3 часть (1081356), страница 21
Текст из файла (страница 21)
~> Найти функцию, отображающую заданную область Р плоскости (я) на верхнюю полуплоскость (в ответах указана одна из зрункций, осуществляющих указанное отображение, причем если функция многозначна, то имеется в виду одна из ее однозначных Ветвей): 13.191. Р = Ц (я) < 1, )я — 1! < 1). 13.192. Р = 1г) — я/4 < агц я < гг/21. 13.193. Р = (я( )г! < 1, 1гп г > О). 13.194. Р = 1г! )з! > 1, 1пз я > О). 13.195. Р = 1я! )г! < 2, О < агц я < зг/4). 148 Гл. 13.
Теория ф лкций комплексной пе емениой 13.196. Р = (и[ [г[ > 2, О < аг8 г < Зя/2). 13.197. Р = (я] [л[ < 2, 1ш л > Ц. 13.198. Р = (я[ [и[ < 1, [г+ г[ < Ц. 13.199. Р = (л[ [я[ < 1, [л + г[ > Ц. 13.200. Р = (я[[я[ > 1, ]я+ г[ < Ц. 13.201. Р— плоскость (л), разрезанная по отрезку [ — г, г]. 13.202. Р— плоскость (л), разрезанная по отрезку, соединяющему точки 1+ г и 2+ 2г.
13.203. Р— плоскость с разрезом по лучам ( — оо, -Л] и [В, +со), В > О. 13.204. Р— полуплоскость 1шг > О с разрезом по отрезку, соединяющему точки О и туг (уг > О). 4. Функция Жуковского. Имеем ю = — [ г+ -), и' =— 2 [, л)' 2 лг Функция Жуковского ') осуществляет конформное отображение как внешности, так и внутренности единичного круга плоскости (л) на плоскость (ш) с разрезом по отрезку [ — 1, 1]. Полная плоскость (л) отображается на двулистную риманову поверхность, склеенную крест-накрест по разрезам [ — 1, 1]. Обратная функция гя+ ~Дг двузначна, причем каждая ветвь осуществляет отображение плоскости (ю) с разрезом по отрезку [ — 1, 1] на внутренность или на внешность единичного круга в плоскости (г).
П р и м е р 8. Найти образ полярной сетки р = сопле и сг = соггзс при преобразовании плоскости (в) с помощью функции Жуковского. г Полагая л = ре'т, имеем ю = и + го = — [ ре'" + -е си) = — [ р+ -) солсо+ г — [ р — -) аш ог. 1 1/ )Конформное отображение, осушествляемае функпией ю = — ~а+ -), 2~ в)' было использовано впервые Н.Е. Жуковским в качестве метода получения одного класса аэродинамических профилей, названных профилями Жуковского. Профили Жуковского отображаются на врут, для которого можно легко решить задачу обтеканил, а зто дает возможность исследовать обтекание крыла самолета. З 3.
Кояформньге отображения 149 Оледовательна, 1/ 1/ и=-~Р+-)соэР, а= Р--~51пр, ) --[ р) и для р ф 1 имеем 2 2 2 2 1 р+- — р —— (4) аэ 2 — — — 1 соз2 р э;пэ „, (5) отображает внешность отрезка [ — 1, 1] на внутренность единичного круга, причем выбирается та ветвь этой функции, которая при ю4 = со обрагцается в нуль. Итак, ю = ю5 о ю4 о юэ о ю2 о ю4 (рис. 5).~> В задачах 13.205 — 13.207 найти образцы заданных областей при 1/ 11 Отображении ю = — [г + — ) . 2[, 2) Из этих равенств заключаем, что окружности [2[ = р ~ 1 отображаются в эллипсы плоскости (ю) с полуосями а = — [ р+ -) и Ь = — ~р — -) 2[4 р) 2[4 р) 1/1 при р ) 1 или Ь = — ~- — р при р < 1.
Лучи р = сопэ1 в плоскости 2 1,р (л) преобразуются в плоскости (ю) в гиперболы с полуосями а = ~ сов 52~ и 5= [э)п р1 Заметим, что фокусные расстояния с = з/а2 — Ь2 эллипсов (4) и с4 —— — з/а2 + Ь2 гипербол (5) равны 1, т. е. (4) и (5) — семейства софокусных эллипсов и гипербол. о. Пример 9. Найти отображение плоскости (2) с разрезами по от- евку, соединяющему точки 0 и 44, и по отрезку, соединяющему точки 5 и 2+ 2г, на внутренность единичного круга [ю[ С 1.
0 Искомое отображение ю находим в виде композиции пяти отабраже- Ний. Функция ю4 = 2 — 24 переводит точку 2 = 24 в начало координат, а ункция ю2 = е45ю4 осуществляет поворот плоскости (ю4) на угол я/2. очка 2 = 42 переходит в результате этих отображений в тачку ю2 = — 2, тачка 2 = 24 — в точку юэ — — О, точка 2 = 2+ 24 — в точку ю2 — — 22, а гочка 2 = 0 — в точку ю2 = 2. Далее, в результате отображений юэ = ю22 и ю4 — — юэ/4 разрез отображается в отрезок [ — 1, 1) плоскости (ю4), и, наконец, Ю5 — Ю4 + ~Д~ 150 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной 13.205.
Внутренности круга ]с] < Я при Н < 1 и внешности круга ]х] > Л при Н > 1. 13.206. Внутренности круга ]г] < 1 с разрезом по отрезку ]1/2, 1]. (ю) Рис. 5 13.207. Внутренности круга ]х] < 1 с разрезом по отрезку [ — 1/2, 1].
13.208*. Найти отображение круга ]г] < 1 с разрезом по отрезку (1/3, 1] на круг ]ш] < 1. 13.209*. Найти отображение области .0 = 1г]1шг > О, ]х] > 1с) (верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) на верхнюю полуплоскость. 2 2 13.210'. Отобразить внешность зллипса — + — = 1 (а > 5) и2 52 на внешность единичного круга. 5. Показательная функция.
Функция ю = с' однолистна в любой полосе шириной менее 2х, параллельной действительной оси. Она отображает полосу †< т < +ос, — х < у < н в полную плоскость (и) с разрезом по действительной отрицательной полуоси. Вся плоскость !с) отображается на бесконечнолистную риманову поверхность. Обратная функция х = Вп и = 1и и + 2хп1, п = О, ж1,..., однозначна на втой римановой поверхности, а ее главное значение !и и~ = !и Ц + 1 агб ю определяет конформное отображение всей плоскости (ю) с разрезом ( — оо, О] на полосу — х < 1шс < х шириной 2х, параллельную действительной оси.
Пример 10. Найти отображение полосы шириной Н, О < Ие с < Н, параллельной мнимой осн, на единичный круг плоскости (ю). 3 3. Конформные отображения 151 <з Искомое решение получим, например, с помощью композиции отобра- жения: о в юз цгз юз цгз я юг = — огг, цг1 = ейбз, Ири последовательном выполнении этих отображений заданная полоса преобразуется в области, показанные на рис.
6. с ог, огг Рис. б Найти образы следующих областей при отображении гл = 1пя, я1 цг(з) = —: 2 13.217. (з[1щл > 0). 13.218. Ц )з[ < 1, 1пгх > О). 13.219. [я[ [я[ < 1, з ф [О, 1]). 13.220. Ц [з ф [ — со, — 1] Ц[0, +со]). 6.
Тригонометрические и гиперболические функции. Функция и = ек -Ре " = созз = 2 однолистна в полуполосе — х < х < х у > 0 и Найти образ Е области Р при отображении цг = е'. 13.211. Р = [х[ — х < 1гцх < 0). 13.212. Р = 1з[[1т з) < и/2). 13.213. Р = [х[0 < 1тп х < 2х, Вел > 0). 13.214. Р = 1х[0 < 1т з < и/2, Ве з > 0). 13.215.
Р = 1з]0 < 1щ х < х, 0 < Не з < Ц. 13.216. Найти образы прямых х = С и у = С при отображении цг = е'. 152 Гл.13. Теория функций коътлексной переменной отображает зту полуполосу на плоскость (ю) с разрезом ( †, Ц. 1'пманова поверхность атой функции более сложная, чем у предыдущих, так как склеивание листов происходит отдельно по лучу (-со, -1) и по отрезку [ — 1, 1].
Функция и = ебп г сводится к предыдушей с помошью соотношения гбп г = соз — — г). 1! в!па и соля сводятся и гиперболические срункцин: ~2 зЛ г = — ! зшма сЛ л = сов!к 13.221**. Найти образ Е полуполосы .0 = (а~О < Вез < я. 1т г > О) при отображении и! = соз г. 13.222. Найти образы прямых х = С, у = С при отображении ю=сЛж 13.223. Найти образ Е прямоугольника П = (з! — и < )1ег с < и, — 6 с 1гп г с 6, Л > О) при отображении ю = соз г. 34. Интеграл от функции комплексной переменной 1.
Интеграл по кривой и егв вычисление. Пусть 1 — дуга направленной кусочно гладкой кривой в плоскости (г), точки яь б 1, 1с = О, 1, ..., и, разбивают дугу 1 на частичные дуги, на каждой из которых выбрано по одной точке уы к = 1, ..., и. По определению полагаем у(я) сЬ = Псп ~~с у(ьа) сзаь та» )Лаа ) — ао /с=! при условии, что предел в правой части (1) существует и нс зависит нп от способа разбиения луги 1 на частичные дуги, ни от выбора точек б! Если функция у'(я) непрерывна на 1, то интеграл (1) сушествует. Если у'(а) = сс(т, у) +го(т, у), то вычисление интеграла (1) сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода г"( )сЬ = / н(ж, у)с1х — о(х, у)с1у+! ~о(т, у)с1х+сс(х, у)с1у. (2) Пример 1. Пользуясь определением (1), вычислить / Ветс(г, гдг ! 1 — радиус-вектор точки 1+ !.
а Разбиваем радиус-вектор точки 1+! на п равных частей, т. с, полагаем й я 1 вь = — + ! —, Ьяь = — (1+ !), й = О, 1,..., п, и п' п и пусть 5ь = яы Тогда интегральная сумма запишется в виде 1+! 1+! к 1+! п(я+1) Пег! Ьяь — — ~ ха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
