3 часть (1081356), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказать, что если /(х) имеет период 1, то при любом ее К а-Н гуг /(х) г(х = /(х) ггх = /(х) ггх. о -гуг 12.479. Записать выражении коэффициентов Фурье (2) длп чет- ной и нечетной функций на ( — 1/2, 1/2). Разложить периодическую с периодом 1 функцию в ряд Фурье, построить графики его первых частичных сумм Яо(х), 8г(х), Яэ(х) и Яз(х) и найти значение Я(хо) суммы полученного Ряда в заданной точке хе. 1 при 0<х<!г, 12.480. /(х) = ~ 1 = 2л, хо = л. 0 при — л<х<0, 114 Гл. 12. Рлды и их применение 12.481. ~(х) = при О < х < 2х, 1 = 2х, хо = —.
2 2 12.482. г" (х) = ф при х Е ( — 1, 1), ( = 2, хо = 1. Разложить в ряд Фурье следующие функции периода 1: 12 483. г" (х) = ) сов х(, — эг < х < х; 1 = 2;г. 12.484. ~(~) = хг, — ~ < * < л;! = 2эг. à — 1, — т<х<О, 12.485. ~(х) = ~ ' ' 1 = 2т. 1, 0<х<т; 12.486.
у (и) = ) в1п х(, — и < х < х; 1 = 2х. 12.487. у (х) = 2т, О < х < 1; 1 = 1. 12.488. ~(х) = 10 — х, 5 < х < 15; 1 = 10. 12.489. у (х) = нэпах, — х < х < х, 1 = 2эг. 12.490. у (х) = сов ах, — эг < х < х, ( = 2х. 12.491. у (х) = в1эах, — х < х < л, 1 = 2л.
12.492. у (х) = сЬ ах., — и < х < эг, 1 = 2и. Доопределяя необходимым образом заданную в промежутке (О, а) функцию до периодической, получить для нее: а) ряд Фурье по косинусам, б) ряд Фурье по синусам. 12.493. г" (х) = е*, т, Е (О, 1п2). 12 495 у (х) = 12.496. )'(х) = хвэпх, х б (О,х). 12.497. у"(х) = ггг, х Е (О, 1). 12.498. г" (х) = х+ —, х Е (О, л).
12.499. 1(х) = — — т,, х Е (О, и). 12.500. у(х) = х, х Е (О, 1). 12.501. Используя рпд Фурье, полученный ээ задаче 12.482, найти суммы следующих рядов: 1,~ ь 21+1 ~-' (2гэ+ 1)г: .~., (41+ 1)г(4й+ 3)з 12.502. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 12А97, найти сумму ряда ~~э ( — 1) ь-~-1 1 в=э 7.
Ряды Фьу!ье. Интеграл Фурье 115 12.503. Используя равенство Парсеваля для функции задачи 1 12.481, найти сумму ряда ~ —.. 7! и=! 12.504*. Зная выражение ядри Дирихле 2п+ 1 я ьш х 2 7!„(;г) = — + ~ сов/сх = 2 2в!и— 2 найти выражение ядра Фейсра У„(х): У„(х) = ,'! ь ь(х) = — + ~~> ( 1 — сов /сх. и+1 2 ~, и+1/ 12.505. Используя равенство Парсеваля для функции задачи 1 12.484, найти сумму ряда 7 и!' и=! 12.506. Зная выражение для ядра Дирихле (см. задачу 12.504), получить интегральное представление для частных сумм Я„(7', х) = — + ~~> (аь совях+ бе в!пьх) оо 2 ь=! ряда Фурье функции 7'(х) периода 2я.
12.507. Зная вырахсение для ядра Фейера (см, задачу 12.504), получить интегральное представление сумм Фейера ст„()', х) = ~~! Яь(г", т) 1 ь=о функции 7(х) периода 2л. 12.508**. Используя полученное в задаче 12.507 выражение для сумм Фейера о„(7', т), показать, что для непрерывной на оси функции 7'(х) в каждой точке х Е [ — я, я] справедливо соотношение (У, ) =Х( ). Гл. 12. Ряды и нх применение 116 2. Двойные ряды Фурье. Если функция /!х, у) имеет период ! по переменной х, период Ь по переменной у, непрерывна и имеет непред/ д/ дт/ рывные частные производные —, — и — в прямоугольнике К = дх' ду дхду = !(х, у)~ — 1/2 < х < 1/2, — Ь/2 < у < Ь/2), то /!х, у) представима двойным рядом Фурье / 2итх 2тпу 11х, у) = ~ Л„,„~ач, „соя — соя — + Ь та,а=о 2итх 2тиу 2итх, 2я пу + б,„я!и — соя — + с „соя — ап — + Ь '" ! Ь 2итх, 2тпу'! + Ы, я!и — я!и' — ) та ! Ь )~ где 1/4 при т = и = О, Л,„= 1/2 при т>0, я=О или т=О, п>0, 1 при т>О, п>0 иприт>О,п>0 4 Г Г 2птх 2ипу а~,„= — д /!х, у) соя — соя — Нхду, 1Ь)/' ' ! Ь 4 Г Г, 2ттх 2тну б,,„= — )) /!х, у) я!и — соя — с)хе)у, 1ЬЛ ' ! Ь 4 ГГ 2птх .
2апу с,„= — / 1 /(х, у) соя — ап — дх ф, 1Ь// ' 1 Ь 4 Г Г, 2ттх, 2ипу И,„= — д /1х, у) ап — я!и — дхду, !ЬП ' ! Ь В комплексной форме ряд Фурье для /!х, у) записывается в виде .ь го /(х, у) = ~~' стпе где с„,,„= — /1х, у)е "~ ' ') ахну, т, и е Ж. к з 7.
Ряды Фурье. Интеграл Фурье 117 1 ГГ о„, „= — О хусоятхсояпуйхйу = '"" „гД 1 — г усояпугГу хсоятхЫх = О, г ( т,п)0; 1 Г б,„,„= — 1 усояпугГу хягптхг1х=О, гп, п) 0; .l а л 1 Г с „= — / уягппуггу хсоятхггх = О, т, п ~ >0; 1 Н „= —, / уягппуйу хат тхг(х = „г / 4 Г = — Г уягппуггу хягптхдх = ,г / о о а.г г! т Следовательно, при х 6 (-х,х), у Е (-х х) +„ягп тх ягц пу ху=4 ( — 1) ( 1)-" Ь тп ~и,п=! Разложить в двойной ряд Фурье следующие функции: 12509. Г(х,у) =хуцриО<х<2гг, 0<у<2х,(=гг=2гг. Пример 2. Разложить в двойной рнц Фурье функцию Г(х, у) = ху в квадрате -гг < х < х, -х < у < х.
< Принимая во внимание четность или нечетность подынтегральных функций, находим Гл. 12. Ряды и их применение 118 и — х и — у 12.510. у(х, у) = при — и < х < я, — и < у < я, 1=я=2и. 12.511. 7(гг, у) = х~у при — 1 < х < 1, — 2 < у < 2, ( = 2, 6 = 4. г ггл — у 1 12.512. )'(х, у) = х ( ) при -1 < т < 1, -и < у < и, 1 = 2, я = 2гг. 3.
Интеграл Фурье. Если функция Г" (г) абсолютно интегрируема на ( — оо, +со), т. е. Г(Г) е Ц вЂ” са, +ос), и кусочно гладка на каждом конечном отрезке действительной оси, то она представляется в виде интеграла Фурье г(ь=-г(,+ь)+го-ьа= 1Ьь'"я~ = /гьь'"'"~, 1 (5) где у( ) = г(г)е т""й. Преобразование (6), которое будем обозначать Яу), называют прямым, а (5) — обрагяяььи преобразованием Фурье, выраженным в комплексной форме.
В действительной форме эти преобразования записываются в виде: 1 г 1 а(ы) = — / Г(Г) совьгГг1г, 5(ы) = — / у(Г) ьбпьгГгй (7) (прямое) и (8) Г(Ь= г' (() 1+я ) ' ьб о Г2 г 3С(й = ус( ) = ~/ — /' аг) со. гаг о (9) (обратное), ы = 2ти. Если функция Г'(Г) четная, то (7) и (8) записываются в следующей симметрической форме: з 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 119 Г2 Г у(() = ~( — / )с(ы) соосной о (10) -(-оо Г2 Г Я,[Д = Яь2) = ~( — / ~(() з(пьА с(( о Д() = — Яь2) в! и ал с(ы. о Пример 3, Найти преобразованиеФурьедляфункции у(() = е а > О. О Подставляя заданную у(() в (6), получаем +со о +ос у(и) е-а(с(е-2л(лс с(( е-(тлсл-а)с с(( ( е — (2льо+а)г г(( (о +ос (а-2ли )С -(2юл+а)2 а — 2к(и а + 2к(и 1 1 2а + 2' а — 2к(и а+ 2к(и а2+ 4язи' ' т. е.
а2 + 4кзи2 ' Подставляя зто выражение в (5), получаем (-со +со +со 2лая а ( е™ 2а / совы( Е а('( =, ди со — (,, Г(Ы = — /,, Йас. (*) ггт + 4 гти2 к,/ а2 + ы2 к,/ а2 + о22 Последнее равенство следует из того, что .Юл Г /, С =С. в(псА, /' в(п Л( а2+ь22 (ч е у а2+ь22 и называются парой косинус-преобразований Фурье. Если же ((() не- четная, то имеем пару сакре-преобраэоеанпб Фурье Гл. 12. Ряды и их применение 120 Пример 4.
Найти преобразование Фурье для функции т'(г) = е ', а > О. Г21 /я ' 1 г 7,.[е ~]=~/ — / е ~ соеьяй=)/ — — (~ — е « = — е 4 я 2 ~( а т/2а о е "' = )/ — / — е т совю1сЬ =— Я т' чг2а ч'яа о г е созьяагн. ~> о Найти преобразование Фурье в комплексной форме для функций: 12.513. /Я = йбп (1 — а) — щп (1 — 6), 6 > а. И 12.514. /(~) = " 1 т) при 0 при ф >а. 12.515, /(1) = г 1 соза1 при (1( < л/а, а > О.
при ($~ > л/а, 0 при (1) > 1. Найти пару косинус- или синус-преобразований Фурье указанных функций; 1 12.517*. /(1) =, а > О. аз+ гз 12.518*. /(г) =, а > О. 12.519. /(1) = 1е ' . 12.520. /(1) = е ~й сов)й, а > О. 12.521. Доказать, что преобразование (6) является непрерывной функцией, причем 1пп /(и) = О. я — г~ог а Так как функция /(1) четная, получим пару косинус-преобразований Фурье. Потому воспользуемся формулами (9) и (10). Используя резуль- тат задачи 8.192, получаем з 7.
Ряды Фурье. Интеграл Фурье 121 4. Спектралыиае характеристики ряда и интеграла Фурье. Стектпральной функпнсй Б(ыь) ряда Фурье или т1ектпральнай плапгнастью называется отношение коэффициента Фурье функции Г(х) периода 1 1/2 1 Г С( ) ~ Г( ) — 2ьгтьал 1/ -172 й ыь = —, й Е К, к прирашению частоты к+1 12 1 ггыь = — — — = -, т.
е. 11'2 Я(ыь) = — = / Г(н)е "'"'" ди. С(ыь) Г ггив ./ -112 Ам лнтрднь1м спскпьрам р(ыь) называется модуль спектральной функ- ции, а фааав1лм спектром Ф(иь) — взятый с обратным знаком аргумент спектральной функции, т.е. р(иь) = (5(ыь)! =1(с(гь)( и Ф(иь) = — агдЯ(ыь). На графиках р(иь) и Ф(иь) обычно строят только ординаты р и Ф в точках иь и спектр называют линсйчатым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
