3 часть (1081356), страница 12
Текст из файла (страница 12)
12 272, ~ъ/700 1 12.273'. !п2. 12.274. згсьб —. ,/3 2В 12 275 /о(0,5). где Уо(х) = ~~) (-1)" 22е (ь!)2 ' о=о 12.276. ой 1. 12.277. сЬ 1. В задачах 12.278-12.287, используя разложения в степенные ряды, требуется составить на фортране подпрограммы-функции для вычисления значений указанных функций с заданной про дельной абсолютной погрешностью. Использовать параметры Х, ЕРЯ, где Х -- аргумент, ЕРЯ вЂ” предельная абсолютнан погрешность. Имена подпрограмм выбрать не совпадающими с именами соответствующих стандартных подпрограмм-функций. 12.278*.
у = в!и х. 12.279. у = соз,т,. 12.280*. у = ет. 12.281*. 8 = (1+ х)". 12.282. у = )п(1+ х). 1+х 12.283*. у = !и . 12.284. р = агссйх. 1 — х Гл. 12. Ряды и их применение 82 12.285. у = 1о(х) (см. задачу 12.275). 12.286. у = в!1х. 12.287. у = сЬх. 12.288. Составить на фортране программу решения одной из задач 12.264-12.277, применяя подпрограммы-функции, полученные при решении задач 12.278-12.287. В программе предусмотреть сравнение результатов, вычисленных с помощью составленной подпрограммы-функции и с помощью стандартной подпрограммы-функции, входящей в библиотеку обязательных подпрограмм.
2. Интегрирование функций. Разлагая подынтегральную функцщо Г11) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степенных рядов, представить интеграл Я) Й в виде степенного ряда и о подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью при любом значении х иа интервала сходимости полученного ряда. Р П ример 2. Разложить функцию ~ е ' й в степенной ряд по ств- о пеням х ь х < Используя разложение с = ~ —, получим 2 ы ь=о 12ь ( 1)ь 10 Й=О на всей числовой оси.
Применяя почленнос интегрирование,находим У СО е ~ Ж=~ ( — 1)ь о ь=о "ь.~-1 (2А;+ 1)18 Разложить указанные функции в отененные ряды по степеням х: х 12.289. / г)г. 12.290 Г 1п(1+ 1э) о 12.291. сов 1э ог. 12.292 1 /' а)па 2т/х,/ ьГ1 о Г я1 Д+~з' о 83 З 4. Применение степенных рядов х х Г в1пг 12.293. 8о(г)вй (см. задачу 12.275). 12.294. / — й.
о о с точностью до 10 4: Вычислить интегралы о,з 0,2 В задачах 12.301 — 12.305, использун разложения в степенные ряды, составить на фортране подпрограмму-функцию для вычиСления указанных интегралов с заданной предельной абсолютной погрешностью. Параметры: Х, ЕРЯ, где Х вЂ” верхний предел интегрирования, ЕРЯ вЂ” предельная абсолютная погрешность.
х х Г 51п1 12.301. Б1(х) = / — й. 12.302. егух = — е й. Г/ о о 12.303. (1+ г') й(в ) О, с8 ~ О). о Г агс161 Г 1п(1+1) 12.304. / й. 12.305. / й. ./ о о 12.306. Используя подпрограммы-функции, полученные при рсптенин задач 12.301 — 12.305, составить на фортране программу реПтения одной из задач 12.295 — 12.300.
3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости. При Нахождении суммы числового ряда вычисляют его частичную сумму, для которой величина остатка ряда не превосходит заданной абсолютной погрешности. Используя известные разложения в степенные ряды, сумму числового ряда в некоторых случаях можно выразить в виде значения ФУНкции в определенной точке. 12.295. / й Г 1п(1+ Г) о 0,5 12.297. е ' й.
о о,в 12.299. о 12.296. / й. Г агссб1 о о,в 22.298. ) А о 1 Г в1пх 12.300. / — 81х. о Гл. 12. Ряды и их применение 84 Доказать указанные равенства: 1 1 12.307. (а+ й)(а+ /с+ 1) а+ и ОЭ 1 12.308*. ~ ,, -„(а+ йНа+ й+1Иа+ й+ 2) 2(а+ п)(а+ п+ 1) 12.309*. ,'! 1 (а+ lс)(а+ й+ 1)... (а+ й+ р) 1 (р е 14). р(а+ и)... (а+ п+ р — 1) ( — 1)в+1 — = 1п2. п 12.310*. ~~У в=! 12.311*. ~~> 1 ~г 2п+1 4 в=о Найти суммы рядов, не вычисляя частичных сумм При нахождении суммы числового ряда требуется брать большое число членов, если остаток этого ряда медленно стремится к нулю. Такой ряд следует преобразовать в ряд, остаток которого стремится к нулю быстрее.
Данное преобразование называется убысгярением сходимостпи ряда. Одним из методов убыстрения сходимости является метод Куммера. Неизвестная сумма А сходящегося ряда 12.312. ~ —. 12.313. 1 п, 2в' и=! 1 (2п + 1)3т" +! о=о 12.317. ( 1) 1 ~~> ( — 1)", . 12.314. ~~! и 1 12.316. ( — 1)" 1 (2п+ 1)! в=о Г 2" 12.318. / l- з 4. Применение степенных рядов вычисляется по формуле А = оВ+ ~ (аь — обе), ь=! (2) где  — известная сумма ряда ~~! Ьь такого, что сушествует предел ь=! аь !у = !пп — ф О. ь Ьь Ряд (аь — !7Ьь) ь=! (3) 1 1 1 1 1сг ~~- гс1)с — ц ~Х- я1гс + ц и 0' 001' откуда следует, что п > 1000, т.е. для достижения указанной точности требуется взять 1001 член исходного ряда.
Улучшим сходимость ряда. Положив в формуле !2) 1 1 аь = —, Ьг' Ь(х+ Ц' Я=1 1 ьг(ь+ ц' находим (см, задачу 12.307 при а = 0 и я = Ц: +7 = 1+'Г (4) х'. ьг х'. ь1ь « Ц с ьг(ь + Ц ~ ьг(ь ч Ц ' О3 Применим формулу (2) для преобразования ряда ьг!ь+ ц' ь=! 1 1 положив аь = .г(~,. ц~ в(Ь+ Ц(в+2) ,Ьь= = 1иаь — 'чбь = сходится быстрее, чем исходный ряд (Ц, т.е. остаток ряда (3) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем остаток ряда (Ц. 1 Пример 3, Найти сумму ряда у — с точностью до 10 г. 2 ~„.г ь=! с~ Выясним, сколько членов данного ряда нужно взять для достижения требуемой точности. Оценивая остаток (см. задачу 12.307), получаем Гл. 12.
Ряды и их применение 86 2 . Тогда, учитывая (4), имеем (см. задачу 12.308 при йт(й + 1)(й + 2) а=био=Ц: T — 'Г 1 T — =1+'5 йэ '- й(й+ Ц(Й+ 2) нт(и+ Ц(!с+ 2) +27 2 2 "- йт(й+ Ц()с+2) 1 Вычисление суммы ряда у — свелось к вычислению суммы ряда 2.~ ~2 ь=! 1 ~ (, (~е ц(ь+г)' Опенивая остаток с 1 )с (!с+ Ц(1+2) ~ (1 — Ц~(~+ Ц(~+ 2) 1 1 „"- Й(Й+ Ц(Й+ 2)(!с+ 3) Зп(я+ Ц(п+ 2)' 2 з получаем — ( 0,001, откуда пэ > — 2000 666,7, или я > 9, т.е. требуемая точность достигается при я = 9. Следовательно, Š†, = 1 + — + 2 Е г = 1 + 0,25 + 2 0,1975 = 1,645. 1 1 1 ь=! ! — ! 1 Применив преобразование (2) еше раз к ряду 5 й'(й+ Ц(1+ 2) ' можно было бы еще более улучшить сходимость.
!> В задачах 12.319-12.323, применяя преобразование Куммера., найти суммы указанных рядов с точностью до 10 4, взяв для этого не более 10 членов получившегося ряда. Использовать соотношения 1 ,1 / 1 — 2 — !у е=! н=! З 4. Применение степенных рядов 87 Значения дзета-функции 1,(р) взять из таблицы со со 12.319*. У .
12.320'. ~> а1ц~ —. н~+1 и о=1 в=1 12.321*. У . 12.322*. ~~1 ( — 1) в~~ 1 в 1 1 из+ 2, н(бп+ 3)' 12.323'. ~> (-1) к=1 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений показано, что решение р(1) представимо в виде степенного ряда 111( . ) р(х) = ~иг(х — хо)ь = ~~' Р, (х — хе)1; 1 — О я=о (5) козффнпиент которого маьчно определить с учетом заданного уравнения Различными способами? а) Пусть требуется найти решение уравнения у" = 1'(х, у, р'), удовлетворяющее условиям у(хо) = ро, р'(хо) = ры причем функция У(х, У, Р') в точке (хо, Ро, Р~) имеет частные пРоизводные любого поРядка.
Тогда коэффициенты р'ь1(хо) ряда (5) определяются путем последовательного дифференцирования исходного )равнения и подстановки в Него хо и найденных уьче значений р'(хо). р (хо), П р и м с р 5. Найти решение уравнения рк = хзр, удовлетворяющее Условиям р(0) = О, р'(0) = 1. О Имеем р(0) = О, у'(О) = 1, из заданного уравнения находим ра(0) = О. 12.324. Составить на фортране программу решения одной из задач 12.319-12.323. 88 Ез. 12. Рлдь( и их применение Далсе, диффсренцирул уравнение, имеем уп' = хту' + 2ху, у(~ = х уп + 4ху'+ 2у, ц .з п~+б. и+б у(ь+'22 = хзу(г( + 28 ху(г 0 + у(й — 1) у(ь '22, и при х = 0 получасы отсюда Так как у(0) = уп(0) = у'п(О) = 0 и у'(О) = 1 то (4п+Ы(О) (4 + 2)(4 + 3) (4птй(0) = 2 3 б.7...
(442+ 2)(4п+ 3), я Е И. Следов22тсльно, ч~ 2 3 б 7 . (4п+ 2)(422+ 3) у(х) = 2 (4п+ 1)! х4 М По признаку Даламбсра полученный ряд сходится при любых т Е К, т. с. определяемая эт24х2 рядом функция у(х) является решснисм заданног~2 уравнения при любых х. (> Найти решения уравнсний, удовлетворяцзщие заданным условиям: 12.325. уп = тзу. у(0) = у'(0) = 1. 12.326. уп =- — хзу' — 2ту+ 1., у(0) = у'(0) = О. Найти парные 5 членов разложения решения дифференциального уравнсния в степенной ряд: 12.327. у' = 2 сов х —:туз; у(0) = 1. 12.328.
уп = — 2ху, у(0) = у'(0) = 1. 12.329. уп = у сов х + х, у(0) = 1. у (0) = О. б) Если исходное дифференциальное уравнгние линейно относитсльно искомой функции и ес производных, причем коэффициент при старшей производной в точке хо отличен от нуля, то решение следует искать а 4. Применение степенных рядов в виде ряда (5) с неопределенными коэффипиентами ал, Л: = О, 1, ... Законность такого метода вьпекает из утл~сралдения, докааывасмого в аналитической теолгии дифференппальных уравнений, которое мы приведем д;щ уравнения 2-го порядка. Теорема 1. Если в дллл)лл))еранглллальном уравнении Ро(;)Уо+Лл (:)У'+уг (г:)У=У(г:) (6) функиииХ>о(х), рл(х), рг(х) и ~(х) аи литичнм в окрестности гялочклл хо и ро(хо) ф О, то существует решение уравнения (6), представимое в виде степенного ряда у(х) = ~ ал(х — хо)"'.
л — -о Пример 6. Найти рещение (в виде степенного ряда) уравнения у — ху +у=1, ,удовлетворяющее условиям у(0) = у'(0) = О. Ю Ищем решение в виде ряда у(х) = ~~ ал.хл, в котором в силу условий л=о Л((0) = у (0) = 0 имеем ао — — ал — — О. Следовательно, у(х) = ~ ~ал„.х"'. л=г ,Подставив ото выражение в уравнение, получаем Лл(Л вЂ” 1)алх' —" Ллллх'+~ алх' = 1. л — г л-г л — г 1 Отсюда находим, по 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
