1, арь1 т1зь — 2с1~ з, а1п — 1о( т) = „, рь1оЬ„) = асов — 1о ( — т) + 2с1 ~~~, а!и — "1о ( — ьт) . с „, Рь1~(рь) 16.91. и(г, р) = Ао+ ~~~ (Аьт~соайр+Вьт" япйр) = — япр, где й=! В 2л 1 Ао = — / Г(зз) Нр = О, о 1 Аь = — ) 1(р)соайрйр= О, Й Е Я, о тл гл 1 Г, 1 1 Г Вз — — — / Г(~р) а1п~рсйр = —, Вь = — / Г(р) япйрйр = О, й ) 2. л) В' Л/ Ответы и указания 549 дси 1 ди З Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид — + — — + дт' т дт д2 „ + — —, = О (и не зависит от 2).
Решение и(т, р) должно быть оградР= ничено при О < т < 21 и периодично по р, т.е. и(т, р+ 2х) = и(т, р). Полагая и(т, 1р) = Х(т)Ф(1р), приходим к уравнениям -Х'(т) + Хн(т) т Л -'Л.(,) Ф(р) тэ Решение уравнения Ф" (р)+ЛФ(сс) = О должно иметь период 2х, а потому Л = )сэ, сс = О, 1, ..., и мы имеем Ф1(1р) = аа соз Ьр + Ьь з(п Ьр. При Л = к~ из левой части (*) получаем уравнение Эйлера 1.2Х" (т) + тХ'(т) — бэХ(т) = О, которое путем замены т = е' сводится к уравнению Х" (и) = О при )с = О и к уравнению Х" (и) — )сэХ(и) = О при 1с > 1, решениями которого будут функции Хо(и) = аои+ бо, Ха,1(и) = е"" = т" и ХЬ2(и) = е ~' = т ~.
При ао ф О решение Хо(и) не ограничено при и -+ — оо, также не ограничены и решения Хь 2(т) = т " при О < т < П. Следовательно, бУдем иметь ио(г, 1Р) = Ьо, иь(т, сс) = т" (ас соз ЬР + бя зсп ЬР). Выберем аь и Ьь так, чтобы функция и(т, р) = ба+ ~ ~т"(аасозЬр + а=1 + бс зсп Ьр) удовлетворяла условию и(11, д) = Г(~р), т.е. чтобы Г(р) = = бе+ ~ П~(аасозЬр+ЬвзспЬр). Для этого следует выбрать Ьо —— Ь=! 2л 2л 1 Г 1 Г 1 2я,/ = — /,Г(р) сбр, аь = — /,Г(са) сов Ьрсбр, сс Е И, Ь1,. = — х я / кссь о о 2н х /,Г(р)зспссрс(эс, з Е И.
В нашем случае Г(р) = з1п(р), а потому о 1 бо — — О, аа = О, lс Е М, Ь1 — — — и Ьь = О при 1с > 2. Ответы и указания 550 (2тп — 1)л1 16.92. и(х, 1) = — ~~! яп 7ГЗ (2гп — 1)з т=( (2тп — 1)л! 8« ~=-~ 1 (2т-1)лх х з — згп — — (хз — 2х21+ 12). лз ~- (2тп — 1)з 12 т!!= 1 Указание. Последнее выражсние получено путем двукратного пгтглсн- ного интегрирования: х в! в ж! 812 1 Г Г, (2тп — 1) тги ~,Г .(.-!(т = — ' 2, 7,2 (2тп Цз ) / Но. о 172 О ГУ2 2 Г1 лаг аг лаг'т, тгх 16.93.
и(х, 1) = — ~ — яп — — — соз — ) яп — + 1) 1 ~ 1 ~ 1, (2тп — 1)ла1 + яп + тга ~ тп(тп — 1) ~ (2тп — 1)2 1 1 ла1) . (2тп — 1)лх + ЗШ вЂ” ~ ЗГП 2тп+ 1 1 Гл)та '! Указание, При решении системы уравнений С12(г)+ ~ — ) С1(г) = ~1) = Аь(1), 5 = 27п — 1 — нечетные числа, следует учесть, что частота амплитуды внешней силы совпадает с частотой амплитуды первой гар- моники, т.е. имеет место резонанс и частное рсшсние слсдует искать в форме Г, наг тга1'т Сг (Г) = Г ~а! згп — + Д соз — ) . 1) 2Я1 т 1 Г Г ° '!т!1 г тг/схо , л)тх 16.94. и(х, 1) = — (1 — е ! ' ) (з(п — яп —. Ср 2" 2--5' ~ 1=1 т 2 16.95.
и(х, 1) = — ) (1 — с (') ') яп —. 1,л 4 212 ( — 1)" (с ( ' ) — с ') 16.96. и(х, 1) = — с 1+ ~ з!и —. 7Г к((л(та) 2 — 121 Ь вЂ” 1 551 Ответы и указания 16.9'Т. и(х, С) = е Я)т + (21+ 1)ггх + я. ~ (2),+1)[т(И+1)Я Ц (е ,г, ггаС 16.98. и(х, С) = — ягп — + С 21 1 я (-1)Я С'ЗС+ 1, ггайС хай . ЯСгх + — 1 — ~ — згп — — 2 згп — ! згп —. Зя й 'я Сг 21 / 16.99.
и(х, С) = ЫхаЕ+ С)(хаСг — С) ~ I 16.100. и(х, С) = е си + е (2г ) г — е ггг, 29 — 1 (2С - 1) 2А С' ага!погСг — / е — сояагхгСы. о 2 2 си' соя агх гСм. гг аг +1 о ыа — / е 1Сгсоя — — — с4п — ~ сояыхг(аг. ог 1 2 ы 2/ о 2 С' ~, 1 С'ягпогСг — / е — ( — — Ьсоямгг зСпагхгСог. о 16.101. и(х, С) = 16.102. и(х, С) = 16.103. и(х, С) = 16.104. и(х, С) = С вЂ” х 4 я 1 г вам-гг1~г, гг(2т — 1)х = — е + — ~ + я~2т — 1 Ответы и указания 552 16.105. Первый. 16.106.
Первый. 16.107. Второй. 16.108. Второй 16.109. Второй. 16.110. Второй, если т = ЛЬ. 16.111. Первый, еслп т = Лб. 16.112. ит, и+1 ит, п 2 ит.,'-1, п-~.1 2ит, и.1.! + и„, 1, п.~.! 52 т = 1, ..., 22 — 1, и = О, ..., в — 1, т т О, ..., 5, и = О, ..., в; 1ьиа = и пи 01 ио, п1 и!пп~ т = 1, ..., Й вЂ” 1, и = О, ..., в — 1, т = О, ..., й, 'вг~п, гг'1, п~ и=О,...,в, гдг, и ~ и1п,п-~1 2ит,п+ и|п,п-1 2ит11,п 2ит,п+ ит — !,п 12 тг ти = 1, ..., й — 1, и = 1, ..., в — 1, ип1,0~ ипь 1 ипь О Хьи1, =- т = О, ..., й, ио,п, и = О, ..., в; и! „, ипк п.г1 — 2и и, 1+ и и, и-1 гите!, 2иппп+от — г,п о тг !12 т = 1, ..., Й вЂ” 1,и = 1, ..., в — 1, и О, т=0,...,12, и,„! — ит, — ! 2т ио,п Хьиь = у„.
Порядок приближения разностным оператором Ьь — второй по 6 и первый по т. 16.113. Ьи = и', + и'„, порядок приближения— первый по 6 и второй по т, если тг = Л11. 16.114. Ьи = ип + и'„'„, 1 порядок приближения второй. 16.115. о = — — —.
2 1212 16.116. Разностные схемы могут быть следующими: Ответы и указания 553 т = 1, ..., 14 — 1, и = О, ..., в — 1, 22~л ~ Ф Фк 4У2, п~ т = О, ...,к, и = О, ..., а, авил = Уь 16.11Т. т = 6, Тьиь =— и,„, „— 2и п+и„,, „и...пь, +2и,„,п+и.„ 62 +Ад,п 52 т=1,...,Й вЂ” 1,и=1,...,в — 1, и,„ п(х,„, уп) Е Ъ,; — ( У ,„, то = 1, ..., й — 1,и = 1, ..., в — 1, 2'ь — = ~ аппп, (хп1 Уп) 6 ~ь Замечание. В случае данной области разностные уравнения составлнютса и длл точек Уь. 16.119.
и,„4.к т4 + и,„ипе4 + ип1 4 и 4 + + и екп 4 — 4и,„п = 252,(,„,„. ПоРЯдок аппРоксимации Равен двУм, Указание. (Ьи)о = соио + с4и4 + сзи2+ сзиз+ с4и4. В силу симметрии уравнения и симметрии шаблона положить с1 —— с2 = сз — — с4 = 5. 16.120. < По определению аппроксимации имеем (см. соотношение (14)) !ИМ < Ву ВЬ(ЕЬ) = 2.Ь(и(Хпъ) Уп) — иппп) = = Та(й(х,, уп)) — Ьл(й„оп) = Хл(й(х, уп)) — Уь — б3ь, т.
е. сеточнан функция еь(х, уп) лвляетсн решением разностной схемы Хань = бу'ь. В силу устойчивости атой разностной схемы (соотношение (15)), а также используя неравенство (*), находим: 'Оса(х, у„)(! < СЯЯ < СВГ = .46', где б7ь — — Хь(й(х Уп)) — 1ь. Положим еь(х, уп) = й(х, уп) — й „. Здесь, как и ранее, й(х, у) — решение краевой задачи (1), (2), а (й,„п) = иь решение разностной схемы (4). В силу линейности оператора Хь имеем: Ответы и указания 554 где А = ВС. Тем самым неравенство (13) установлено, что и доказывает теорему.
16.121. Указание. Для доказательства неустойчивости достаточно рассмотреть разностную схему при некотором выборе правой части ул. Положить )' „= О для всех т и и и )р = ( — 1) е, е > О— некоторое число. Тогда разностная схема запишется в виде: ипа, и )) = (1 — Л) ип1, и + Ли)»+), и ~ и~ о — — (-1)™е.
Получить отсюда, что ипьи = (1 — 2Л)п(-1) с. Затем показать, что ййл)( = р 2Л~~т)1ллй))е Если 57лб = шах ))Р,и! = е, то, следовательно, выполнаетсЯ Равен— м<ш<м ство ))йл)! = ~1 2Л~~т!1ллП йУ 5 Сравнивая это равенство и соотношение (15) и учитывая, что 1 2Л~)т«ллй, при )) — ) О, получаем, что исходная разностная схема неустойчива. 16.122. Аш, пи~и л.лил — = ип» о~ т=О,...,)с, и=О,, я; п = 1, ..., э — 1, т = 1, ..., Л вЂ” 1, )п=О, ..., Й, п=О, ...,я, паап,)~ ио,и ил, '))~» ~ ))) + т))),„ фп1 п+1 + Впьпипьи-) + Сп|,пи»1+!,и + + Р~,~ит-),п+ Еп,ии,ьи~ и = 1, ..., я — '1, т = 1, ..., Й вЂ” 1, Ответы и указания 555 где бт,п пт,п В г 2 т т бт,п !1т,п тт 2т а1л,п Ст,п Ьт 25' С, = ' + — ' оп„п С,„, „ или Ьз 2ат,и бт,и Е,„= — —, +г —, +дпь„.
тт 16.123. Ат,пит,и!-! + Вт,пит,п-! + Сльпит-~-!, п + + Рт,иип1-!,п + Ет, пит, п~ ит,о, ио,и, и/с, и ° 1 [Ут, о + 2тВт, о!Рт Ст, о~Ртн т,о+ т,о Р,о'Рт-! Е,о!т ! Фи~ где значения коэффициентов те же, что и в задаче 16.122. У к а з а н и е. Привлекая еще один горизонтальный ряд, соответствующий я = — 1, ди и~л,! ит, — ! производную — заменить ревностным отношением др'о 2т Промежуточные значения и ! исключить, используя разностное урав- пение аллик = Ат,иит,п-е! + Влили ~,и-! + Ст,литл!,и+ +Р пи, и+Е пи При исследовании порядка аппроксимации учесть, что порядок аппрок- симации уравнения равен двум.
Для исследования порядка аппроксима- ции разностной схемы необходимо определить порядок аппроксимации начальных и граничных условий. Ответы и указания 556 16 124. Ат,пит,пь1+ Вт,пит,п-г + Ст,пита цп + ит,о ='Рт т=О,...,(с, и 1 з т~рт+гзРт зг1,п = (1 бгпй)ио,п+ йфп~ и/с,п = ( б ) гп + ( иь-цп 1+ гпй) (1+ гп Значения коэффициентов те гве, что и в задаче 16.122. 16.125. Ат,пит,п.~.з + Вт,пит,п-з + Ст,питьцп + Рт,пит — цп + +Е,пи„,,п — — У,п,ги=1,...,5 — 1,и =1,...,а — 1,и,„,о — — р ги=О, ..., й.
1 ит,з = (Ут,о+2гВт,озР ь — Ст,о~рт+1— Ат,о+ т,о — Рт, о рт-1 — Ет, опт~), Ао,пио, аз+Во,пио,п-з+(Со, +Ро,п)ицп+(Еоп+25бгпРо,п)ио,п = — Уо, +25Ро, 4» (*) ( 4о о + Во о)ио,1 = Уо о + 2гВо огРо + 25Роофо — (Со о + Ро о) Р1— — (Ео,а + 25бгоРо,о)ро, (Аао + Вао)иа1 = ггао + 2тВл.,озрь — 2ЬСаогсо — (Сао + Раз)~рь-1— — (Еь, о — 25бгоСа о)'рю Аь пиь пег + Ва пиь п г + (Сь п + Ра п)иь 1 п + + (Еь п + 2йбгпСап)иь „—— Уь „— 25Сь пЕп. в начальные и граничные условия производные центральными разно- стями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
