3 часть (1081356), страница 15
Текст из файла (страница 15)
/ 2, сЬ. (г(=Я )г-1(=2 22 1 Е' 1Ь 12.446... 12.446. З1П Х СОЗ Х 2+22+ ~4=5 /г-6=1 гг 12.447. згп — + е' соз х 112. 22 (г(=1 23 4 12.448. х 18 а х Йх. 12.449. / ,/ 2хг + 1 )г)=1 )г(=1 3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. г. а) Интегралы вида / Л(агах, сов х) Ых, где Я вЂ” символ рациональо ной функции, с помешаю замены х = е" приводитсн к контурным интегралам от рациональных относительно х функций. П р и м е р 6. Вычислить интеграл Пуассона г' 4х ,/ 1 — 2рсозх+рг' о Гл. 12.
Ряды и их применение 106 егв + е-юх З Производя замену х = ег* гЬ = 1е'* ггх = ге г(х, сов х = 1 Е+ 2 = — = —, получаем г 2 2з гЬ гг г(х У(р) = = -1 г а+1 ( у г+ га+ ~.~=г гх (1-Р +Рт) р1=г / ~.~= Р( -Р) 2яг~ 1(р) = — выч р Р ( -Р) Р2 ' а если (Р) > 1, то 2ягт У(Р) = — выч р 1 1 2х Р2 Таким образом, 2я — при (р~ < 1, рт 2я при )р! > 1. с Р2 1(Р) = ьОО б) Интегралы вида У(х)г(х, где ((х) — функция, непрерывная на ( — оо, +ос), аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением конечного члена особых точек хг, гз, ..., зьг, лежаших в конечной части верхней полуплоскости, и удовлетворяюшая для достаточно больших ~г~ условию (у(х)( ( — га, М > О, б > О. М Так как при любом р, )р! ф 1, внутри круга Ц < 1 находится только один корень знаменателя подынтегральной функции, то при )р( < 1 имеем: э 6. Вычеты и их применение 107 В этом случае -ь ээ л у(г) Пх = 2п! ~ выч (у(г); г!.).
ь=! ог Пример 7. Вычислить интеграл ( г4 0)г' 1 э В верхней полуплоскости функция у(г) = имеет один полюс ( г 4.0)г Л! 2-го порядка в точке го — — 3!, и у(г) ( — для достаточно больших ф. 14" Поэтому = 2п! — ~(г — 3!),, ) = 2п! — ~ с(г 1, (ге+9) ) . э! Пг ~,(г+3!)г/ 4я! 44п!' — — — !> (г+ 3!)э =з! (6!)э 54' Замечание.
Формула (Ц справедлива и в том случае, когда функция у(г) имеет вид у'(г) = ец'-Е(г), где о > О, а функция Г(г) аналитична на действительной оси, в верхней полуплоскости имеет лишь конечное число особых точек г!. гг, ..., гм и 1!и! Р'(г) = О. ганди П р и м с р 8.
Вычислить инт!трал 1 г, Их. у гг — 2г+10 о Подынтсгральная функция является мнимой частью функции ген , значение которой совпадают со значениями на дсйствитсльгг — 2г+ 10' ной оси функции у(г) = е', (1>ункция Е(г) = гг — 2г + 10 гг — 2г + 10 имеет в верхней полуплоскости полюс 1-го порядка в точке гс — — 1 + 3! и !ш! Г(г) = О, т, с, выполнены сфорыулированн!,!с в замечании условия, Гл. 12. Ряды и их применение 108 а потому можем записать: 1= хе™ ае" дх = 2тп'выч з; 1+ 31 хз — 2х+ 10 ~яз — 2ю+ 10' (1+ 31)е' ' ' л(1+31)е зж 2(1+ 31 — 1) 3 = -е з(соз1 — Зып1+1(3соз1+ з1п1)).
3 Таким образом, /- -1- хз1пх хе'* ге з дх = 1пт ( Йх = — (Зсоз1+з1п1). хз — 2х + 10 ./ хз — 2х + 10 3 Заметим, что одновременно мы вычислили интеграл ч-ОО ьОО х сов х хегл зе з 6х = Ве / 4х = — (соз1 — Зз!п1). > хз — 2х + 10 / хз — 2х+ 10 3 Используя один из рассмотренных выше методов, вычислить определенные интегралы: 2л 12.450. ~ дх , а > 1. ,/ а+ созх о зл дх 12.451., а) Ь) О.
./ (а+ Ьсозх)з' о 2л созз Зх 12.452. с(х, а > 1. у 1 — 2асозх+ аз о зл сов х Нх 12453, 0 < а < 1. у 1 — 2аз(их+ аз' о г 6. Вычеты и их применение 109 хссах 12.464. / е(х / хг ге Г япгхдх 12.454. /, а > Ь > О. ./ а+ Ьсозх' о 12.455. сй8 (х — а) Ых, 1т а > О. о +СО .~. 00 Г хг-~1 Их 12,456. / дх.
12'451' / г и Е / х4 '/ (г41) йх 12.458. г г, а > О, Ь > О. ( г + аг) (хг + Ьг) ' о 12.459. / г г, а > О. / (хг .1 аг)г ' о хдх Г х4+1 12.460, 12.461. / е ах. ,/ (хг+ 4х+ 13)г / хе+ 1 Г х4 е(х 12.462. / г ~, а > О, Ь > О. / (а+ Ьхг)4 12.463.
дх. * хг+4х+20 12.465., дх, а > О, Ь > О. ( хг1Ьг о .~-СЮ +СО 12.466. (х+ 1) е4п2х Г (хо + 5х) впх дх. 12.467. / <Ь. хг + 2х + 2 ,/ х~ + 10хг + 9 Г (2хг + 13х) 12.468. / 4 г япхах. / х4 + 13х' + 36 Гл. 12. Рады и их примените 110 ,/ х'+бхт+ 1 соа х 12.469. / >)хл /,.2 о ,/ 3 1>(г)=з (1 — —,+ — )., г з]: (2) то очевидно, гго при обходе точкой г контура С>г против часовой стрелки агй- получает приращение х, а потол>у агд(хз) получит приращение Зт. (Сп отображаетсн в кривую и> = Л~е'о, — Зх/2 <»> < Зп/2).
Так как второй гомножнтель в (2) длн достаточно больших Л близок к 1. то н приращение аргумента етого множителя мало. Пусп теперь г = Л, т.е. точка з движется по л>нил>ой оси от точки сЛ до точки — 1Л. Тогда и=1, и= -1з — Зй р(>2) = и+ й> = 1 — >(л~+ Зг), т.е. Это означает, что при изменении Г от Л до — Л при Л вЂ” > +ос агеу>(гц) изменяетсн на х (от -х/2 до х/2). Таким об>разом, общее приращение агйр(г) при обходе контура равно 4х, а ато означает, что г>> = 2, т, е. в правой полуплоскостп многочлен р(г) = гз — Зг + 1 имеет два нулл.
С Длн данных многочлснов найти колич> ство корней, лелгаших в правой полуплогкости: 12.471*. р(з) = зз + 2хз + Зз~ + - + 2. 12.472. р(з) = 2х" — Зхз + Зз~ — з + 1. 12.4ТЗ. р(в) = з' + хз + 4х~ + 2з + 3. 12.474'. Доказать> что если функции /(з) и р(з) аналитичны в замкнутой области 0 = Р+ Г и для точек» е Г справедливо неравенство ]р(>1)] < ]/(Л)], то число нулей функции Р(д) = / (а) + + д(х). лежащих в ооласти 1г', совпадает с числом нулей функции /(з) (теорема Рушс). 4. Принцип аргумента. Пусть функцнн /(г) в области 1>, ограни >анной простым замкнутым контуром С. имеет конечное число М нулей ц конечное число Р полюсов, где каждый нуль и каждый полюс считак>тел столько раз, какова их кратность, причем на контуре С не имеет нн нулей, ни полюсов.
Тогда разность ь> = Х вЂ” Р равна числу оборотов радиус-вектора ю = /(с) прн обходе точкой г контура С. Если /(г) — - аналитическая в г> функция, то Р = 0 и ы = г>>. Пример 9. Найти число нулей многочлена р(х) = гз — Зх+ 1, лежащих в правой полуплоскости. з Рассмотрим контур С, состонщнй иа полуокружности Сп радиуса Л, лежащей в правой полуплоскости, и отрезка мнпмой осн ] — >Л, 1Л], и длн достаточно большого Л применим к атому контуру принцип аргумента.
Так как з 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 12.475*. Доказать основную теорему высшей алгебрьк много- член р„(г) = ного+ агх" '+ +а„степени и имеет в плоскости (х) точно и нулей. Опираясь на теорему Рушс (задачз 12А74), найти число нулей данных функций в указанных областях: 12.476*. Г(г) = ге + 2гт+ 8г+1: з) в круге ]х] < 1; б) в кольце 1<]х]<2. 12.477, Р(з) = гз — 5х+ 1: а) в круге ]х] < 1; б) в кольце 1 < ]х] < 2: в) в кольце 2 < ]х] < 3. 87. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 1.
Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическая система функций 1, совх, в1пх, сов 2х, ящ2х, ..., сових, в1п нх, ... является ортогональной на отрезке ] — и, х] (квк, впрочем, и на всяком отрезке длины 2х), т.е. интеграл по етому отрезку от произведения любых двух различных функций втой системы равен нулю. Если Г(х) 6 Е( — х, х) (т.е. ]Г(х)]йх < +сю), то существуют -х числа 1 Г 1 аь = — / э'(х)совЬхпх, Ьь = — / т'(х)в1пйхох, Ь = О, 1, ..., называемые коэффициентом Фурье функции Г(х); ряд э'(х) = — + ~ ~(оьсояйх+Ььв|пйх) оо 2 ь — — 1 называется рядом Фурье функции у" (х).
Члены ряда (1) можно записать в виле гармоник аь сов йх+ Ьь сдпг = Лесов(lсх — Чц) Ь„ с амплитрдой Аь = ~/а~ + Ьэ~, частотой ыь = Ь н фазой Уь — — агссб —. аь Для функции Г(х) такой, что у~(х) е х ( — х, х), справедливо равенсгпао Парсееалх Л о2 СΠ— / Г~(х)~Гх = — о+ ~(о~ь+ Ьь). ту 2 в=1 Гл. 12. Ряды и их применение 112 / Если же /(х) й Г ~ — —, -), то коэффициенты Фурье записываются 2' 2)' в виде !,!2 2кйх 2 Г 2к/сх /(х) соэ — дх, Д = — ) /(х) э!п дх, (2) 1) -гзз суз с!ь=( -!Гг а ряд Фурье — в виде с!о Г 2к(сх 2~йх!! !а ь* Я(х) = — + ~~! 1 сьь соэ — + Д,. э1п — ) = ~ Сье! ~ .
(3) 2 1, ' 1 ' 1 ) !=! Ь=-ьь Последний ряд называется рядом Фурье в комплексной форме. Здесь суг 1 2 ь* се= — ) /(х)е ' т дх, Й=О,х1,..., -1) -! /2 идляй)0 1 + ОΠ— (/(х + О) + /(х — О)) = у све! 2 (4) Вели, дополнительно, /(х) непрерывна на всей оси, то ряд (4) сходится к /(х) равнольсрно. П р и м е р 1. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) = э!якх, — а. < х < к, и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница ( 1)ь Л~-' 2п + 1 оь — гДь сгь + Щ сь = 2 ' 2 с ь= = сь. Суммы рядов (1) и (3) имеют соответственно периоды 2к и 1. Функция /(х) называется кусочно гладкой на отрезке (а, Ь], если сама функция /(х) и ее производная /'(х) имеют на [а, Ь] конечное число точек разрыва 1-го рода. Теорема.
Если периодическая функция/(х) с периодом1 кусочно гладка на отрезке ] — 1/2, 1/2], то ряд Фурье (3) сходится к значению /(х) в каждой ее точке нспрсрывностпи и к значению (/(х+ О) + + /(х — О))/2 в точке разрыва, т, е. Э 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье э Так как функция нечетная, то (см. задачу 12.479) ал,=О, 9=0,1, !! 2 2 г сових! т 5е — — — )! ядггхяпихгух = — ( —— л л и о е 2 = — (1 — сов ил) = ли 4 при и =2т — 1, л(2т — 1) и Е г'!. 0 при и=2т, Следовательно, при — л < х < л 4 т яп(2т — 1)х ядпх = — ~ !г~ 2т — 1 п~=! откуда прн х = л/2 получаем 4 ( — 1) !и+! 1= — 7 !г "-, 2т — 1 ' т.е. (-1)"' л '~ 2т+1 4 12.478.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
