3 часть (1081356), страница 18
Текст из файла (страница 18)
зо =, щ = (з — 1)г. 2 1гп 3 13.37. яо = 1 — —, го = —. 2' 13.38. ло —— 3 — 2з, щ = —. 3 13.39. Найдите образы координатных осей Ох и Оу при отоз+1 бражении го = з — 1 Для отображений, задаваемых указанными функциями, найти образы линий х = С, (з~ = Л, згбз = сг и образ области ф < г, 1щя)О: 1340 ю яг 1341'* го =— 3 Один из наиболее употребляемых способов задания функций — задание с помощью формулы — в случае функций комплексной переменной часто приводит к многозначным функциям.
з 1. Элементарные функции 129 г/2 Пример 4. Найти все значения функции ю = — — т/а в точке 2 до = г. з Так как )г! = 1 и агдг = х/2, то в соответствии с определением корня и-й степени из комплексного числа (сы. Часть 2, гл. 5, З 5) находим юь = — — е1(3+ к), 2 Ь = О, 1. Таким образом, /2 - 2 и . х,2 гео = — е-г'- — соэ — — г гбп — = — г —, 2 2 4 4 2 ' ~/2 г., ~/2 5п, бп г/2 гег = — — е г = — — соа — — гсйп — = г/2+ г —.
г> 2 2 4 4 2 Найти все значения следуюгцих функций в указанных точках: 13.42. ю = з + ~4/л, ло = -1. ./з+ г 13.43. гл =,, зо = г, ь/л — г 13.44. ю = г/1 — т/л, ло = — г. 13.45. ю = т/г + т/з, ло = -1. Найти Аг8Дл), если з = те'": 13 46 Дл) лг 13 47 Дз) лз 13.48. /(з) = т)та+ 1. 13.49. Дл) = ь/л — 8.
1з.го. д ~ = Р -4. 11.г1. ле = ~~ — ~)~~ ~ о. 2. Основные элементарные функции комплексной переменной. Следуюгцие функции (как однозначные, так и многозначные) называются основными элементарными: 1. Лробно-рациональная функция аоэ + ага + + ав п, т е рг. Ь~л'"+Ь з '+ +Ь Частными случаями этой функции являются: а) линейная функция ал+Ь, а, Ье С, афО; Говорят, что в области П определена многозначная функция га = Да), если каждой точке а Е П поставлено в соответствие несколько комплексных чисел пг. 13О Гл.
13. Теория функций комплексной переменной б) степенная функция »", а Е 1'(; в) дробно-линейная функция а»+Ь а,б,с,йЕС, сааб, а4 — Ьсфб; с»+ 11 г) функция Жуковского »+ 2. Показательная функция е' = е*(соз у + 15(п у). 3. Тригонометрические функции 1 соз» = -(е" + е "), 1 51п» = — (е1-" — е "), 21 51п» 1К» = Соз»' СО5» сгд» = —, 51п» 4.
Гиперболические функции б. Логарифмическая функция Ьп» =!и ~»~ + 1(агб» + 2йк). Функция Ьп» является многозначной. В каждой точке», отличной от ну- ля и оо, она принимает бесконечно много значений. Выражение 1п ф + + 1згд» называется главным значением логарифмической функции г обозначается через 1п ».
Таким образом, 1п» =!и»+2к7Гз. б. Обшая степенная функция »Я васям а а 1О 1 511» = -(е' — е '), 2 511» 1)1» = —, с11» 2 с)1» = -(е' + е *), 2 с)1» с111» = —. 5)1» э 1. Элементарные функции 131 Вта функция многозначная, ес главное значение равно ез ж '. Если а = 1 = —, и 6 1ч', то получаем многозначную функцию — корень п-й степени и ' из комплексного числа: 7. Общая показательная функция ол ез!.па и б С Главное значение этой многозначной функции равно е'!"". В дальнейшем при а > О полагаем а- = е"'"'. 8. Обратные тригонометрические функции Агсзш 2, Агссоз 2, Агс!ц 2 и обратные гиперболические функции АгзЬ 2, АгсЬ 2, Аг1Ь 2.
Определения этих многозначных функций рассмотрены в примере 7 и задачах 13. 70 -13. 74. Отображения, осуществляемые некоторымн элементарными функциями и простейшие свойства этих функций будут рассмотрены позднее (в э 3); здесь ограничиысп только вычислением конкретных значений этих функций. Пример 5. Вычислить з!п1'.
а Имеем: О -К -1 1 1 -1 е — е е — е,е — е З1П1 — —, — 1' — 1ЗЬ1. > 21 21 2 Пример б. Вычислить сЬ(2 — 31). ° з Имеем: ,2-21 ! Е-2ЬЗ1 сЬ(2 — 31) = = -!еэ(созЗ вЂ” гз!пЗ)+е ~!созЗ-ЬЗЗ1пЗ)) = 2 2 = созЗсЬ2 — ЗзшЗЗЬ2. !> П р и м е р 7. Найти аналитическое выражение для функции Агссоз 2 при любом комплексном 2. Вычислить Агссоз2. ~З Так как равенство ю = Агссоз 2 равносильно равенству соз ю = 2, то еи+е ' можем записать з = 2 .
Отсюда находим еэ' — 22е' + 1 = О. Решая это квадратное относительно е1" уравнение, получаем е' = 2+ т/22 — 1 132 Гл.13, Теория функций комплексной переменной (здесь рассматриваются оба значения корня). Из етого равенства нахо- дим зи = ? и (з + з/Р— 1), т. е. и = Агссояг = — з?п(л+ ~(Р— 1). Отсюда получаем Агссоя 2 = — з ?,и (2 ~ ъ'3) = — з )п (2 ~ ч'3) + 2йзг, с 13.52. Используя данное выше определение функции е', доказать, что е' имеет чисто мнимый период 2хз, т.
е. е'+зт' = е'. Выделить действительную и мнимую части следующих функций: 13.53. и = ег '. 13.54. и = езз+') . 13.55. и = я?п(х — з). 13.56. и = яЬ(г+ 2з). 13.57. и = С8(х+ 1). 13.58. и = Ззз'. Доказать тождества: 13.59. я?п зг = з' яЬ и 13.60. соя зд = с?з ж 13.61. зйзг = ззЬг. Вычислить значения функции в указанных точках: 13.62. соя(1+ з).
13.63. сЬз. 13.64. яЬ(-2+ з). 1+з 13.65.?,п ( — 1). 13.66. ?п з'. 13.67.?,и —. Л 13.68. сС8лз. 13.69. зЬяз. Получить аналитические выражения для указанных ниже функций и для каждой из них найти значение в соответствующей точке го (см. пример 7): 13.70. и = Агсейп г, ло = з. 13.71. и = Агсс8х, го = з/3. 13.72. и = АгяЬ з, го = з. 13.73.
и = АгсЬ з хо = — 1. 13.74. и = АгзЬ х, го = 1 — з. Найти значение модуля и главное значение аргумента заданных функций в указанных точках: 13.75. и = язп л, ер = 7Г + з ?п 3. 13.76. и = з~е', хо = — аз. 13.77. и = 1 + сЬ~ г, го = з' !п 2. 13.78. и = гЬ г, ло = 1 + ?л з 1. Элементарные функции 133 Найти все значения ступеней: 13.79. 2'.
13.80. ( — 1)'. 13.81. (1+ г)'. 13.82. ( — 1)" ~. 13.83. (3 — 4э)!+'. 13.84. ( — 3+ 4г)'+' 13.85. 1 — ) . 13.86. — +— ~/2 ) ~ 2 2/ Решить уравнения: 13.87. е' — 1 = О. 13.88. етл = соа пт (т Е К). 13.89. !п(г — 1) = О. 13.90. эпэз = — 1. 3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Число А ф оо называется пределом функции у'(г) при г -+ го и обозначается А = !пп у(г), если для любого е > 0 найдется б = д(е) > О такое, что ->м для всех г ф зо, удовлетворяющих неравенству [г — го[ < О, выполняется неравенство [У'(т) — А[ < е. Говорим, что )пп у(г) = со, если для любого Л > О найдется Б = ~ — ~м = Б(В) > О такое, что для всех л ф зо таких, что [т — зо[ < 4, выполняется неравенство [У(з)[ > П , Следует иметь в виду, что для данной функции у(т) существование пре, дела по любому фиксированному пути (г -~ ло) еще не гарантирует существование предела ! (з) при г -~ зо.
! тз йт Пример 8. Пусть у'(с) = — (т — -т!. Показать, что [пп у(т) не 21 (й т)' г-~о Существует. о Для предела при т -+ 0 по любому лучу тесе имеем 1 /те'т те ™ !пп —, 1 —. — ) = э!и 2у, т-~о 21 ! те те те'т т.е. эти пределы различны для различных направлений - — они запол- няют сплошь отрезок [ — 1, 1], и, следовательно, Не существует. > Функция у(г) называется непрерывной в точке го, если она определена в этой точке и !пп у(э) = у(зо).
г — ~за 134 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной 13.91. Используя логическую символику, записать данное выше определение непрерывности функции в области. Вычислить следующие пределы: 22 41г — 3 х — ~1 л — 1 сов л )пав о сЬ(г ,2м !пп — — егв + 4 т апл1л 13.94. !пп . 13.95. сЬз+1вЬз Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций: 13.96.
и = й. 13.97. и =1г(В.сг. 13.98. и = е'. 13.99. и = сов ф. Как доопределить данные функции в точке я = О, чтобы они стали непрерывными в этой точке: зВез г1гп(22) 13.100. /(г) = . 13.101. /(2) = !4 ' ' 1зР 13.102. /(я) = е ~у!'~. 13.103. /(2) = г/!г~. 13.104. Доказать, что функция /(з) = е 11' непрерывна в полукруге О < !з/ < 1, /агяя/ < л/2, но не является равномерно непрерывной в этом полукруге, а в любом секторе 0 < ф < 1, ! агб г/ < сг < и/2 она равномерно непрерывна.
3 2. Аналитические функции. Условия Коши — Римана 1. Производная. Аиалитичиость фуикцви. Если в точке г й Р существует предел !пп г+ ьъз е Р и. о то ои называется производной функции /(г) в точке г и обозначается д/(з) через /'(з) или — . дя Если в точке з е Р функция /(г) имеет производную / (г), та говорим, что функция /(г) дийУфсренпирусиа в точке и Функция /(я), непрерывная в каждой точке области Р, называется непрерывной в этой области.
Функция /(г) называется равномерно пспуюрывкой в области Р, если для любого е > О найдется б = б(е) > О такое, что для любых точек г1 и г2 из области Р таких, что )я~ — г2! < б, выполняется неравенство !/(з~) — /(г2)! < с. 3 2. Аналитические ункцин. Условия Коши-Римана 135 ди(х, у) ди(х, у) дх ду ди(х, у) ди(х,у) ду дх или, в полярных координатах, ди(тсоьдг, тьшвг) 1ди(тсоььг, тьшдг) дт т др до(т сов р, тяп~р) 1 ди(тсоьсг, тыл ~р) (2) При выполнении условий (1) или (2) производная у'(г) может быть записана соответственно: ди ,ди ди ди ди ,ди ди .ди У'(г) = — +1 — = — — г — = — — г — = — + г — (3) дх дх ду ду дх ду ду дх или (4) Формулы дифференцирования функций комплексной переменной аналогичны соответствуюшим формулам дифференцирования функций действительной переменной.
П р им е р 1. Доказать, что функция у(х) = ег' аналитична и найти У'(х). я Имеем ег' = сг*(соь 2у + г яп 2у), т.е. и(х, у) = ег*ь!п2у. и(х, у) = ег'соь2у, Поэтому ди — = 2е *соь2у, дх ди — = — 2е *яп2у, ду гт — = 2е *соь2у. ду ди г* . — = 2е~* яп 2у, дх Функция у(г), дифференцируемая в каждой точке области Р и имеюшая в этой области непрерывную производную ('(г), называется аналитической а области Р.
Будем также говорить, что у(г) аналитическая ь точке го е Р, если у(г) является аналитической в некоторой окрестности точки го. Для того чтобы функция у(г) = и(х, у) + ги(х, у) была аналитической в области Р, необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций и(х, у) и и(х, у), удовлетворяюших условиям Коши — Римана 136 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
