3 часть (1081356), страница 17
Текст из файла (страница 17)
П р им е р 5. Найти спектральную функцию ряда Фурье и построить амплитудный и фазовый спектры для функции при при прн 2 Имеем ыь = Й/4 и Я(ыь) = / Г(х)е ""'* дх = Е2ьюь Е-тл1ль Вщ 2КЫЬ 22 0 Г(х) = 1 О хЕ( — 2,— 1), х б (-1, 1), У'(х + 4) = Г(х), х Е (1, 2). 1 е — 2е1тх Е 2ь1ы„*дХ вЂ” 2кгиь -1 Гл. 12. Ряды и их применение 122 Следовательно, р(иь) = (5(иь)! = ! а!и 2ггиь ! к)иь! Р 4 н Ф(иь) = — агбар(иь) = 4 Зк О, если в!п2ггиг, > О, — если в!п 2киь ( О. 3 2 2 О ! 1 2 Ф О Графики р(иь) н Ф(иь) представлены на рнс.З. > Спектральной функцией интеграла Фурье называется прямое преобразование Фурье о(и) у(и) у(г)е-злыгг!Г (1Ц 0 при !Е( — 2Т, — Т), — 1 при 1 Е ( — Т, 0), 1 при 1Е(0, Т), 0 при 16(Т,2Т), ( 0 при !г!>О, 12626* Р) = 0 при !!( > 1/2. 1+ ! при ! б ( — 1, 0), 12.526.
2(!) = 1 — ! при й Е (О, 1), 0 при )г) > 1. 12.527. ((!) = 2 при г Е (О, 2), 0 при ! Е ( — оо, 0)()(2, +со). 2(!+4Т) = 2(Х). Величина р(и) = (Я(и)( называется амплцтудным спектром, а величина Ф(и) = — агам(и)— фазовым спектром. Найти спектральные функции Я(иь) или Рнс. 3 Я(и) и построить амплитудные и фазовые спектры следующих функций: з 7. Ряды Фурье, Интеграл Фурье 123 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Аналитическое вычисление преобразования Фурье (спектральной функции) (11) и обратного преобразования (5) вызывает, нак правило, аначительные трудности. Разработаны методы их численной реализации, одним из которых является так называемое г)кскрстнос прсобразовинве Фурье; Т о(ив) = у„= — ~~ ~(сь)е ' й, и =О, 1, ..., 211' — 1, (12) 2М 1=О Т 1 где 11. = 1 — (Т вЂ” длина заданного интервала) и и„= п.—.
Обратное 21"1! Т к (12) преобразование имеет вид 2)Ч вЂ” 1 у(11) = ть = — ~ ~у„с' вь, Й = О, 1, ..., 2!У вЂ” 1. (13) п=е Преобразования (12) и (13) выполняются с помощью так называемых быстпрььт алгоритмов (БП11)), состоящих в том, что если 2Х = гггг... 1„, г, — целые > 2, то матрица преобразования (12) (или (13)) 1 1 1 ... 1 Ч2 Ч2М вЂ” 1 г 4 2!2)ч — 1) Ч 2)2Х-1) )гг)-!) Ч ге) — 1 Ч где Ч = е ' (Ч = с'й для (13)), представляется в виде произведения и квадратных матриц И'„порядка 2Х, И = Иг„И'к !... ИггИы (14) имеющих каждая по г, 2Х отличных от нуля элементов.
Умножение матрицы И', (и = 1, 2, ..., и) на вектор-столбец Я = (ео, 21,..., 22)2-1)1 за счет отбрасывания умножения на нули может быть произведено за т . 211" операций комплексного умножения на множители Ч и сложения. ь Все ДПФ (12) вычисляется тогда за (г1 + гг+ . + г„)2М таких операций к умножения конечного результата на множитель Т(2М.
Если 211' = 2" (г) = гг =... = г = 2), то в качестве матрицы Иг )т), к = (св у ), й, ~' = 1, 2,..., 2", лля разложения (14) можно взять матрицу, элементы которой выражаются следующим образом (Ч = е "-'); пусть и = О, 1,..., 2" "' — 1 и р = 1, 2,..., 2ьч ', тогда с,„, = с~ .)„, = 1, и 2'"В-жи.г !-Ьи ~ 2'"В-2 'В-Юи 2 — '-)-и Гл.
12, Ряды и нх применение 124 )т) ) ) )н — 1)г"- сиг .~-и,г" 1.ьи.г 1.ии г .).г 1-ьи,г" ~-~-и.г 1+и (15) сь = 0 для остальных пар (Й, 1). 12.528. Выписать матрицы И"), Иг и И'з, соответствующие формулам (15) при 2Л) = 2з = 8. 12.529. Пусть Х = (хо, х), ..., хт)т.
Составить произведения ЯО) = И)Х, У(г) = Иггх()) = Иг(И)Х) и Я(з) И)зЯ(г)— = И'з(И'гИ')х). Сравнить полученный результат с произвелением ИгХ. Для конечной последовательности комплексных чисел (хо, хм ..., , хн 1) ДПФ по формуле (12) можно представить в виде и-1 у„= — ~ хье в (я=0,1,...,М вЂ” 1), )у ь=о а обратное ДПФ (ОДПФ) — в виде М-1 хе=~ у„е Я (Й=0,1,...,)Ч вЂ” 1). Обозначим кратко ДПФ и ОДПФ соответственно У = 2(х) и Х = 8-'() ), где Х = (хо, х„..., хм ~)т, )' = (уо, ум ..., ун 1)'. Глава 13 'РЕОРИИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 1.
Элементарные функции 1. Понятие функции комплексной переменной. Множество точек Е расширенной комплексной плоскости (х) = С()(со) называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется обласпгью и обозначается через 11, С и т.п. Область 11 называется односвлзиой, если ее граница является связным множеством: в противном случае область 0 называется многосвязной. Если каждому комплексному числу г, принадлежащему области Р, поставлено в соответствие некоторое комплексное число ю, то говорят, что в области В определена комплексная функция го = 1(х). Пусть г = х + гу и ю = и + 1тс Тогда функция ю = у'(х)может быть представлена с помощью двух действительных функций и = и(х, у) и о = о(х, у) действительных переменных х и у: ю = у(х) = и+ го = и(х, у) + 1о(х, у), где и(х, у) = Пе)'(г), о(х, у) = 1т г"(г).
Пример 1. Указать область, определяемую условием (г! — 1щх < 1. < Так как ф = ~/хг + уг и 1щ х = у, то получаем неравенство /хг+уз, < 1 или +уг < 1+у, Из последнего неравенства следует, что у ) — 1. Возводя обе части не- равенства в квадрат, находим хг + уг < 1 + 2у + уг. Следовательно, г искомая область определяется неравенством у ) -(х — 1), т.е. пред- 2 ставляет собой открытое множество точек, ограниченное графикам параг болы у = -(хг — 1) и содержащее точку 0(0, О). с Пример 2.
Найти действительную и мнимую части функции у(х) = ггг — й. 126 Гл.13. Теории функций комплексной поромсгнной а Полагал х = х + мд находим г"(и) = и(х, у) + го(х, у) = г(х + гу) — (х — гу) = = г(хт — ув + 2гху) — (х — гу) = — х(1 + 2у) + г(.г — уэ + у).
Таким образом, ЕеДх) = и(х, у) = — х(1+ 2у), 1гп (( ) = о(х, гу) = хе + уз + у. ~> Описать области, заданные следуюшими саотношенияьии, и установить, являются ли они односвязными: 13.1. (х — хо! < Л. 13.2. 1 < )х — г! < 2. 13.3. 2 < (х — г! < +оо. 13.4.
0 < Пе (2гх) < 1. 13.5. (х — хо! > Л. 13.6. О < (х + г( < 2. 1 1 13.7. 1пг(гх) < 1. 13.8. Вс — > —. а 4 Указать на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяюших указанным соотношениям: а+1 13.9*. 1ш = О. 13.10.
(х — г) + (х+ г! < 4. х — 2г 13.11. Ее = О. 13.12. (х — 5) — (х+ 5! < 6. х+ 2г г — х 13.13. аг8 = О. 13.14'. аг8 — = О. х — х2 х+г Записать с помощью неравенств следующие открытые множества точек комплексной плоскости: 13.15. Первый квадрант. 13.16. Левая полуплоскость. 13.17. Полоса, состоншая из точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее трех.
13.18. Внутренность эллипса с фокусами в точках 1+ г, 3+ г и большой полуосью, равной 3. 13.19. Внутренность угла с вершиной в точке хо раствора и/4, симметричного относительно луча, параллельного положительной мнимой полуоси. Для следуюших функций найти действительную и мнимую части: 13.20. у(х) = гй+ 2х~.
13.21. у(х) = 2г — х+ гх~. 13.22. Дх) = . 13.23. Дх) = —, + —. 'З 1. Элементарные функции 127 13.24. Дг) = Ве (гз +1) +11ш(зз — г). 3 +а+1 13.26. Д(з) = ах+ 3 Определить функцию ю = у'(г) по известным действительной и мнимой частям: 13.26. и(х, у) = х + у, о(х, у) = х — у. 1 г ег Если а = х+ г'р и б = х — гу, то х = -(г+ г) и у = — -(г — г). Тогда 2 2 1 1 1 — 1 1+1 и(х, р) = х+ у = -(г+ б) — -(г — й) = — г + — г; 2 2 2 2 1 г 1+1 1 — г, и(х р)=х р= (а+3)+ (з 3)= з+ 2 2 2 2 Следовательно, 1 — г 1+1 1+1, 1 — г, у(л) = и(х, р) + йг(х, у) = — з + — й + — ьа + — 13 = 2 2 2 2 1 — 1 1+гЛ гг1+г 1 — 1'1 — + — г~ з + ( — + — г) й = (1 + 1) й.
2 2 ) (, 2 2 ) Таким образом, г"(а) = (1+ г)а. Рассмотренный в задаче метод поаволяст в общем случае получить для функции комплексной переменной выражение, зависящее от г и б. г 13.27. и(х, у) = хт — уз — 2у — 1, о(х, у) = 2ху+ 2х. х~+у +1 х~+у~ — 1 13.28. и(х, у) = х з т, о(х, у) = у хе+уз ха+уз 1 1 13.29. и(х. р) = —, о(х, у) = —.. х у Функция ю = г( ) называется ог)нолиетной в области Р, если любым различным значениям вг ф г и взятым яз области Р, соответствуют различные значения функции у(гг) ~ у(гз). Найти области однолистности следугоших функций: 13.36.
У( ) = '. 'З ПУсть . г = Ргеьи и зз = Ртеге'. Найдем Условие, пРи котоРом аг, = аз~, хотя г, ф зз. Имеем ртге'т"" = рзуе'т"', Отсюда заключаем, что рг — — рт, а 2грз = 2чгг + 2Ьг (й = О, 1). Так как гг ф гт, то рз = гог + к. Таким г)бравом, область однолистности функции ю = гз не должна содержать внутри себя точек, мопули которых совпадают, а аргументы отличаются 128 Гл.
13. Теория функций комплексной переменной на х, т.е. областью однолистности является любая полуплосность, например В.е з ) О или 1т з > О. с> 13.31. 1(з) = зп, гз е 1Ч. 13.32. ~(з) = е~. 1 13 33 Дл) езм 13.34. Дз) = в+ —. Геометрически заданную на Р функцию у(з) можно рассматривать как отображение области Р плоскости (з) на некоторое множества С плоскости (ю), являющееся совокупностью значений Дз), соответствующих всем з Е Р. Пример 3. Исследовать отображение, осуществляемое линейной функцией ю = аз + Ь. Это отображение можно рассматривать как композицию трех простейших отображений. Действительно, положим юз — — (а(з, ез мз аж юз = юг+ 5.
Тогда нетрудно видеть, что ю = вз о юг ошз. Из геометрического смысла произведения и суммы комплексных чисел ясно, что отображение ы~ есть отображение растяжения (сжатия при О < (а! < 1), отображение юг представляет собой поворот всей плоскости (ш~) относительно начала на угол у = агпа и, наконеп, отображение вз есть параллельный перенос плоскости юг на вектор, изображающий комплексное число Ь. ~> Найти образы указанных точек при заданных отображениях: 13.35. зо —— 1 + з, зо = зг + 1. 1+1 13.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
